Рішення нерівностей другого степеня з однією змінною
Розглянемо невелику задачу. Є деякий прямокутник. Його сторони рівні 2см і 3 см. Кожну сторону прямокутника збільшили на однакову кількість сантиметрів. Після цього площа прямокутника стала більше на 12 см2. Як змінилася кожна зі сторін?
Рішення. Бо сторони збільшили на одне і теж число, позначимо це число за х. Тепер можемо записати формули сторін нового прямокутника.
(2 + х) см і (3 + х) см. Площа прямокутника дорівнює добутку його сторін, отже (2 + х)*(3 + х) см2.
Виходячи з умови задачі, маємо: (2 + х)*(3 + х)> 12.
Розкриваючи дужки, отримаємо: х2 + 5*x +6> 12 або, що еквівалентно х2 + 5*x-6> 0.
Тепер розкладемо ліву частину цієї нерівності на множники, отримаємо:
(Х +6)*(х +1)> 0.
За умовою задачі, х позитивне число. Отже (х +6) теж позитивне число, а значить на нього можна поділити наше нерівність. Поділимо обидві частини нерівності на (х +6).
Отримаємо х-1> 0. Отже х> 1. Повертаючись до вихідних даних запишемо відповідь.
Відповідь: кожну з сторін збільшили більше ніж на 1 см.
В результаті рішення, ми отримали нерівність х2 + 5*x-6> 0. Дане нерівність називається нерівність другого ступеня з однією змінною. Так само його можна назвати квадратним нерівністю.
Визначення нерівностей другого степеня з однією змінною
Квадратним нерівністю називається нерівність, в лівій частині якого коштує квадратний тричлен, а в правій частині число нуль.
Ось, декілька прикладів квадратних нерівностей:
1. х2 + 5*x-6> 0
2. 5*х2-5*x +2 <=0
3. -2*X2 +34*x-18> 0.
Умова розв’язання квадратних нерівностей
Рішенням нерівності другого ступеня з одним невідомим називається таке значення не відомої, при якому це нерівність звертається в правильне числове нерівність.
Коли говорять вирішити нерівність, мають на увазі знайти всі його рішення, або встановити що нерівність не має рішень.
Розглянемо ще один приклад.
Вирішити нерівність x2-5*x +6> 0.
Рішення.
Спочатку вирішимо квадратне рівняння x2-5*x +6=0, будь-яким з відомих способів. Його коріння дорівнюють х=2 і х=3.
Тепер розкладемо тричлен x2-5*x +6 на множники. Отримаємо
(Х-2)*(х-3).
Перепишемо вихідне нерівність
(Х-2)*(х-3)> 0.
Твір двох співмножників буде позитивним, якщо про множники мають однаковий знак, тобто або обидва множники більше нуля, або обидва множники менше нуля.
Розглянемо два випадки.
1. Обидва множники більше нуля.
Отримуємо систему рівнянь.
{X-2> 0
{X-3> 0
Вирішуємо її і отримуємо відповідь х> 3.
2. Обидва множники менше нуля.
Отримуємо систему рівнянь
{X-2 <0
{X-3 <0
Вирішуємо її і отримуємо відповідь х <2.
Об’єднуємо обидва отриманих відповіді, і записуємо спільну відповідь.
Відповідь: х3.
(2 votes, average: 3.50 out of 5)