Тригонометричні рівняння
Рішення тригонометричних рівнянь і систем тригонометричних рівнянь грунтується на рішенні найпростіших тригонометричних рівнянь.
Нагадаємо основні формули для вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.
Рішення рівнянь виду sin (x)=a.
При | a | <=1 x=(-1) ^ k*arcsin (a) + ?*k, де k належить Z.
При | a | > 1 рішень не існує.
Рішення рівнянь виду cos (x)=a.
При | a | <=1 x=± arccos (a) +2*?*k, де k належить Z.
При | a | > 1 рішень не існує.
Рішення рівнянь виду tg (x)=a.
x=arctg (a) + ?*k, де k належить Z.
Рішення рівнянь виду ctg (x)=a.
x=arcctg (a) + ?*k, де k належить Z.
Деякі часті випадки:
Sin (x)=1; x=? / 2 +2*?*k, де k належить Z.
Sin (x)=0; x=?*k, де k належить Z.
Sin (x)=-1; x=-? / 2 +2*?*k, де k належить Z.
Cos (x)=1; x=2*?*k, де k належить Z.
Cos (x)=0; x=? / 2 + ?*k, де k належить Z.
Cos (x)=-1; x=? +2*?*k, де k належить Z.
Розглянемо кілька прикладів:
Приклад 1. Вирішити тригонометричне рівняння 2*(sin (x)) ^ 2 + sin (x)-1=0.
Рівняння такого виду вирішуються зведення до квадратного рівняння заміною змінної.
Нехай у=sin (x). Тоді отримуємо,
2*y ^ 2 + y-1=0.
Вирішуємо отримане увадратное рівняння одним з відомих способів.
Y1=1/2, y2=-1.
Отже, отримуємо два найпростіших тригонометричних рівняння які вирішуються за формулами, зазначеним вище.
Sin (x)=1 /2, x=((-1) ^ k)*arcsin (1/ 2) + pi*k=((-1) ^ k)*pi / 6 + pi*k, длю будь-якого цілого k.
Sin (x)=-1, x=-pi / 2 +2*pi*n, де n належить Z.
Приклад 2. Вирішити рівняння 6*(sin (x)) ^ 2 + 5*cos (x)-2=0.
За основним тригонометричного тотожності замінюємо (sin (x)) ^ 2 на 1-(cos (x)) ^ 2
Отримуємо квадратне рівняння щодо cos (x):
6*(cos (x)) ^ 2-5*cos (x)-4=0.
Вводимо заміну y=cos (x).
6*y ^ 2-5*y-4=0.
Вирішуємо отримане квадратне рівняння y1=-1 / 2, y2=1 (1 /3).
Так як y=cos (x), а косинус не може бути більше одиниці, отримуємо одне найпростіше тригонометричне рівняння.
Cos (x)=-1 / 2.
X=± 2*pi / 3 +2*pi*k, при будь-якому цілому k.
Приклад 3. tg (x) + 2*ctg (x)=3.
Введемо змінну y=tg (x). Тоді 1 / y=ctg (x). отримуємо
У +2*(1 / y)=3.
Множимо на y не рівне нулю, отримуємо квадратне рівняння.
Y ^ 2-3*y + 2=0.
Вирішуємо його:
Y=2, y=1.
Tg (x)=2, x=arctg (2) + pi*k, для будь-якого цілого k.
Tg (x)=1, x=arctg (1) + pi*k, pi / 4 + pi*k, для будь-якого цілого k.
Приклад 4. 3*(sin (x)) ^ 2-4*sin (x)*cos (x) + (cos (x)) ^ 2=0.
Це рівняння зводиться до квадратного діленням або на (cos (x)) ^ 2, або на (sin (x)) ^ 2. При розподілі на (cos (x) ^ 2 отримаємо
3*(tg (x)) ^ 2-4*tg (x) +1=0.
Tg (x)=1, x=pi / 4 + pi*n, для будь-якого цілого n
Tg (x)=1 /3, x=arctg (1/ 3) + pi*k, для будь-якого цілого k.
Приклад 4. Вирішити систему рівнянь
{ x-y=5*pi / 3,
{ Sin (x)=2*sin (y)
З пергових рівняння висловимо y,
Y=x-5*pi / 3.
Тоді отримаємо, 2*sin (y)=2*sin (x-5*pi / 3)=2*(sin (x)*cos (5*pi / 3)-cos (x)*sin (5*pi / 3))=2*(sin (x)*(1/ 2)-((?3) / 2)*cos (x))=sinx +?3*cos (x).
Підставляємо це в друге рівняння системи одержимо cos (x)=0, x=pi / 2 + pi*n, для будь-якого цілого n.
Тепер знаходимо y,
Y=x-5*pi / 3=pi / 2 + pi*n-5*pi / 3=-7*pi / 6 + pi*n, для будь-якого цілого n.
Відповідь: (pi / 2 + pi*n;-7*pi / 6 + pi*n), для будь-якого цілого n.
(2 votes, average: 4.00 out of 5)