Винесення спільного множника за дужки
Розглянемо кілька прикладів винесення спільного множника за дужки, щоб стало зрозуміліше, як це робити.
Приклади винесення спільного множника за дужки
Приклад 1.
Завдання розкласти многочлен на множники
- А) 2x +6 y Б) a ^ 3 + a ^ 2 В) 4*a ^ 3 +6*a ^ 2 Г) 12*a*b ^ 4 18*a ^ 2*b ^ 3*c Д) 5*a ^ 4-10*a ^ 3 +15*a ^ 5
Рішення
- А) 2*x +6*y=2*(x +3*y) Тут ми винесемо за дужки спільний множник, в даному випадку 2 Б) a ^ 3 + a ^ 2=(a ^ 2)*(a +1) Якщо у нас в многочлене присутній 1 і більше змінних, то її ми можемо винести за дужки (змінну потрібно брати з найменшим ступенем в дробу) В) У наступному прикладі ми застосували навички двох попередніх прикладів таких як винесення загального числа за дужки і загальної змінної і в результаті отримаємо: 4*a ^ 3 +6*a ^ 2=2*(a ^ 2)*2*a + 2*(a ^ 2)*3=2*a ^ 2*(2*a +3) Г) Зазвичай для цілих коефіціент знаходять не спільний дільник, а найбільший дільник, наприклад для 12 і 18 це буде число 6, а для 8 і 4 це буде 4,
Також тут присутній мінлива b і для неї найменший показник дорівнює 3,
А для змінної a, найменша ступінь дорівнюватиме 1.
Для змінної с, найменшого показника немає, дійсно в першому члені змінної cвообще нету.
12*a*(b ^ 4) 18*(a ^ 2)*(b ^ 3)*c=6*a*(b ^ 3)*2*b-6*a*(b ^ 3)*3*a*c=6*a*(b ^ 3)*(2*b-3*a*c).
Д) 5*(a ^ 4) 10*a ^ 3 + 15*(a ^ 5)=5*(a ^ 3)*(a-2 +3*(a ^ 2)
У цьому прикладі ми виробили алгоритм:
На основі кількох прикладів вище, виробимо кілька правил:
- 1. Спочатку ми повинні знайти найбільший числовий множник в дробу, щоб якомога більше спростити вираз. 2. Далі ми повинні знайти змінні які входять в кожен член многочлена, пізніше з яких ми винесемо за дужки змінну з найменшим показником. 3. Наконец, ми об’єднаємо перші два правила і отримаємо, що потрібно виносити за дужки твір найбільшого числового множника на змінну (і) з найменшим показником.
Зауваження. Іноді ми повинні виносити за дужки дробовий множник, це робиться із за того що іноді нам доводиться працювати з дробами тому інших чисел просто нету. Наприклад:
2, 4*x +7, 2*y=2, 4*(x +3*y)
3*a/7 6/7 + 9*c/7=(3/7)*(a-2*b +3*c).
Приклад 2.
Розкласти на множники:
-(X ^ 4)*(y ^ 3) 2*(x ^ 3)*(y ^ 2) + 5*(x ^ 2)
Рішення буде складатися з виробленого нами алгоритму:
1) Знайдемо найбільший числовий множник у нашому прикладі це-1, -2 і 5.
2) Мінлива X знаходиться у всіх многочленів і ми можемо винести її з найменшим показником, всі ступені X4, 3, 2; найменша ступінь це x ^ 2, її ми і винесемо.
3) Мінлива yне входить у всі члени многочлена, тому її ми не маємо права виносити
У результаті ми можемо винести x ^ 2. Але в нашому прикладі зручніше буде винести x ^ 2. Тоді отримаємо:
-(X ^ 4)*(y ^ 3) 2*(x ^ 3)*(y ^ 2) + 5*(x ^ 2)=-(x ^ 2)*((x ^ 2)*(y ^ 3) +2*x*(y ^ 2)-5)
Приклад 3.
Чи можна розділити 5*(a ^ 4) 10*(a ^ 3) + 15*(a ^ 5) на 5*a ^ 3? Якщо можна, то тоді виконаємо ділення.
На самому початку ми розклали цей многочлен, тому скористаємося раніше отриманими:
5*a ^ 4 10*(a ^ 3) +15*(a ^ 5)=5*a ^ 3*(a 2 + (a ^ 2))
Виходить що розподіл на 5*a ^ 3 можливо, у результаті вийде a-2 + З*(a ^ 2).
Тепер розглянемо випадок, коли має місце винести не один Одночлен, а їх суму, на жаль іноді ми просто не можемо винести за дужку Одночлен
Приклад 4.
Розкласти на множники: 2*x*(x-2) +5*(x-2) ^ 2
Введемо змінну y=x-2. У результаті перетворень отримаємо:
2*x*(x-2) +5*(x-2) ^ 2=2*x*y +5*(y ^ 2)
Зауважимо, що змінну Y ми можемо винести за дужки:
Y*(2*x +5*y)=(x-2) (2*x +5 (x-2))=(x-2) (2*x +5*x-10)=(x-2) (7*x-10).
(2 votes, average: 3.50 out of 5)