Логарифмічні нерівності
При розв’язуванні логарифмічних нерівностей за основу беремо властивості логарифмічних функцій. А саме те, що функція у=logAX при а > 1 буде монотонно зростаючою, а при 0 < а< 1 – монотонно спадною.
Проаналізуємо перетворення необхідні для вирішення нерівності
Log1/5(x – l) > – 2.
Спочатку потрібно зрівняти основи логарифмів, у зазначеному випадку показати праву частину у вигляді логарифму з необхідною підставою. Перетворимо -2=-2 log 1/51/5= log 1/51/5-2= log1/5 25, далі вкажемо вибране нерівність у вигляді:
Log1/5(x – l) > log1/5 25.
Функція у = log1/5 x буде монотонно спадною. Виходить, більшому значенню цієї функції відповідає менше значення аргументу. І відповідно маємо, х-1 < 25. До зазначеного нерівності потрібно додати ще нерівність х – 1 > 0, що відповідає тому факту, що під знаком логарифма може бути лише позитивна величина. Виходить, що дане нерівність ідентично системи двох лінійних нерівностей. Враховуючи, що підстава логарифма менше одиниці, в ідентичній системі знак нерівності змінюється на протилежний:
Вирішивши яке бачимо, що:
1 < х < 26.
Має велике значення не забути умова х – 1 > 0, інакше вийде не правильний висновок: х < 26. Тоді б ці “рішення” входило б і значення х = 0, при якому ліва частина початкового нерівності не існує.
Related posts:
- Ірраціональні нерівності Ірраціональним нерівністю прийнято вважати таку нерівність, які включають невизначені величини або деякі функції невизначених значень під знаком кореня (радикала). Для знаходження результатів ірраціональних нерівностей знайшла широке застосування аналогічна схема виконання перетворень, що і при вирішенні ірраціональних рівнянь: – зведення обох частин нерівності в одну і ту ж ступінь; – введення нових (допоміжних) змінних та ін. […]...
- Логарифмічні рівняння Рішення логарифмічних рівнянь дуже заплутаний і складний математичний процес. Для того щоб знайти правильну відповідь, необхідно слідувати певним правилам від простої маніпуляції до складної. Використовуються властивості ступенів, приватного та логарифмічних творів. Якщо рівняння містить логарифми з різними підставами, то їх потрібно звести до однакового значенням. В першу чергу при вирішенні логарифмічних рівнянь необхідно знайти область […]...
- Поняття нерівності Якщо різниця чисел дорівнює нулю, то ці числа рівні. (а – b = 0). Якщо числа а і b не дорівнюють один одному, то по результату різниці а – b отримуємо або позитивне, або негативне значення. Якщо в результаті отримано позитивне значення, то роблять висновок, що число a більше числа b; позначаємо це так: а […]...
- Цілі раціональні нерівності Цілі раціональні нерівності – різновид раціональних нерівностей в яких відсутня операція ділення на вираз, що містить змінну. Наприклад: 2z5+ 3z2+ 7z – 5 > 0. Далі розглянуто послідовність вирішення цілого раціонального нерівності. Нехай необхідно знайти рішення цілого раціонального нерівностей виду f(x) v 0, де v – один із знаків нерівності <, ≥,≤, >. 1. Розкладаємо […]...
- Раціональні нерівності Раціональні нерівності – це нерівності типу h (x)> g(x), де h, g увазі раціональні вирази. Під раціональними виразами прийнято розуміти такі алгебраїчні вирази, які складаються з чисел, змінної x з застосуванням операції додавання, віднімання, множення, ділення, зведення у натуральну ступінь. Природно, змінну можна висловити будь довільною буквою, але так вже вийшло, що в математиці найбільш […]...
- Дробово-раціональні нерівності Дробово-раціональне нерівність, це таке нерівність, у якому є операції ділення на вираз, що містить змінну. Наприклад: (х – 3) / (х + 3) + 3/(2 – x) > 5. Тобто до нерівностям цього типу відносять нерівності виду: Де p(x) і g(x) – многочлени. На відміну від цілих раціональних нерівностей, дробово-раціональні можуть бути визначені не для […]...
- Показові рівняння (нерівності) Показовими рівнянь (нерівностей), прийнято вважати такі рівняння, в яких невідоме міститься у показнику ступеня. Найпростіше показове рівняння має вигляд: ах = аb, де а > 0, а ≠ 1, х – невідоме. Нехай тут і далі а є позитивне і відмінне від одиниці число. Тоді: 1. Для будь-яких непозитивних значень b рівняння a x = […]...
- Теорема Вієта – коротко Теорема Вієта. Сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює коефіцієнту при першого ступеня невідомого, взятому з протилежним знаком: xt + x2 = – p, а добуток дорівнює вільному члену: x * x2 = q. Два вирази (числові або літерні), з’єднані одним із знаків: “більше” (>), “менше” (<), “більше або дорівнює” (>), “менше або дорівнює” (<) утворюють […]...
- Рішення раціональних нерівностей Вирішити раціональне нерівність, як і будь-яка інша, означає знайти всі його рішення. При їх вирішенні необхідно розуміти різницю між рішення рівнянь і нерівностей. Коли вирішують рівняння, то отримують одне, два, три – якусь кількість рішень. Кожен з коренів можна підставити і перевірити чи є він відповіддю чи ні. Отже, методом підстановки вийде перевірити рішення рівнянь. […]...
- Рішення нерівностей другого степеня з однією змінною Розглянемо невелику задачу. Є деякий прямокутник. Його сторони рівні 2см і 3 см. Кожну сторону прямокутника збільшили на однакову кількість сантиметрів. Після цього площа прямокутника стала більше на 12 см2. Як змінилася кожна зі сторін? Рішення. Бо сторони збільшили на одне і теж число, позначимо це число за х. Тепер можемо записати формули сторін нового […]...
- Доказ нерівності трикутника Нерівність трикутника – це теорема в якій стверджується, що в трикутнику кожна сторона менше суми двох інших. У трикутника вершини ніколи не лежать на одній прямій. Тому цю теорему можна сформулювати по-іншому: якщо три крапки не лежать на одній прямій, то відстань між будь-якими двома з них менше, ніж сума інших двох відстаней. Якщо дано […]...
- Методи рішення квадратних нерівностей Квадратні нерівності – це нерівності, що містять квадратний тричлен ax2 + bx + c, де a ≠ 0. Вирішити квадратне нерівність (як і будь-яке інше) – це означає, знайти область значень змінної (x), при яких нерівність стає вірним. Квадратне нерівність можна вирішити графічним методом (методом зображення параболи) і методом інтервалів. Хоча метод інтервалів також можна […]...
- Нерівність трикутника Будь-яка фігура має якісь рамки, пропорції довжин сторін. У реальному житті вони допомагають визначити, чи можна виготовити трикутне підставу певних пропорцій, наскільки можливо створити лінзу тієї чи іншої форми або може втриматися табуретка на трикутному, квадратному або будь-якому іншому підставі. У теоретичній геометрії пропорції, як правило, застосовують для вирішення завдань на доказ або для визначення […]...
- Руссо “Про походження нерівності” – зміст Коли академія міста Діжона в 1754 р запропонувала на конкурс свою другу тему – про походження нерівності між людьми, Руссо тим більше повинен був за неї вхопитися, що вже в першому міркуванні одним з найбільш небезпечних наслідків освіти він поставив нерівність, що виникає з того, що талант предпочитается чесноти, а у відповіді польському королю вже […]...
- Показ соціальної нерівності у драмі “Назар Стодоля” – ТАРАС ШЕВЧЕНКО – 9 клас Т. Г. Шевченко – це найвидатніший український поет, але спробував він себе також у прозі та драмі. Його єдиною драмою є “Назар Стодоля”, у якій Шевченко змальовує відому ситуацію, коли батько не дозволяє дочці одружитися з коханим. Головний герой його драми – козак Назар Стодоля. Шевченко дуже любив і поважав українських козаків і жалкував, що, […]...
- Логарифмічна функція Функцію виду y=loga (x),де a будь-яке позитивне число не рівне одиниці, називають логарифмічною функцією з основою а. Тут і далі для позначення логарифма ми будемо використовувати наступну нотацію: loga (b)-даний запис буде позначати логарифм b по підставі а. Основні властивості логарифмічної функції: 1.Областю визначення логарифмічної функції буде все безліч позитивних дійсних чисел. Для стислості його […]...
- Шкільний твір на тему – Проблема “нерівності душ” у романі Ліни Костенко “Маруся Чурай” Проблема “нерівності душ” у романі реалізується за допомогою образів Марусі й Гриця. Незвичайність любовного сюжету у романі випливає із незвичайності самої Марусі Чурай. У її глибокій натурі живе дуже сильне максималістське начало, вона керується принципом: “Все – або нічого”. Грицева мати каже про Марусине серце, що воно “горде і трудне”. Трудне – бо не визнає […]...
- Розподіл доходів в економіці Диференціація робіт призводить до нерівності в розподілі особистих доходів. Крім того, важливим фактором нерівності є нерівномірний розподіл власності на цінні папери, а так само нерухоме майно. Щоб визначити ступінь нерівності в економіці використовують криву Лоренца. Зазвичай населення ділять на 5 груп: від найменш забезпечених до найбагатших. Якщо все групи населення мають рівні доходами, то на […]...
- Основні способи розв’язання логарифмічних рівнянь Логарифмічними рівнянням називають рівняння, в якому представлені невідомі величини під знаком логарифма. Рівняння типу log2X=5 або log3(x-1)=0 – логарифмічні. Логарифмічні рівняння, так само як і показові, відносяться до трансцендентним. Найпростішим логарифмічним рівнянням представлено рівняння наступне безпосередньо з формулювання логарифма: Logаx=b, Де а і b – задані числа, Х – невідома змінна. Якщо а – не […]...
- Менше або більше За рахунку натуральні числа називають по порядку: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 …… З двох натуральних чисел менше те, яке за рахунку називають раніше, і більше те, яке за рахунку називають пізніше. Число 4 менше, ніж 7, а число 8 більше, ніж 7. Одиниця – найменше натуральне число. Точка з меншою […]...
- Чим система відрізняється від сукупності в математиці Вирішенню рівнянь, системи рівнянь або системи нерівностей, завжди приділялося багато уваги при вивченні математики, фізики у шкільній програмі. Метод вирішення системи рівнянь широко застосовується в науці, в статистиці, при вивченні фізичних проблем. Тому цікаво знати сутність понять системи і сукупності. Що таке система і сукупність Система – вибір результатів рішень, які підійдуть усім рівнянням системи. […]...
- Що таке “порівняння натуральних чисел”? Давайте для початку визначимося, що ми будемо розуміти під порівнянням двох натуральних чисел. Уявімо таку картину: на дереві розмістилася зграя з 7 птахів, а на іншому дереві – зграя з 5 десятків птахів. Начебто і на одному дереві зграя птахів, і на іншому – зграя птахів. Але ці зграї не схожі одна на іншу. Ось […]...
- Таблиця похідних Похідна відноситься до головного поняттю диференціального обчислення, а обчислення похідної до самої основної операції цього ж обчислення. Дане поняття характеризує швидкість зміни функції. Означення похідної – це обчислення межі відношення приросту функції до її аргументу, за умови прагнення збільшення аргументу до нуля, за умови, що така межа існує. Диференціюється функція – це функція, яка має […]...
- Співвідношення між сторонами і кутами трикутника У трикутнику між його сторонами і кутами існують певні співвідношення. Якщо який-небудь кут трикутника більший за інший, то навпроти його лежить сторона з більшою довжиною, ніж навпроти іншого. Іншими словами, навпроти найбільшого кута трикутника лежить найбільша сторона, навпроти середнього кута – середня сторона, а навпроти найменшого кута – найменша сторона. Зрозуміло, що якщо кути трикутника […]...
- Водневий показник pH Напевно, багато хто чув про такий показник, як pH. Наприклад, в деяких рекламах засобів гігієни рекламодавець звертає увагу потенційного покупця на те, що його продукт (крем, мило та ін.) Має нейтральний показником pH. Що ж це за “звір” такий pH, і що він означає? PH – це водневий показник речовини, що відображає його кислотність через […]...
- Тотожності Розглянемо дві рівності: 1. a12*a3=a7*a8 Це рівність буде виконуватися при будь-яких значеннях змінної а. Областю допустимих значень для того рівності буде все безліч дійсних чисел. 2. a12: a3=a2*a7. Це нерівність буде виконуватися для всіх значень змінної а, крім а рівного нулю. Областю допустимих значень для цієї нерівності буде все безліч дійсних чисел, крім нуля. Про […]...
- Півмісячна нерівність припливу Напрями приливообразующих сил Місяця і Сонця внаслідок звернення Місяця навколо Землі і останньої біля Сонця безперервно змінюються. Якщо напрямок від Землі до Сонця змінюється протягом місяця небагато, то напрямок до Місяця за той же час зміниться на 360 °, причому два рази – в сизигії – воно співпаде з напрямком на Сонце і два рази […]...
- Дійсні числа Поняття дійсного числа Дійсне число – будь-яке невід’ємне або від’ємне число або нуль. З допомогою дійсних чисел виражають вимірювання кожної фізичної величини. Речовий або дійсне число виникло необхідності вимірювань геометричної і фізичної величин світу. Крім того, для проведення операцій добування кореня, обчислення логарифма, вирішення алгебраїчних рівнянь і т. д. Натуральні числа утворилися з розвитком рахунку, […]...
- Закони відбивання світла Як і говорилося в попередньому розділі, серед основних законів геометричної оптики є закон відображення. На ньому грунтуються практично всі знання про геометричні властивості світлових променів. Існує два закони відображення: Перпендикуляр до розділу середовищ, що падає і відбитий промені – все лежать в одній площині. Кут падіння променя дорівнює куту відбиття. Тобто, судячи з нашого малюнка […]...
- Моделі оптимального планування Проблема, до обговорення якої ми тепер переходимо, називається оптимальним плануванням. Об’єктами планування можуть бути самі різні системи: діяльність окремого підприємства, галузі промисловості або сільського господарства, регіону, нарешті держави. Постановка завдання планування виглядає наступним чином: – Є деякі планові показники: X, У, та ін.; – Є деякі ресурси: R1, R2 та ін., За рахунок яких ці […]...
- Закон гіперболи Для отримання збудження необхідно якийсь мінімальний час роздратування постійним електричним струмом. Існує певна залежність між силою дратівної постійного електричного струму і часом роздратування, необхідним для виникнення збудження, або латентним періодом. Ця залежність виражається кривою сили – часу, що має вид рівносторонній гіперболи (Гоорвег, 1892, Вейс, 1901). Закон гіперболи: кожному мінімального проміжку часу роздратування відповідає мінімальна […]...
- Теорема Вієта Для початку сформулюємо саму теорему: Нехай у нас є наведене квадратне рівняння виду x ^ 2 + b*x + c=0. Припустимо, це рівняння містить коріння x1 і x2. Тоді по теоремі наступні твердження припустимі: 1) Сума коренів x1 і x2 буде дорівнювати від’ємному значенню коефіцієнта b. X1 + X2=-b; 2) Твір цих самих коренів буде […]...
- Квадратний корінь з ступеня Квадратним коренем з числа a називають таке число, квадрат якого дорівнює a. Наприклад, числа-5 і 5 є квадратними коренями з числа 25. Тобто, корені рівняння x ^ 2=25, є квадратними коренями з числа 25. Тепер необхідно навчитися витягувати квадратний корінь з ступеня. Є два основних правила: Правило № 1 Якщо a>=0 і n-деяке натуральне число, […]...
- Правила складання натуральних чисел Арифметична операція додавання чисел позначається значком “плюс” (+). A + B = C Натуральні числа А і В називаються складовими; Число З називається сумою числі А і В або результатом складання (оскільки А і В є натуральними числами, то і число С завжди буде натуральним числом). Властивості додавання натуральних чисел: Переместительное властивість – від перестановки […]...
- Умова квазістаціонарності У разі змінного струму виникає один тонкий момент. Припустимо, що ланцюг складається з кількох послідовно з’єднаних елементів. Якщо напруга джерела змінюється за синусоїдальним законом, то сила струму не встигає миттєво приймати одне і те ж значення у всій ланцюга – на передачу взаємодій між зарядженими частинками вздовж ланцюга потрібен якийсь час. Тим часом, як і […]...
- Маркування резисторів за кольором Маркування резисторів за кольором була задумана для полегшення зчитування номіналу постійного резистора при будь-якому положенні самого резистора. Опір вимірюється в Омасі. Символ ома – буква омега ohm. 1 Ом – досить маленька величина. Тому часто значення резистора задається в КОм і в МОм. 1 КОм = 1000 Ом. 1 МОм = 1000000 Ом. Маркування резисторів […]...
- ГІТАРА – ФЕДЕРІКО ГАРСІА ЛОРКА – 11 КЛАС Починається плач гітари, Розбивається чаша світанку, Починається плач гітари, Гамувати плач її марно – Не втішайте даремно іспанку. А так плаче у такт, монотонно… Плаче так лиш вода або вітер, Що спиняється снігом бездонним, А її неможливо спинити. Плаче щиро про речі померлі, Про пісок із гарячого півдня, Що сумує без білих камелій І так […]...
- Значення слова комільфо А що ж таке комільфо? Для пояснення значення цього слова знадобиться ще менше часу. Але все ж трохи посоздаю інтригу. Утворилося це слівце знову ж від часто вживаного французького виразу “comme il faut” (кому иль фо), що в перекладі означає “той, що доктор прописав”, “як треба”, “як слід” , “правильно” і т. п. В радянські […]...
- Конфлікти і розколи в Німеччині У сучасній Німеччині основні конфлікти пов’язані з “розколом” між двома частинами Німеччини – західної і східної. Швидка інтеграція східних земель була успішною в політичному плані, проте економічний розкол подоланий не був. Оскільки дві держави протягом 40 років розвивалися окремо один від одного, злиття цих систем в соціально-економічному відношенні виявилося важким, насамперед для східної частини країни, […]...
- Види сил тертя Виділяють три види сил тертя: тертя ковзання, тертя кочення і тертя спокою. Сила тертя ковзання виникає, коли одне тіло переміщається по поверхні іншого. Чим більше вага тіла, і чим більше коефіцієнт тертя між даними поверхнями (коефіцієнт залежить від матеріалу, з якого зроблені поверхні), тим більше сила тертя ковзання. Сила тертя ковзання не залежить від площі […]...