Похідна та показова функція
Графік показовою функції являє собою криву плавну лінію без зламів, до якої в кожній точці, через яку вона проходить, можна провести дотичну. Логічно припустити, що якщо можна провести дотичну, значить функція буде диференційована в кожній точці своєї області визначення.
Відобразимо в одних координатних осях кілька графіків функції y=xa, Для а=2; a=2,3; a=3; a=3,4.
У точці з координатами (0; 1).Кути нахилу цих дотичних будуть рівні приблизно 35,40,48 і 51 градусів відповідно. Логічно припустити, що на інтервалі від 2 до 3 існує число, при якому кут нахилу дотичної буде дорівнює 45 градусів.
Дамо точне формулювання цього твердження: існує таке число більше 2 і меншу 3,позначається буквою е, що показова функція y=ex в точці 0,має похідну рівну 1.Тобто: (e? x-1) / ?x прагне 1 при прагненні? х до нуля.
Дане число e є ірраціональним і записується у вигляді нескінченної неперіодичної десятковим дробом:
E=+2,7182818284…
Так як число е позитивно і відмінно від нуля, то існує логарифм по підставі e. Даний логарифм називається натуральним логарифмом. Позначається ln (x)=loge (x).
Похідна показовою функції
Теорема: Функція ex диференційована в кожній точці своєї області визначення, і (ex) ‘=ex.
Показова функція ax диференційована в кожній точці своєї області визначення, і причому (ax) ‘=(ax)*ln (a).
Наслідком з цієї теореми є той факт, що показова функція неперервна в будь-якій точці своєї області визначення.
Приклад: знайти похідну функції y=2x.
За формулою похідної показовою функції отримуємо:
(2x) ‘=(2x)*ln (2).
Відповідь: (2x)*ln (2).
Первообразная показовою функції
Для показовою функції ax заданої на множині дійсних чисел первообразной буде функція (ax) / (ln (a)).
ln (a)-деяка постійна, тоді (ax / ln (a)) ‘=(1 / ln (a))*(ax)*ln (a)=ax для будь-якого х. Ми довели цю теорему.
Розглянемо приклад на знаходження первообразной показовою функції.
Приклад: знайти первісну до функції f (x)=5x. Скористаємося формулою наведеною вище і правилами знаходження первісних. Отримаємо: F (x)=(5x) / (ln (5)) + C.
Відповідь: (5x) / (ln (5)) + C.
Related posts:
- Логарифмічна функція Функцію виду y=loga (x),де a будь-яке позитивне число не рівне одиниці, називають логарифмічною функцією з основою а. Тут і далі для позначення логарифма ми будемо використовувати наступну нотацію: loga (b)-даний запис буде позначати логарифм b по підставі а. Основні властивості логарифмічної функції: 1.Областю визначення логарифмічної функції буде все безліч позитивних дійсних чисел. Для стислості його […]...
- Поняття про обернену функцію Ми вже стикалися з завданням, коли за заданою функції f і заданому значенню її аргументу необхідно було обчислити значення функції в цій точці. Але іноді доводиться стикатися із зворотного завданням: знайти за відомою функції f і її деякому значенню y значення аргументу, в якому функція приймає дане значення y. Функція, яка, приймає кожне своє значення […]...
- Показникова функція Показовою називається функція у = ах, в якій а – це постійне позитивне число. Число а необхідно брати позитивним тому, що при а < 0 величини не були б дійсними. Аргумент х може мати будь-які дійсні значення, а значення функції у = ах необхідно задавати тільки позитивні. Наприклад: Для функції у = 16х при х […]...
- Функція y=k/x і її графік Розглянемо функцію y=k/y. Графіком цієї функції є лінія, звана в математиці гіперболою. Загальний вигляд гіперболи, представлений на малюнку нижче. (На графіку представлена функція y одно k розділити на x, у якої k дорівнює одиниці. ) Видно, що графік складається з двох частин. Ці частини називають гілками гіперболи. Варто відзначити також, що кожна гілка гіперболи підходить […]...
- Функція: область визначення і область значень функцій Функція-це модель. Визначимо X, як безліч значень незалежної змінної незалежна-значить будь-яка. Функція це правило, за допомогою якого по кожному значенню незалежної змінної з безлічі X можна знайти єдине значення залежної змінної. / / Тобто для кожного х є один у. З визначення випливає, що існує два поняття-незалежна змінна (яку позначаємо х і вона може приймати […]...
- Степенева функція Функції у = ах, у = ax2, у = а/х – є приватними видами степеневої функції при n = 1, n = 2, n = -1. Так як нульова ступінь всякого числа, не рівного нулю, дорівнює одиниці, то при n = 0 степенева функція стає постійною величиною, тобто у = а. Пояснимо докладніше: вираз нуль […]...
- Похідні елементарні функції Зростання і спадання функцій (достатній ознака). Якщо похідна даної функції існує і позитивна (негативна) для всіх значень x в інтервалі (a, b), то функція в цьому інтервалі зростає (відповідно, убуває). Максимуми і мінімуми функції. Точка x = x0 називається точкою (відносного) максимуму функції f (x), якщо існує така околиця точки x0, що для всіх значень […]...
- Визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс Для початку розглянемо коло з радіусом 1 і з центром в (0, 0). Для будь-якого? ЄR можна провести радіус 0A так, що Радіанна міра кута між 0A і віссю 0x дорівнює?. Напрямок проти годинникової стрілки вважається позитивним. Нехай кінець радіуса А має координати (a, b). Визначення синуса Визначення: Число b, рівне ординате одиничного радіуса, побудованого […]...
- Функція податків Податки як вартісна категорія мають свої відмітні ознаки і функції, які виявляють їх соціально-економічну сутність і призначення. Функція податку – це прояв його сутності в дії, спосіб вираження його властивостей. Існують три основні функції податків: 1) фіскальна; 2) контрольна; 3) розподільна. Між собою ці функції взаємопов’язані і взаємозалежні. Жодна з них не може розвиватися на […]...
- Контроль як функція управління підприємством Контроль – провідна функція управління. Коли менеджмент організації ставить певні цілі, то контроль є процесом, який забезпечує досягнення визначеної мети. Головне завдання контролю – оцінити результати роботи організації. Серед основних причин необхідності контролю можна назвати: Наявність невизначеності, складності та динамічності середовища; Необхідність попередження появи кризової ситуації через виявлення помилкових дій і невідповідностей до того, як […]...
- Область визначення функції Область визначення – це твір допустимих значень аргументу функцій. Для функцій, які задаються формулами, область визначення знаходять, виходячи з таких принципів: При функції-многочлене вона існує під час будь-яких значень аргументу, тобто її область визначення – всі натуральні числа. При функції, яка задана формулою містить аргумент в знаменнику дробу, в область визначення функції входять всі натуральні […]...
- Функція гіперболи (алгебра) Функція записується в загальному вигляді, як y = або f (x) = Y і x – це обернено пропорційні величини, тобто коли одна зростає, інша зменшується (перевірте, підставивши числа в функцію) На відміну від попередньої функції, в якій x2 завжди створює позитивні значення, тут ми не можемо сказати, що – = , оскільки це будуть […]...
- Будівельна функція вуглеводів Будівельна, або структурна, – це основна функція вуглеводів, яка полягає в тому, що це будівельний матеріал для клітин. Які вуглеводи виконують в клітці будівельну місію? У ній беруть участь целюлоза, хітин, рибоза і дезоксирибоза. Так, наприклад, у грибів і членистоногих будівельну функцію виконує хітин, а целюлоза (полісахарид) – у рослин. Таким чином надається міцність клітці. […]...
- Властивості синуса, косинуса, тангенса і котангенс Властивості синуса Область визначення: вся числова вісь; Область значень: [-1; 1]; Непарна функція; Найменший позитивний період: 2*pi; Координати точок перетину графіка функції з віссю Ох: (pi*n; 0); Координати точок перетину графіка функції з віссю Оу: (0, 0); Проміжки, на яких функція позитивна: (2*pi*n; pi +2*pi*n); Проміжки, на яких функція негативна: (-pi + 2*pi*n; 2*pi*n); Проміжки […]...
- Функція в методі ФВА Головним поняттям, яким оперує ФВА, є функція. Функцією визначається, яке зовнішнє вплив робить об’єкт на систему відносин. Це все те, що користувач спостерігає і чим користується безпосередньо. Методи оцінки інвестиційних проектів оперують більшою мірою саме цими параметрами. Також виділяють внутрішні функції продукції. Вони визначають взаємодії складових частин продукції і її технічний пристрій, набір технологічних рішень […]...
- Інтеграл – що це таке? Інтеграл це результат безперервного підсумовування нескінченно великого числа нескінченно малих доданків. При інтегруванні функції беруться нескінченно малі збільшення її аргументів і обчислюється нескінченний сума збільшень функції на цих ділянках. У геометричному сенсі зручно думати про інтеграл двомірної функції на певній ділянці як про площі фігури, замкнутої між графіком цієї функції, віссю X і перпендикулярними їй […]...
- Функція спинного мозку людини Спинний мозок виконує рефлекторну і провідну функції. Біла речовина спинного мозку здійснює провідну функцію і пов’язує між собою його сегменти. Спинний мозок проводить збудження вгору і вниз. За чутливим нейронам збудження передається від спинного мозку до головного мозку. А імпульси від головного мозку передаються вниз руховим нейронам (по спадним шляхах) і поширюються в інервуємі органи. […]...
- Аксіологічна функція Право, юридичні закони, правовідносини, правовий порядок, та й вся правова реальність опинилися у фокусі сьогоднішньої суспільного життя, соціальних вимог і очікувань різних соціальних та етнічних груп України. “Дайте нам хороші закони!” – Чується з усіх боків від господарників, діячів культури, науки, освіти, селян, робітників, військовослужбовців та ін. На рівні буденної свідомості люди постійно оцінюють правову […]...
- Виховна функція в процесі навчання Між вихованням і навчанням завжди була присутня нерозривний зв’язок, оскільки навчання, по суті, носить виховний характер. При цьому виховання в навчанні реалізується під постійним впливом зовнішніх факторів, таких як сім’я, мікросередовище і інших. Все це робить виховання складним багатокомпонентним процесом. Виховна функція навчання полягає в закладці моральних, естетичних норм, відбувається формування поглядів на світ, здатність […]...
- Проектування як функція менеджменту Управління організацією – це не тільки повсякденний процес трудової діяльності менеджера, а й мистецтво, яке потребує суттєвого уваги і контролю. Розглянемо проектування як одну з ключових функцій менеджменту, щоб дослідити його основні особливості. Функції організації Функції організації представляють собою дві категорії: Формування постійних і змінних взаємозв’язків між усіма відділами підприємства Створення алгоритму виконання управлінського рішення, […]...
- Знайти точку перетину графіків лінійних функцій Якщо дано дві лінійні функції виду y = kx + m, то їх графіки (прямі) можуть взагалі не перетинатися, якщо паралельні один одному. У всіх інших випадках вони будуть перетинатися в одній точці. Графіки двох лінійних функцій паралельні один одному, якщо мають однаковий кутовий коефіцієнт (k) і різне значення m (якщо і m буде одне […]...
- Модуль числа Абсолютна величина або модуль числа a – позитивне число, яке залежить від виду числа a. Позначають як: |a|. Модуль додатного дійсного числа a – це саме це число. Число модулі: |а| = а Модуль негативного дійсного числа а – це протилежне йому число: |а| = – а У загальному випадку запис модуля числа виглядає так: […]...
- Поняття похідної Розглянемо таку задачу: нехай деяка точка рухається по прямій безперервно і плавно. У деякий момент часу t координата точки х дорівнює х (t). Для визначеності можемо вважати, що мова йде про рух автомобіля за прямолінійним ділянці дороги. Завдання полягає в наступному: по відомій залежності x (t) знайти швидкість, з якою автомобіль рухається в конкретний момент […]...
- Зрушення графіків функцій Нам відомі такі функції та їх графіки як Y = kx (пряма), y = kx2 (парабола), y = k√x (“половинка” параболи), y = k / x (гіпербола). Зміна значення k впливає на вигляд графіка (ступінь крутизни у разі параболи), розташування гілок в координатних чвертях і ін. Проте точкою, через яку можна провести вісь симетрії графіків, […]...
- Структура і функція в медицині Структура і функція є базовими поняттями в біології і в медицині з великим методологічно регулятивним потенціалом. Від їхнього розуміння залежить той чи інший підхід до проблеми етіології, патогенезу, морфогенезу хвороб людини і багатьох інших проблем медицини. Розглядаючи загальнофілософський аспект проблеми співвідношення структури і функції, можна вдатися до такої аналогії. Структурно-функціональні взаємини мають багато спільного з […]...
- Рішення диференціальних рівнянь Рішення диференціальних рівнянь. Коли похідні від елементарних функцій виражаються через елементарні функції, то виражати інтеграл через елементарні функції не завжди виходить. В результаті рішення диференціальних рівнянь можна отримати: Очевидну залежність функції від змінної. Рішення диференціального рівняння – це така функція y(x), яка визначена і деяку кількість разів диференціюється в деякій області, при підстановці цієї функції […]...
- Функція камбія Камбій знаходиться між лубом (внутрішня частина кори) і деревиною, утворює камбіального кільце, що складається з клітин освітньої тканини. Функція камбія – забезпечення зростання стебла в товщину. Його клітини з одного боку перетворюються в луб (флоему), з іншого – в деревину (ксилему). Причому деревини утворюється більше. Активність клітин камбію відрізняється сезонністю. Найбільша активність в сприятливий час […]...
- Мотивація як функція менеджменту Мотивація – спонукання до дії; динамічний процес фізіологічного та психологічного плану, керуючий поведінкою людини, що визначає його спрямованість, організованість, активність і стійкість; здатність людини через працю задовольняти свої потреби. У той же час мотивація (мотив) – одне з ключових понять психологічної теорії діяльності, що розроблялися провідними радянськими психологами А. Н. Леонтьєвим і С. Л. Рубінштейном. […]...
- Послідовності – коротко Наприклад, є функція: d (n) = 2n. N – будь-яке натуральне число. Підставляємо у функцію числа: d (1) = 2; d (2) = 4; d (3) = 6; … Значить, d (1) – 1-е число в послідовності, d (2) – друге і т. д. Або їх можна позначити так: D1, d2, d3, … Це спрощує […]...
- Поняття про диференціальні рівняння У ході вирішення різних практичних завдань виникають рівняння, які пов’язують похідні деякої функції, саму функцію і незалежну змінну. Рівняння, які крім функцій включають в себе ще й похідні цих функцій, називаються диференціальними рівняннями. Наприклад, розглянемо другий закон Ньютона. Згідно нього, при русі матеріальної точки постійної маси по прямій буде справедлива наступна формула F=m*a, де F-сила, […]...
- Бар’єрна функція лімфатичних вузлів Якщо мікроорганізми проривають запальний бар’єр, тобто запалення як механізм неспецифічного захисту не спрацьовує, то збудники потрапляють в лімфатичні судини, а звідти в регіональні лімфатичні вузли. Регіональні лімфатичні вузли, з одного боку, затримують мікроорганізми чисто механічно, з іншого – в них йде посилений фагоцитоз. Так реалізується барьерфіксірующая функція лімфатичних вузлів. До тканинним механізмам неспецифічної протимікробної захисту […]...
- Гіпоталамус: анатомія, функція, симптоми ураження Гіпоталамус (область проміжного мозку) розташований донизу від таламуса і обмежений спереду хиазмой, ззаду – Соскоподібного тілами, з боків – Ніжками мозку і внутрішніми капсулами. Гіпоталамус утворює основу мозку, представляючи собою дно III шлуночка. Покришечно частиною зводу, яка спускається від передньої стінки межжелудочкового отвори в напрямку вперед і вниз до соскоподібного тілам, він розділений на медіальну […]...
- Дихальна функція крові Дихальна функція крові здійснюється кров’яними пігментами. Це кольорові речовини білкової природи – хромопротеїни. Розрізняють кров’яні пігменти, що містять залізо (гемоглобін, ерітрокруорін, хлорокруорін, гемерітрін) і мідь (гемоцианин). Кров’яні пігменти знаходяться в розчині або містяться в кров’яних тільцях. Вони відрізняються різною здатністю зв’язувати кисень. Ерітрокруорін, хлорокруорін і гемерітрін знаходяться в крові хробаків, гемоцианин – у молюсків і […]...
- Організація як функція менеджменту Організація (від грец. інструмент) – це цільове об’єднання ресурсів; складова частина управління, суть якої полягає в координації дій окремих елементів системи, досягненні взаємної відповідності функціонування її частин. Термін англійською мовою: organization (proprietary organization – комерційна організація, charitable organization – благодійна організація, nonprofit organization – некомерційна організація), arrangement. Функціональна основа організації Рішення, що приймаються одноосібно або […]...
- Функція мікротрубочок До органелл немембранної будови відносять мікротрубочки – трубчастої форми утворення різної довжини із зовнішнім діаметром 24 нм, товщиною стінки близько 5 нм і шириною “просвіту” 15 нм. Вони зустрічаються у вільному стані в цитоплазмі клітин або як структурні елементи джгутиків (сперматозоїди), війок (миготливий епітелій трахеї), митотического веретена і центріолей (діляться клітини). Микротрубочки будуються шляхом складання […]...
- Важлива функція жовчі Важлива функція жовчі – здатність емульгувати жири – пов’язана з присутністю в ній жовчних кислот. Жовчні кислоти в своїй структурі мають гідрофобну і гідрофільну (бічний ланцюг з СООН-групою) частини і є амфотерними сполуками. У водному розчині вони, розташовуючись навколо жирових крапель, знижують їх поверхневий натяг і перетворюють в тонкі, майже мономолекулярні жирові плівки, тобто емульгують […]...
- Застосування інтеграла Поняття інтеграла широко застосовується в житті. Інтеграли застосовуються в різних галузях науки і техніки. Основними завданнями, обчислюваними за допомогою інтегралів є задачі на: Знаходження об’єму тіла; Знаходження центру мас тіла. Розглянемо кожну з них більш докладно. Тут і далі, для позначення певного інтеграла від деякої функції f (x),з межами інтегрування від a до b, будемо […]...
- Зорове сприйняття. Функція рецепторів Рецептори сітківки очного яблука – колбочки і палички – розрізняються по виконуваної функції. Палички чутливі до сонячних променів, світла. Чутливість паличок визначається наявністю червоного речовини – родопсину. На світлі родопсин розпадається на складові частини і перетворюється в жовте речовина. При перетворенні родопсина в жовте речовина в паличках відбувається сприйняття світла. Так ми відчуваємо світло і […]...
- Кінетичний опис руху рідини і газу – “гідрокінематика” При кінематичному описі руху будь механічної системи немає необхідності докладно розглядати внутрішні фізичні властивості тіл, включених в систему. При описі руху рідини достатньо взяти до уваги її плинність – здатність змінювати свою форму при найменшому зовнішньому впливі. Властивості рідин і газів істотно різняться, проте опис руху рідин і газів схоже, тому в даному розділі, говорячи […]...
- Зображальна функція кличних комунікатів у поетичному мовленні Лесі Українки Кличні комунікати – це самостійні речення-звертання, їх модифікації – звертання в складі інших самостійних речень [6, 407]. Кличні комунікати та їх модифікації в поетичному мовленні Лесі Українки, крім естетичного значення, зумовленого прагматичним значенням контактності – називанням конкретної істоти, адресата мовлення – часто мають ще й естетичне значення, зумовлене художньою образністю засобів, з яких вони складаються. […]...