Оцінити число в нерівностях
Для оцінки чисел в нерівностях використовуються різні властивості числових нерівностей. Зазвичай в таких завданнях даються одне або кілька вихідних нерівностей, в яких присутні змінні. Потрібно оцінити результат арифметичних дій над цими змінними (т. Е. Одержувані нові числа).
Наприклад, дані два таких вихідних подвійних нерівності:
-1 <P <10;
2,5 <q <3,2.
Потрібно оцінити числа, які виходять в результаті наступних дій над змінними:
0,1 × p,
1 / q,
p + q,
q – p,
p3.
При оцінці числа 0,1p скористаємося наступними властивістю числових нерівностей:
Якщо a <b і c> 0, то ac <bc. В даному випадку c = 0,1.
Якщо a <b і b <c, то a <c. В даному випадку b = 0,1p, a = -1 × 0,1, c = 10 × 0,1.
На основі цих властивостей ми можемо помножити всі частини вихідного подвійного нерівності (не змінюючи знаки порівняння) на 0,1 і таким чином отримати оцінку для числа 0,1p:
-1 × 0,1 <0,1p <10 × 0,1
-0,1 <0,1p <1
Тобто, число 0,1p лежить в межах від -0,1 до 1.
При оцінці числа 1 / q слід скористатися властивістю числових нерівностей, що описує дробу:
Якщо a <b і обидва числа позитивні, то 1 / a> 1 / b.
Звідси можна зробити висновок, що у вихідному нерівності слід поміняти знаки порівняння на зворотні:
1 / 2,5> 1 / q> 1 / 3,2
Запишемо нерівність навпаки:
1 / 3,2 <1 / q <1 / 2,5
Виконаємо дії:
0,3125 <1 / q <0,4
Для оцінки числа p + q використовуються таку властивість числових нерівностей:
Якщо a <b, то a + c <b + c. Нехай в даному випадку c = q.
Обидва числових нерівності складаються почленно:
-1 + 2,5 <p + q <10 + 3,2
1,5 <p + q <13,2
Число q – p можна представити у вигляді суми: – p + q і вирішити також як вище. Однак у порівнянні з попереднім числом (p + q), тут p спочатку треба помножити на -1. Для виконання цієї дії скористаємося такою властивістю числових нерівностей:
Якщо a <b і c <0, то ac> bc. В даному випадку c = -1.
Таким чином, з вихідного нерівності виходить нерівність протилежного змісту, т. Е. Змінюються знаки на зворотні:
-1 × -1> -1p> -1 × 10
Перевернемо нерівність і виконаємо дії:
-10 <-p <1
Тепер можна скласти q і – p:
-10 + 2,5 <q – p <1 + 3,2
-7,5 <Q – p <4,2
Для оцінки числа p3 скористаємося такою властивістю:
Якщо n – непарне число, то для будь-яких чисел a і b якщо a <b, то і an <bn.
(-1) 3 <p3 <103
-1 <P3 <1000
Якби p зводився в квадрат або в будь-яку іншу парну ступінь, то такою властивістю ми б скористатися без оглядки на абсолютні значення не могли. Так якби замість -1 було число -20, то (-20) 2> 102.
Related posts:
- Поняття нерівності Якщо різниця чисел дорівнює нулю, то ці числа рівні. (а – b = 0). Якщо числа а і b не дорівнюють один одному, то по результату різниці а – b отримуємо або позитивне, або негативне значення. Якщо в результаті отримано позитивне значення, то роблять висновок, що число a більше числа b; позначаємо це так: а […]...
- Цілі раціональні нерівності Цілі раціональні нерівності – різновид раціональних нерівностей в яких відсутня операція ділення на вираз, що містить змінну. Наприклад: 2z5+ 3z2+ 7z – 5 > 0. Далі розглянуто послідовність вирішення цілого раціонального нерівності. Нехай необхідно знайти рішення цілого раціонального нерівностей виду f(x) v 0, де v – один із знаків нерівності <, ≥,≤, >. 1. Розкладаємо […]...
- Теорема Вієта – коротко Теорема Вієта. Сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює коефіцієнту при першого ступеня невідомого, взятому з протилежним знаком: xt + x2 = – p, а добуток дорівнює вільному члену: x * x2 = q. Два вирази (числові або літерні), з’єднані одним із знаків: “більше” (>), “менше” (<), “більше або дорівнює” (>), “менше або дорівнює” (<) утворюють […]...
- Лінійні нерівності Лінійними називаються нерівності ліва і права частина яких представляє собою лінійні функції щодо невідомої величини. До них відносяться, наприклад, нерівності: 5>4 – 6x 9-x < x + 5. Лінійні нерівності – це нерівності виду: Ax +b>0 або ax + b<0 Ax +b≤0 або ax + b≫0 Де a і b – деякі задані числа; x […]...
- Ірраціональні нерівності Ірраціональним нерівністю прийнято вважати таку нерівність, які включають невизначені величини або деякі функції невизначених значень під знаком кореня (радикала). Для знаходження результатів ірраціональних нерівностей знайшла широке застосування аналогічна схема виконання перетворень, що і при вирішенні ірраціональних рівнянь: – зведення обох частин нерівності в одну і ту ж ступінь; – введення нових (допоміжних) змінних та ін. […]...
- Логарифмічні нерівності При розв’язуванні логарифмічних нерівностей за основу беремо властивості логарифмічних функцій. А саме те, що функція у=logAX при а > 1 буде монотонно зростаючою, а при 0 < а< 1 – монотонно спадною. Проаналізуємо перетворення необхідні для вирішення нерівності Log1/5(x – l) > – 2. Спочатку потрібно зрівняти основи логарифмів, у зазначеному випадку показати праву частину […]...
- Показові рівняння (нерівності) Показовими рівнянь (нерівностей), прийнято вважати такі рівняння, в яких невідоме міститься у показнику ступеня. Найпростіше показове рівняння має вигляд: ах = аb, де а > 0, а ≠ 1, х – невідоме. Нехай тут і далі а є позитивне і відмінне від одиниці число. Тоді: 1. Для будь-яких непозитивних значень b рівняння a x = […]...
- Рішення нерівностей другого степеня з однією змінною Розглянемо невелику задачу. Є деякий прямокутник. Його сторони рівні 2см і 3 см. Кожну сторону прямокутника збільшили на однакову кількість сантиметрів. Після цього площа прямокутника стала більше на 12 см2. Як змінилася кожна зі сторін? Рішення. Бо сторони збільшили на одне і теж число, позначимо це число за х. Тепер можемо записати формули сторін нового […]...
- Рішення раціональних нерівностей Вирішити раціональне нерівність, як і будь-яка інша, означає знайти всі його рішення. При їх вирішенні необхідно розуміти різницю між рішення рівнянь і нерівностей. Коли вирішують рівняння, то отримують одне, два, три – якусь кількість рішень. Кожен з коренів можна підставити і перевірити чи є він відповіддю чи ні. Отже, методом підстановки вийде перевірити рішення рівнянь. […]...
- Що значить ірраціональне число? Всі раціональні числа можна представити у вигляді звичайного дробу. Це стосується і цілих чисел (наприклад, 12, -6, 0), і кінцевих десяткових дробів (наприклад, 0,5; -3,8921), і нескінченних періодичних десяткових дробів (наприклад, 0,11 (23); -3 , (87)). Однак нескінченні неперіодичні десяткові дроби представити у вигляді звичайних дробів неможливо. Вони то і є ірраціональними числами (тобто нераціональними). […]...
- Раціональні нерівності Раціональні нерівності – це нерівності типу h (x)> g(x), де h, g увазі раціональні вирази. Під раціональними виразами прийнято розуміти такі алгебраїчні вирази, які складаються з чисел, змінної x з застосуванням операції додавання, віднімання, множення, ділення, зведення у натуральну ступінь. Природно, змінну можна висловити будь довільною буквою, але так вже вийшло, що в математиці найбільш […]...
- Дробово-раціональні нерівності Дробово-раціональне нерівність, це таке нерівність, у якому є операції ділення на вираз, що містить змінну. Наприклад: (х – 3) / (х + 3) + 3/(2 – x) > 5. Тобто до нерівностям цього типу відносять нерівності виду: Де p(x) і g(x) – многочлени. На відміну від цілих раціональних нерівностей, дробово-раціональні можуть бути визначені не для […]...
- Методи рішення квадратних нерівностей Квадратні нерівності – це нерівності, що містять квадратний тричлен ax2 + bx + c, де a ≠ 0. Вирішити квадратне нерівність (як і будь-яке інше) – це означає, знайти область значень змінної (x), при яких нерівність стає вірним. Квадратне нерівність можна вирішити графічним методом (методом зображення параболи) і методом інтервалів. Хоча метод інтервалів також можна […]...
- Менше або більше За рахунку натуральні числа називають по порядку: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 …… З двох натуральних чисел менше те, яке за рахунку називають раніше, і більше те, яке за рахунку називають пізніше. Число 4 менше, ніж 7, а число 8 більше, ніж 7. Одиниця – найменше натуральне число. Точка з меншою […]...
- Число хромосом Всі особини одного виду мають зазвичай однакове число хромосом, але у різних видів це число по-різному. Так, у всіх, клітинах курки є по 18 хромосом, собаки – 22, кукурудзи – 20, цибулі – 16, миші – 40, річкового рака – близько 200, в клітинах людини – 46. Число хромосом залишається постійним з покоління в покоління. […]...
- Ламынарна і турбулентна течії, число Рейнольдса У рідині протягом може бути ламінарним або турбулентним. У випадку (а) струмінь забарвленої рідини зберігає незмінну форму і не змішується з рештою рідиною. У випадку (б) пофарбована струмінь розривається випадковими завихреннями, картина яких змінюється з часом. До турбулентному течією поняття “трубка струму” застосовується. Турбулентне (вихровий) течія – такий перебіг, при якому швидкості частинок рідини в […]...
- Квадратний корінь з ступеня Квадратним коренем з числа a називають таке число, квадрат якого дорівнює a. Наприклад, числа-5 і 5 є квадратними коренями з числа 25. Тобто, корені рівняння x ^ 2=25, є квадратними коренями з числа 25. Тепер необхідно навчитися витягувати квадратний корінь з ступеня. Є два основних правила: Правило № 1 Якщо a>=0 і n-деяке натуральне число, […]...
- Квадратні нерівності Квадратними нерівностей позначають нерівності типу Ax2+bx+c> 0,ax2+bx+c< 0,ax2+bx + c>0, ax2+bx + c<0, Де a, b і с – числа і і а ≠ 0. Квадратні нерівності ще називають нерівностей другого ступеня. При вирішенні квадратного нерівності слід обчислити корені ідентичного квадратного рівняння ax2 +bx +c=0. Спочатку потрібно обчислити дискриминант D заданого квадратного рівняння за допомогою […]...
- Склад атомного ядра: масове і зарядове число Як відомо, в даний час, загальноприйнятою є планетарна модель атома, за якою атом являє собою ядро, що володіє позитивним зарядом, навколо якого на досить великій порівняно з розмірами ядра відстані обертаються негативно заряджені електрони. Склад атомного ядра Дослідження показали, що ядро атома – це не єдине цілісне утворення, воно складається з більш дрібних частинок. Колись […]...
- Що означає число 5 Цікаво, що ж може означати число 5? Ще з часів школи ця цифра була найбажанішою. І якщо ви любите це число, тоді ви людина, яка прагне у своєму житті зробити все на 5, стати відомим і незалежним. Такі люди дуже енергійні і живі у всіх сенсах цього слова, вони дуже допитливі і завжди прагнуть вивчати […]...
- Чому 13 нещасливе число Існує багато забобонів, пов’язаних з природою, чарами, духами, предметами, квітами, подіями і багатьом іншим, але до числа 13 люди ставляться більш насторожено. Число 13 в багатьох культурах вважається нещасливим, тому в деяких будівлях поверхи нумеруються так, щоб не нервувати тріскаїдекафобія: після 12-го поверху може відразу слідувати 14-й, в будівлі можуть існувати поверхи 12А і 12Б, […]...
- Число молекул Визначити кількість частинок, що міститься в даній масі речовини, найпростіше за допомогою такої формули: Звідси виходить, що число молекул дорівнює: Тобто необхідно перш за все визначити кількість речовини, що припадає на певну масу. Потім воно множиться на число Авогадро, в результаті чого отримуємо кількість структурних одиниць. Для з’єднань підрахунок ведеться підсумовуванням атомної ваги компонентів. Розглянемо […]...
- Що означає число 999 Три дев’ятки 999 утворилося в результаті злиття трьох 9, де число 9 саме по собі пов’язане з релігією і божественними стандартами. Це число любові, яке володіє милосердям і співчуттям. Народились люди під цим числом, найчастіше стають відомими особистостями: акторами, письменниками, художниками. Воно приносить удачу й успіх у починаннях, до того ж притягує матеріальне благо. Тому […]...
- Число ступенів свободи тіла Тепер, після того як ми вивчили кілька моделей тіл, можна остаточно і коректно сформулювати відповідь на питання: “Що означає задати, визначити положення тіла?” – Вказати чисельної значення координат деяких точок тіла так, щоб положення всього тіла (його частини) було визначено однозначно. Число незалежних координат, які однозначно визначають положення тіла або системи тіл в просторі називається […]...
- Числові вирази Запис, яка складається з чисел, знаків і дужок, а також має сенс, називається числовим виразом. Наприклад, такі записи: (100-32)/17, 2*4 +7, 13, 4*0. 7-3/5, 1/3 +5/7 будуть числовими виразами. Слід розуміти, що одне число теж буде числовим виразом. У нашому прикладі, це число 13. А, наприклад, такі записи 100-*9, /32) 343 (*5 🙂 ні бути […]...
- Що означає вираз “всипати по перше число” Фраза позначає досить сильне покарання за яку-небудь провину. Чуючи такий вислів на свою адресу, кожен прекрасно розуміє, що його чекає зовсім не мирна лайка. Зі значенням все ясно. А звідки ж з’явився цей вираз? Історія походження фразеологізму “всипати по перше число” В давнину методи виховання підростаючого покоління були абсолютно інші. Марно порівнювати їх із сучасними […]...
- Ознаки подільності на 10, на 5 і на 2 Усяке натуральне число, запис якого закінчується цифрою 0, ділиться без залишку на 10. Щоб отримати приватне, досить відкинути цю цифру 0. Наприклад, 280 ділиться без залишку на 10, так як 280: 10 = 28. При розподілі ж числа 283 на 10 отримуємо неповне приватне 28 і залишок 3 (т. Е. Останню цифру записі цього числа). […]...
- Число Авогадро Якщо ми візьмемо масу речовини, що містить стільки ж кілограмів, скільки атомних одиниць маси міститься в одній молекулі цієї речовини, то в цій масі буде міститися 6,02 1023 молекул речовини. Це число називається числом Авогадро (Na), а кількість молекул речовини, яка дорівнює кількості Авогадро, утворює грам-моль речовини. Na = 6,02 1023 = 1г / 1а. […]...
- Дільники і кратні 20 яблук можна розділити порівну між 4 хлопцями. Кожен отримає по 5 яблук. А якщо треба розділити (не розрізаючи) 20 яблук між 6 хлопцями, то кожен отримає по 3 яблука, а ще 2 яблука залишаться. Кажуть, що число 4 є дільником числа 20, а число 6 не є дільником числа 20. Дільником натурального числа а […]...
- Подільність натуральних чисел Ділення – це дія, зворотне множенню. Розглянемо більш детально ділення натуральних чисел. Натуральними числами називають числа, які використовуються для рахунку. Кожному кількістю предметів рахунку відповідає деяке натуральне число. Якщо предметів для рахунку немає, то використовується значення 0, але при рахунку предметів ми ніколи не починають з 0, і відповідно число 0 не можна віднести до […]...
- Що таке октанове число бензину і на що воно впливає? Будь-якій людині, яка хоча б один раз заправляла транспорт, добре відомо, що бензин буває різних сортів. Кожен вид палива має власний номер, який відповідає його октановому числу, а машини різних марок слід заправляти відповідним бензином. Що таке октанове число бензину? Всі види палива при стисненні мають властивість протистояти самозайманню. Чим вище ця здатність, тим краще […]...
- Ознаки подільності на 9 і на 3 Чи не розкладеними в кошики залишаться 8 яєць від сотень, 4 яйця від десятків і ще 6 яєць: 8 + 4 + 6 = 18. Число 18 є сумою цифр числа 846. Так як 18 яєць можна розкласти порівну в 9 кошиків (по 2 яйця в кожну), то і всі 846 яєць можна розкласти порівну […]...
- Нерівність трикутника Будь-яка фігура має якісь рамки, пропорції довжин сторін. У реальному житті вони допомагають визначити, чи можна виготовити трикутне підставу певних пропорцій, наскільки можливо створити лінзу тієї чи іншої форми або може втриматися табуретка на трикутному, квадратному або будь-якому іншому підставі. У теоретичній геометрії пропорції, як правило, застосовують для вирішення завдань на доказ або для визначення […]...
- Розподіл доходів в економіці Диференціація робіт призводить до нерівності в розподілі особистих доходів. Крім того, важливим фактором нерівності є нерівномірний розподіл власності на цінні папери, а так само нерухоме майно. Щоб визначити ступінь нерівності в економіці використовують криву Лоренца. Зазвичай населення ділять на 5 груп: від найменш забезпечених до найбагатших. Якщо все групи населення мають рівні доходами, то на […]...
- Ознаки подільності на 2, на 5 і на 10 Розглянемо основні ознаки подільності чисел на 2, 5 і 10. Почнемо з десятки Ознака подільності на десять Якщо натуральне число закінчується цифрою нуль, то це число ділиться без залишку на 10. Для того щоб у такому випадку отримати частка від ділення, необхідно просто відкинути один нуль. Наприклад, 350 ділиться без залишку на 10. Результатом розподілу […]...
- Що таке замкнута безліч? Поняття “замкнутий безліч” і “незамкнуте безліч” зазвичай використовують відносно множин чисел і операцій над ними. Якщо над двома елементами одного безлічі виконується яка-небудь арифметична операція, і отриманий результат також належить цій безлічі, то кажуть, що це безліч замкнуто щодо даної операції. Якщо ж результат арифметичної операції над елементами множини не належить цій безлічі, то кажуть, […]...
- Віднімання натуральних чисел. Властивості різниці Віднімання (зменшення) – одна з 4-х арифметичних операцій (множення, ділення, додавання, віднімання), обернена додаванню. Позначають за допомогою знака ” мінус “−”. Це дія, за допомогою якого за сумою й одним з доданків можна знайти другий доданок. Число, з якого віднімають, називають уменьшаемое, а число, яке віднімаємо, – від’ємник. Підсумок дій віднімання називається різниця. Нехай нам […]...
- Наближення по недостачі і по надлишку Проводячи різні виміри, вирішуючи рівняння графічним способом, виконуючи арифметичні обчислення, часто отримують наближені значення, а не точні. Наприклад, при обчисленні кореня числа може вийти нескінченна неперіодичних дріб (т. Е. Ірраціональне число). Крім того, існують нескінченні періодичні дроби, використовувати які в обчисленнях також незручно. Тому числа, які є нескінченними десятковими дробами або кінцевими, але мають безліч […]...
- Що таке пропорція Раніше вже говорилося, що подрібнена риса і знак ділення означають одне і те ж: 5: 7 = 5/7 Арифметична дія ділення числа А на число В можна ще назвати відношенням числа А до числа В. Рівність двох відношень називають пропорцією: 5: 7 = 10:14 5/7 = 10/14 Числа 5 і 14 називаються крайніми членами пропорції; […]...
- Що таке рахункові безлічі? Рахунковими є нескінченні множини, які еквівалентні безлічі натуральних чисел. Еквівалентність означає рівну потужність множин, що можна порівняти з однаковою кількістю елементів, проте в нескінченних множинах кількість елементів нескінченно. Якщо безліч лічильно, то кожному його елементу можна поставити у відповідність натуральне число. Кожному елементу можна зіставити тільки одне натуральне число, і в кожного натурального числа може […]...