Оцінити число в нерівностях

Для оцінки чисел в нерівностях використовуються різні властивості числових нерівностей. Зазвичай в таких завданнях даються одне або кілька вихідних нерівностей, в яких присутні змінні. Потрібно оцінити результат арифметичних дій над цими змінними (т. Е. Одержувані нові числа).

Наприклад, дані два таких вихідних подвійних нерівності:

-1 <P <10;
2,5 <q <3,2.
Потрібно оцінити числа, які виходять в результаті наступних дій над змінними:

0,1 × p,
1 / q,
p + q,
q – p,
p3.
При оцінці числа 0,1p скористаємося наступними властивістю числових нерівностей:

Якщо a <b і c> 0, то ac <bc. В даному випадку c = 0,1.
Якщо a <b і b <c, то a <c. В даному випадку b = 0,1p, a = -1 × 0,1, c = 10 × 0,1.
На основі цих властивостей ми можемо помножити всі частини вихідного подвійного нерівності (не змінюючи знаки порівняння) на 0,1 і таким чином отримати оцінку для числа 0,1p:

-1 × 0,1 <0,1p <10 × 0,1
-0,1 <0,1p <1

Тобто, число 0,1p лежить в межах від -0,1 до 1.

При оцінці числа 1 / q слід скористатися властивістю числових нерівностей, що описує дробу:

Якщо a <b і обидва числа позитивні, то 1 / a> 1 / b.
Звідси можна зробити висновок, що у вихідному нерівності слід поміняти знаки порівняння на зворотні:

1 / 2,5> 1 / q> 1 / 3,2

Запишемо нерівність навпаки:

1 / 3,2 <1 / q <1 / 2,5

Виконаємо дії:

0,3125 <1 / q <0,4

Для оцінки числа p + q використовуються таку властивість числових нерівностей:

Якщо a <b, то a + c <b + c. Нехай в даному випадку c = q.
Обидва числових нерівності складаються почленно:

-1 + 2,5 <p + q <10 + 3,2
1,5 <p + q <13,2

Число q – p можна представити у вигляді суми: – p + q і вирішити також як вище. Однак у порівнянні з попереднім числом (p + q), тут p спочатку треба помножити на -1. Для виконання цієї дії скористаємося такою властивістю числових нерівностей:

Якщо a <b і c <0, то ac> bc. В даному випадку c = -1.
Таким чином, з вихідного нерівності виходить нерівність протилежного змісту, т. Е. Змінюються знаки на зворотні:

-1 × -1> -1p> -1 × 10

Перевернемо нерівність і виконаємо дії:

-10 <-p <1

Тепер можна скласти q і – p:

-10 + 2,5 <q – p <1 + 3,2
-7,5 <Q – p <4,2

Для оцінки числа p3 скористаємося такою властивістю:

Якщо n – непарне число, то для будь-яких чисел a і b якщо a <b, то і an <bn.
(-1) 3 <p3 <103
-1 <P3 <1000

Якби p зводився в квадрат або в будь-яку іншу парну ступінь, то такою властивістю ми б скористатися без оглядки на абсолютні значення не могли. Так якби замість -1 було число -20, то (-20) 2> 102.


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 votes, average: 5.00 out of 5)

Оцінити число в нерівностях