Рішення задач за допомогою раціональних рівнянь
Раціональні рівняння-це рівняння, у яких ліва і праві частини є раціональними виразами.
Якщо в раціональному рівнянні ліва або права частини будуть дробовими виразами, то таке раціональне рівняння називається дробовим.
Рішення дробового раціонального рівняння
Для початку ознайомимося з дробовими раціональними рівняннями. Загальна схема рішення дробового раціонального рівняння.
1. Знайти спільний знаменник всіх дробів, які входять в рівняння.
2. Помножити обидві частини рівняння на спільний знаменник.
3. Вирішити отримане ціле рівняння.
4. Провести перевірку коренів, і виключити ті з них, які звертають в нуль спільний знаменник.
Приклади розв’язання задач
Вирішення багатьох завдань зводиться до вирішення дрібних раціональних рівнянь.
Розглянемо наступний приклад:
З автобусної станції виїхав автобус до залізничного вокзалу, що знаходиться на відстані 40 км. Один з пасажирів автобуса запізнився до відправлення, і поїхав на залізничний вокзал на таксі, через 10 хвилин після автобуса. Автобус і таксі приїхали на залізничний вокзал одночасно. Відомо також, що швидкість таксі на 20 км/год більше швидкості автобуса. Необхідно знайти швидкість таксі та швидкість автобуса.
Рішення:
Для вирішення завдання, необхідно скласти математичне рівняння. Покладемо, що х це швидкість автобуса (у кілометрах на годину). Тоді швидкість таксі (х +20) кілометрів на годину.
Тоді, час за який автобус доїхав до ж/д вокзалу одно 40/х годин, а час таксі одно 40/(х +20) годин
Виходячи з умови різниця між часом автобуса і таксі дорівнює 10 хвилинам або 1/6 години. Так як час руху автобуса і таксі у нас знайдено у годинах.
Отримуємо наступне рівняння: 40/х-40/(х +20)=1/6.
Це рівняння є дробовим раціональним рівнянням. Вирішуємо його за загальною схемою, наведеною вище:
Спільний знаменник дорівнює 6*x*(x +20).
Множимо обидві частини рівняння на спільний знаменник, отримуємо
40*6*(x +20)-40*6*x=x*(x +20);
Спростимо цей вислів.
Отримаємо: 240*x +4800-240*x=x ^ 2 +20*x;
X ^ 2 +20*x-4800=0;
Отримали квадратне рівняння. Вирішуючи його одним з відомих нам способів отримуємо, що його коріння дорівнюють x=60 і x=-80.
Тепер необхідно здійснити перевірку знайдених коренів.
При х=60 загальний знаменник не дорівнює нулю.
При х=-80 спільний знаменник так само не дорівнює нулю.
З цього випливає, що обидва кореня підходять і є вирішенням дробового раціонального рівняння.
Повертаємося до умови задачі. У нас х це швидкість руху автобуса. Але швидкість автобуса не може бути негативним числом, і отже значення х=-80, не підходить. Значить х=60, швидкість автобуса дорівнює 60 кілометрам на годину. А отже, швидкість таксі дорівнює 80 км/ч.
Відповідь: Швидкість автобуса 60 км/год, швидкість таксі 80 км/ч.
(1 votes, average: 5.00 out of 5)