Методи рішення квадратних нерівностей
Квадратні нерівності – це нерівності, що містять квадратний тричлен ax2 + bx + c, де a ≠ 0.
Вирішити квадратне нерівність (як і будь-яке інше) – це означає, знайти область значень змінної (x), при яких нерівність стає вірним.
Квадратне нерівність можна вирішити графічним методом (методом зображення параболи) і методом інтервалів. Хоча метод інтервалів також можна вважати графічним, якщо ці інтервали зображуються на прямій.
Як відомо, графіком функції y = ax2 + bx + c є парабола. Її гілки спрямовані вгору, якщо a> 0, і вниз, якщо a <0. Вісь x парабола перетинає тоді, коли y = 0. Тобто, вирішивши рівняння ax2 + bx + c = 0, ми знайдемо ті координати x, в яких парабола перетинає вісь x. Та частина (або частини) параболи, яка лежить вище осі x, – це позитивні значення функції. Нижче осі x – негативні. Залежно від знака квадратного нерівності вказуються числові проміжки, де функція y = ax2 + bx + c приймає позитивні або негативні значення.
Парабола може і не перетинати вісь x. При цьому відповідне такої функції квадратне рівняння коренів не має. Якщо ж говорити про відповідний нерівність, то його рішення залежить від знака нерівності і того, вище або нижче осі x розташована парабола. Коли знак нерівності> (, т. Е. Більше нуля), то вся парабола (будь-які значення x) є його рішенням, якщо вона розташована вище осі x. Якщо знак <, а парабола розташована вище осі x, то рішень у нерівності немає. У випадку з параболою, розташованої нижче осі x, ситуація зворотна: при знаку <рішенням нерівності є будь-які значення x, при знаку> рішень немає.
Для того, щоб схематично зобразити або уявити параболу на числовій осі, треба знайти корені рівняння ax2 + bx + c = 0 (або виявити їх відсутність).
Нехай дано квадратне нерівність 4×2 – 5x + 1 <0. Знайдемо коріння рівняння 4×2 – 5x + 1 = 0:
D = (-5) 2 – 4 * 4 * 1 = 25 – 16 = 9
x1 = (- (- 5) + 3) / (2 * 4) = 1; x2 = (- (- 5) – 3) / (2 * 4) = 0,25
Значить, парабола перетинає вісь x у двох точках: 0,25 і 1. Так як коефіцієнт a даного рівняння позитивний, то гілки параболи спрямовані вгору. Так як знак відповідного рівняння нерівності <(потрібно знайти області значення x, при яких квадратний тричлен менше нуля), то область значень параболи, що задовольняють нерівності, знаходиться в проміжку від 0,25 до 1 (щоб зрозуміти це треба намалювати або представити параболу). Так як знак нерівності не строго, то самі ці числа в область значень не входять.
Таким чином, рішенням квадратного нерівності 4×2 – 5x + 1 <0 є числовий проміжок, де x ∈ (0,25; 1).
Рішення квадратних нерівностей методом інтервалів полягає в наступному:
Визначаються коріння відповідного тричленів рівняння.
Квадратних тричлен розкладається на множники за формулою ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2), де x1 і x2 коріння квадратного рівняння.
З’ясовується, при яких значеннях x (на яких інтервалах) розкладений на множники тричлен позитивний або негативний.
Залежно від знака квадратного нерівності визначається область значень, що є його рішенням.
Нехай дано розглянуте вище нерівність. Так як його коріння 0,25 і 1, то отримаємо нерівність:
4 (x – 0,25) (x – 1) <0
При яких значеннях x даний твір буде негативно?
Якщо x> 1, то все множники (і x – 0,25, і x – 1, і 4) позитивні і, отже, твір позитивно. Значить область значень x> 1 не може бути рішенням нерівності.
Якщо 0,25 <x <1, то множник x – 0,25> 0, а ось x – 1 <0. Отже, твір множників негативно, а нерівність вірно. Значить проміжок (0,25; 1) є рішенням нерівності.
Якщо x <0,25, то x – 0,25 <0 і x – 1 <0. Твір двох негативних множників і одного позитивного (4) дасть позитивне число. Таким чином область значень x менше 0,25 не є вирішенням нерівності.
Робиться висновок, що рішенням є лише один інтервал, де x ∈ (0,25; 1). При цьому для наочності на числової прямої позначають інтервали, де x приймає позитивні або негативні значення.
(2 votes, average: 3.50 out of 5)