Вписаний чотирикутник
Чотирикутник є вписаним в коло, якщо всі його вершини лежать на цій окружності. Така окружність є описаної близько чотирикутника.
Як не кожен чотирикутник можна описати близько окружності, також не кожен можна вписати в коло.
Вписані і невпісанние чотирикутники
Опуклий чотирикутник, вписаний в коло, має властивість: його протилежні кути в сумі складають 180 °. Так, якщо дан чотирикутник ABCD, у якого кут A протилежний розі C, а кут B протилежний розі D, то ∠A + ∠C = 180 ° і ∠B + ∠D = 180 °.
Взагалі, якщо одна пара протилежних кутів чотирикутника в сумі становить 180 °, то й інша пара в сумі становитиме стільки ж. Це випливає з того, що у опуклого чотирикутника сума кутів завжди дорівнює 360 °. У свою чергу даний факт випливає з того, що у опуклих багатокутників сума кутів визначається за формулою 180 ° * (n – 2), де n – кількість кутів (або сторін).
Довести властивість вписаного чотирикутника можна таким чином. Нехай в коло O вписаний чотирикутник ABCD. Потрібно довести, що ∠B + ∠D = 180 °.
Доказ властивості вписаного чотирикутника
Кут B є вписаним в коло. Як відомо, такий кут дорівнює половині дуги, на яку спирається. У даному випадку кут B спирається на дугу ADC, значить, ∠B = ½◡ADC. (Оскільки дуга дорівнює розі між утворюють її радіусами, то можна записати, що ∠B = ½∠AOC, внутрішня область якого містить точку D.)
З іншого боку кут D чотирикутника спирається на дугу ABC, тобто ∠D = ½◡ABC.
Так як сторони кутів B і D перетинають окружність в одних і тих же точках (A і C), то вони поділяють окружність тільки на дві дуги – ◡ADC і ◡ABC. Так як повна окружність в сумі становить 360 °, то ◡ADC + ◡ABC = 360 °.
Таким чином вийшли наступні рівності:
∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360 °
Висловимо суму кутів:
∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC
Винесемо ½ за дужку:
∠B + ∠D = ½ (◡ADC + ◡ABC)
Замінимо суму дуг їх числовим значенням:
∠B + ∠D = ½ * 360 ° = 180 °
Ми отримали, що сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180 °. Це й було потрібно довести.
Те, що вписаний чотирикутник має таку властивість (сума протилежних кутів дорівнює 180 °), ще не означає, що будь чотирикутник, у якого сума протилежних кутів дорівнює 180 ° можна вписати в коло. Хоча насправді це так. Даний факт називається ознакою вписаного чотирикутника і формулюється так: якщо сума протилежних кутів опуклого чотирикутника дорівнює 180 °, то біля нього можна описати коло (або вписати його в коло).
Довести ознака вписаного чотирикутника можна методом від протилежного. Нехай дано чотирикутник ABCD, у якого протилежні кути B і D в сумі складають 180 °. При цьому кут D не лежить на колі. Тоді візьмемо на прямої, що містить відрізок CD, таку точку E, щоб вона лежала на колі. Вийде вписаний чотирикутник ABCE. У цього чотирикутника протилежні кути B і E, а, значить, вони становлять у сумі 180 °. Це випливає з властивості вписаного чотирикутника.
Виходить, що ∠B + ∠D = 180 ° і ∠B + ∠E = 180 °. Однак кут D чотирикутника ABCD по відношенню до трикутника AED є зовнішнім, а значить більше кута E цього трикутника. Таким чином, ми прийшли до протиріччя. Значить, якщо сума протилежних кутів чотирикутника в сумі становить 180 °, то він завжди може бути вписана в коло.
(1 votes, average: 5.00 out of 5)