Якщо навхрест лежачі кути при січній рівні, то прямі паралельні
Нехай дано дві прямі a і b, що перетинаються прямий c. Тобто пряма c є січною для прямих a і b. При цьому утворюються дві пари навхрест лежачих кутів. Якщо в будь-який з цих пар кути рівні, то прямі a і b паралельні. На кресленні позначена одна пара рівних між собою навхрест лежачих кутів.
Навхрест лежачі кути при паралельних прямих
Дано (умова). Рівність навхрест лежачих кутів.
Слідство (затвердження; те, що потрібно довести). Паралельність прямих.
Формулювання у вигляді теореми. Якщо при перетині двох прямих січною навхрест лежачі кути виявляються рівні, то значить, ці прямі паралельні.
Доказ. Скористаємося методом від протилежного. Нехай навхрест лежачі кути рівні, але запропоновані прямі не паралельні. Якщо прямі не паралельні, то вони перетнуться в одній точці. На кресленні січна c перетинає прямі a і b в точках A і B, а самі прямі перетинаються в точці C.
Доказ паралельності прямих
У результаті утворюється трикутник ABC, у якого кут при вершині B дорівнює зовнішнього кута при вершині A. Це дано по умові: були дані рівні кути при січної.
Сума кутів в трикутнику дорівнює 180 °. Якщо кут трикутника при вершині B дорівнює x градусів, то два інших кута трикутника в сумі дорівнюють 180 – x.
Так як кут B трикутника дорівнює зовнішнього кута A, то значить A також дорівнює x градусів. Внутрішній кут A і зовнішній кут A трикутника в сумі складають 180 °, так як це суміжні кути. Тоді ми отримуємо, що внутрішній кут A трикутника дорівнює 180 – x. Але цього бути не може, тому що 180 – x є сумою кутів A і C трикутника.
Таке може бути тільки у випадку, якщо кут C трикутника дорівнює 0 °. Однак такого бути не може, так як в цьому випадку відрізки AC і BC наклалися б один на одного. Тобто пряма a збіглася б з прямою b. Однак за умовою дані різні прямі.
Таким чином доведено, що якщо навхрест лежачі кути рівні, то прямі перетинатися не можуть. А якщо прямі не мають точок перетину, то вони паралельні.
Related posts:
- Навхрест лежачі кути при паралельних прямих рівні Існує теорема про те, що прямі паралельні, якщо при перетині їх січною навхрест лежачі кути виявляються рівними. Тут дано – рівні навхрест лежачі кути при січної, наслідок – прямі паралельні. Існує зворотна теорема: навхрест лежачі кути при січної рівні, якщо вона перетинає паралельні прямі. В даному випадку дано – паралельні прямі, наслідок – рівність навхрест […]...
- Дві сторони рівні і паралельні Однією з ознак паралелограма є те, що якщо в чотирикутнику дві сторони рівні і паралельні, то такий чотирикутник є паралелограмом. Тобто, якщо у чотирикутника дві сторони рівні і паралельні, то дві інші сторони також виявляються рівними між собою і паралельними один одному, т. К. Цей факт є визначенням і властивістю паралелограма. Таким чином, паралелограм можна […]...
- Якщо один кут прямий, то це прямокутник Однією з ознак прямокутника є наявність одного прямого кута параллелограмма. При цьому виявляється, що всі інші кути паралелограма також прямі. Тому такий паралелограм – прямокутник. Можна сформулювати дана ознака прямокутника у вигляді теореми: Якщо один з кутів паралелограма прямий, то такий паралелограм є прямокутником. Довести це можна наступним чином: Нехай дано паралелограм ABCD, у якого […]...
- Основні поняття геометрії Геометрія – це наука, що вивчає просторові відносини і форми предметів. Евклідова геометрія – це геометрична теорія, заснована на системі аксіом, вперше викладеної в “Засадах” Евкліда. Геометрія Лобачевського (гіперболічна геометрія) – одна з неевклідових геометрій, геометрична теорія, заснована на тих же основних посиланнях, що і звичайна евклідова геометрія, за винятком аксіоми про паралельних прямих, яка […]...
- Ознаки прямокутника У цій статті ми поговоримо про ознаки прямокутника. Виділимо основні і розглянемо кожен окремо. Визначення Основна частина доказів грунтується на тому, що в чотирикутнику сума кутів дорівнює 360 градусам. Всього налічується 7 ознак прямокутника. Для того, щоб їх застосовувати потрібно, перш за все, згадати визначення: Прямокутник це паралелограм, у якого всі кути прямі. Паралелограм це […]...
- Властивості прямокутника Прямокутником називається чотирикутник, у якого всі кути прямі. Всі прямокутники володіють наступними властивостями Протилежні сторони прямокутника рівні і паралельні. Сума кутів прямокутника дорівнює 360 градусів. Діагоналі прямокутника мають однакову довжину. Сторони прямокутника є його висотами. Квадрат діагоналі прямокутника дорівнює сумі квадратів суміжних сторін прямокутника. Кожна діагональ прямокутника ділить прямокутник на два однакових прямокутних трикутника. Діагоналі […]...
- Доказ ознак подібності трикутників Доказ першої ознаки подібності трикутників Перша ознака подібності трикутників стверджує, що якщо у трикутників дві сторони відповідно пропорційні, а кути між ними рівні, то такі трикутники подібні. Розглянемо трикутники ABC і DEF, у яких DE = kAB, EF = kBC і ∠B = ∠E. Перша ознака подібності трикутників Щоб довести подібність даних трикутників, потрібно довести, […]...
- Властивості трикутників Трикутником називається геометрична фігура, що складається з трьох точок і трьох відрізків, що попарно їх з’єднують. У будь-якому трикутнику три кута і три сторони. Проти більшого кута трикутника лежить більша сторона. Трикутники бувають гострокутними (якщо всі його кути гострі), тупоугольными (якщо один з його кутів тупий), прямокутними (якщо один з його кутів прямий). Трикутник називається […]...
- Косинуси прямокутних трикутників Поняття косинуса застосовно до гострих кутів прямокутного трикутника. Косинус гострого кута прямокутного трикутника – це відношення катета, який прилягає до даного кутку, до гіпотенузи. Наприклад, якщо дано трикутник ABC, де кут C прямій, а AB – гіпотенуза, то косинусом кута A буде ставлення AC до AB, косинусом кута B буде ставлення BC до AB. Косинус […]...
- Прямокутник – це паралелограм з рівними діагоналями Однією з ознак прямокутника є рівність його діагоналей. Тобто, якщо у паралелограма діагоналі рівні, то він є прямокутником. Щоб довести даний ознака прямокутника, розглянемо паралелограм ABCD, у якого діагоналі AC і BD рівні. Потрібно довести, що в такому випадку ABCD – це прямокутник. Щоб це довести, досить довести, що один з кутів паралелограма прямий, т. […]...
- Які ознаки рівності прямокутних трикутників? Відомі три ознаки рівності будь-яких трикутників: По двох сторонах і куту між ними; за двома кута і стороні між ними; за трьома сторонами. У двох прямокутних трикутників завжди одна пара кутів дорівнює один одному – це прямі кути. Тому ознаки рівності трикутників для прямокутних трикутників спрощуються в тому сенсі, що для твердження, що трикутники рівні, […]...
- Чим відрізняється квадрат від прямокутника Чотирикутником називають багатокутник, у якого чотири вершини і чотири сторони. Інакше можна сказати, що чотирикутником є геометрична фігура у вигляді багатокутника, який має тільки чотири кута. Будь-який предмет або пристрій, що має таку форму також можна назвати чотирикутником. Дві сторони чотирикутника, які по відношенню один до одного є несуміжними, називаються протилежними. Два кута і дві […]...
- Види трикутників 3 види трикутників: Трикутник і його властивості Трикутник – це трикутник з двома рівними сторонами. Рівні боку – це бічні сторони, третя сторона – це підстава. Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні. А бісектриса, проведена до основи, буде і медіаною і висотою. Якщо всі три сторони трикутника рівні, то це рівносторонній трикутник. Якщо один з […]...
- Види багатокутників Види багатокутників: Чотирикутники Чотирикутники, відповідно, складаються з 4-х сторін і кутів. Сторони і кути, розташовані навпроти один одного, називаються протилежними. Діагоналі ділять опуклі чотирикутники на трикутники (див. на малюнку). Сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360 ° (по формулі: (4-2) * 180 °). Паралелограми Паралелограм – це опуклий чотирикутник з протилежними паралельними сторонами (на рис. Під […]...
- Рівнобедрений прямокутний трикутник І рівнобедрений, і прямокутний трикутник досить звичні будь-кому, хто знайомий з геометрією. Поєднання цих ознак зустрічається досить рідко і погано піддається візуальному сприйняттю. Не завжди можна представити повний набір властивостей такого трикутника, тому поговоримо про нього детальніше. Визначення Трикутник – це трикутник, бічні сторони якого рівні. Прямокутний трикутник містить в собі прямий кут. Значить рівнобедрений […]...
- Співвідношення між сторонами і кутами трикутника У трикутнику між його сторонами і кутами існують певні співвідношення. Якщо який-небудь кут трикутника більший за інший, то навпроти його лежить сторона з більшою довжиною, ніж навпроти іншого. Іншими словами, навпроти найбільшого кута трикутника лежить найбільша сторона, навпроти середнього кута – середня сторона, а навпроти найменшого кута – найменша сторона. Зрозуміло, що якщо кути трикутника […]...
- Точки, прямі і відрізки Точки, прямі, відрізки – поняття в геометрії. Малюючи пряму за допомогою лінійки, ми маємо на увазі, що намалювали лише її частина, але, по суті, вона може поширюватися нескінченно далеко вправо і вліво. Прямі на кресленнях позначають маленькими латинськими буквами: a, b, c, d, … (см. рисунок нижче) Точки на кресленнях позначають великими латинськими літерами: A, […]...
- Перетин бісектрис трикутника Існує теорема про те, що бісектриси трикутника перетинаються в одній точці. Даний факт, як і всяка теорема, потребує доведення, оскільки, наприклад, можна припустити, що бісектриси трикутника іноді можуть не перетинатися в одній точці. На малюнку нижче зліва три бісектриси, які трикутника перетинаються в одній точці. Праворуч зображена гіпотетична ситуація, коли кожна бісектриса перетинається з двома […]...
- Довести основну тригонометричну тотожність Основним тригонометричним тотожністю є рівність: Sin2 α + cos2 α = 1 Це означає, що в прямокутному трикутнику сума квадратів синуса і косинуса одного і того ж гострого кута дорівнює одиниці. Доведемо це тригонометричну тотожність. Нехай дано прямокутний трикутник ABC (∠C = 90º). Проведемо в ньому висоту CH до гіпотенузи. Косинуси кутів Висловимо катети трикутника […]...
- Як знайти периметр трикутника якщо відомі не всі сторони Периметр – це величина, що має на увазі довжину всіх сторін плоскою (двовимірної) геометричної фігури. Для різних геометричних фігур існують різні способи знаходження периметра. У даній статті ви дізнаєтеся як знаходити периметр фігури різними способами, в залежності від відомих його граней. Периметр – це величина, що має на увазі довжину всіх сторін плоскою (двовимірної) геометричної […]...
- Властивості прямокутного трикутника Трикутник – це геометрична фігура, яка складається з трьох точок (вершин), які не перебувають на одній і тій же прямій лінії і трьох відрізків, які з’єднують ці точки. Прямокутним трикутником називається трикутник, який має один з кутів в 90° (прямий кут). Розглянемо прямокутний трикутник (АВС) і його властивості, який представлений на малюнку. Прямокутний трикутник має […]...
- Довести чому дорівнює площа трапеції Площа трапеції дорівнює ½ від твору суми її підстав на висоту. Так, якщо позначити підстави трапеції буквами a і b, висоту – буквою h, то площа трапеції можна виразити формулою: S = ½ (a + b) h Нагадаємо, що підстави трапеції паралельні. Тому висоту можна проводити з будь-якої точки одного підстави до прямої, на якій […]...
- Медіани, бісектриси, висоти в трикутниках З бісектрисою ви вже знайомі: цей відрізок в трикутнику ділить кут на два рівних кута і завершується на протилежній стороні трикутника. Медіана (від лат. “Середня”) теж проводиться з кута трикутника тільки ділить вже не кут, а протилежну сторону трикутника на дві рівні частини. Виходить 2 рівних по площі нових трикутника. Висотою трикутника називають перпендикуляр, проведений […]...
- Перетин висот трикутника Існує теорема про те, що висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці. Довести цю теорему можна таким чином. Нехай дано трикутник ABC, в ньому проведено висоти AH, BI, CJ. Слід довести, що три висоти перетинаються в одній якійсь точці O. Проведемо через вершини трикутника ABC прямі, паралельні сторонам, яким вершини протилежні. Ці прямі […]...
- Чи існують паралельні світи в нашому житті? Теорія “паралельних світів” давно вже увійшла в побут любителів і авторів фантастичних творів, як в жанрі наукової фантастики, так і фентезі та інших течій цього напряму. Що таке паралельний світ в уявленні звичайного обивателя? Це світ майже такий же, як наш, але населений ельфами, гномами і гоблінами. Або такий же, населений людьми, але історія в […]...
- Діагоналі перпендикулярні Однією з ознак ромба є те, що його діагоналі взаємно перпендикулярні. У вигляді теореми дана ознака формулюється так: Якщо діагоналі паралелограма перпендикулярні один одному, то такий паралелограм є ромбом. Доказ цієї теореми зводиться до того, щоб довести, що у такого паралелограма сторони рівні. Саме рівність сторін паралелограма дозволяє зробити висновок, що це ромб. Таким чином, […]...
- Сторони трикутника В математиці при розгляді трикутника обов’язково приділяють багато уваги його сторонам. Оскільки дані елементи формують цю геометричну фігуру. Сторони трикутника використовуються для вирішення багатьох завдань з геометрії. Визначення поняття Відрізки, що з’єднують три точки, що не лежать на одній прямій, називаються сторонами трикутника. Розглянуті елементи обмежують частину площині, що називають начинкою даної геометричної фігури. Математики […]...
- Прямі Ліпкіна Не двилячись на сенсацію, яку зробила в науковому світі “стопоходяща машина” Чебишева, було ясно, що ідеальний шарнірний механізм, про який так марили інженери і математики, – механізм, який перетворює рух по колу в рух по прямій, – все ще не був створений. Багато винахідників протягом довгого часу билися над цим складним завданням, але в результаті […]...
- Порівняння геометричних фігур Порівняння геометричних фігур застосовується з метою визначення, яка з них більше або менше іншого, або ж не рівні вони один одному. Зрозуміло, що при цьому мається на увазі, що швидше за все порівнюються фігури відносяться до одного виду геометричних фігур. Наприклад, доречно порівняти два відрізки між собою, або два трикутники, або два кути. Але складно […]...
- Докази властивості бісектриси кута Властивість бісектриси кута полягає в тому, що кожна її точка рівновіддалена від сторін кута. Це властивість можна сформулювати у формі зворотної теореми: всі точки, що лежать всередині кута і рівновіддалені від його сторін, лежать на його бісектрисі. Слід згадати, що відстань від точки до прямої – це відрізок, перпендикулярний до даної прямої, проведений з даної […]...
- Тупокутний трикутник Тупокутні трикутники мало чим відрізняються від звичайних довільних гострокутих трикутників, але тупий кут робить трикутник незвичним для сприйняття. Це часто призводить до здивування, тому варто розглянути різні варіанти вирішення завдань на знаходження параметрів тупокутного трикутника. Визначення Тупокутним трикутником буде називатися будь-трикутник, що містить тупий кут. Тупокутний трикутник може бути рівнобедреним, але при цьому не може […]...
- Що таке квадрат? Квадрат – це правильний чотирикутник, у якого всі кути і сторони рівні. Властивості квадрата 1) Сторони квадрата по довжині завжди рівні. 2) Всі 4 кута квадрата завжди прямі. 3) Діагоналі квадрата рівні і взаємно перпендикулярні, точкою перетину їх можна розділити навпіл. Діагоналі квадрата являють собою бісектриси кутів. Приклади квадратів Приклади квадратів буквально оточують нас всюди. […]...
- Навколо трикутника можна описати коло Окружність є описаної близько трикутника, якщо всі вершини трикутника лежать на цій окружності. Такий трикутник називається вписаним в коло. Існує теорема про те, що біля кожного трикутника можна описати коло, притому тільки одну. Доведемо її. Нехай дано трикутник, до сторін якого проведені серединні перпендикуляри. Як відомо, серединні перпендикуляри трикутника завжди перетинаються в одній точці, і […]...
- Довести, що висота рівнобедреного трикутника є бісектрисою і медіаною Існує теорема про те, що в трикутник проведена до його основи висота також є бісектрисою і медіаною. Довести цю теорему можна таким чином. Уявімо трикутник ABC з бічними сторонами AB і BC і підставою AC. Проведемо в ньому висоту BD. Відзначимо, наступні факти: Відрізок BD перпендикулярний відрізку AC з побудови. Точка D ділить відрізок AC […]...
- Рівність трикутників Два суміщених один з одним трикутника є рівними, якщо їх боку і кути відповідно рівні. Це можна записати так: △ ABC = △ A1B1C1. Цілком логічно, що якщо і 3 кута і 3 сторони рівні, то трикутники рівні. Однак, рівність трикутників можна знайти ще швидше: 1-а теорема (ознака) про рівність трикутників (тут і далі в […]...
- Види кутів Кути – це така ж характеристика фігури, як сторони, периметр або площа. За допомогою кутів можна зрозуміти, яка фігури перед нами і який саме її вид. Якщо це трикутник, то за кутом візуально можна визначити, прямокутний чи це трикутник, тупоугольние або довільний, а за загальним кутку можна довести рівність або подібність фігур. Визначення Що таке […]...
- Елементи трикутника З найпоширенішою фігурою математики школярі стикаються ще в молодших класах. Однак з часом відбувається знайомство з більш серйозним обчисленням елементів трикутника. Визначення поняття Трикутником називають багатокутник з трьома сторонами і трьома кутами. Основними елементами цієї геометричної фігури є відрізки, вершини і кути. Але для вирішення деяких завдань іноді потрібні додаткові побудови. Розглядається поняття часто узагальнюють […]...
- Довести чому дорівнює площа трикутника Площа трикутника дорівнює половині від твору його боку на висоту, проведену до цієї сторони. Сторону, до якої проведена висота, прийнято в такому випадку називати підставою. Таким чином, можна сказати, що площа трикутника дорівнює половині добутку його основи на висоту. Якщо позначити довжину сторони-основи трикутника як a, висоту – як h, то вийде формула площі трикутника: […]...
- Чому дорівнює вписаний в коло кут? У вписаного в коло кута вершина лежить на колі, а сторони є хордами кола (кажуть “перетинають окружність”). Існує теорема про те, що вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку спирається. Дуга, на яку спирається кут, знаходиться між точками перетину його сторін з колом. Щоб довести теорему про рівність кута половині дуги, на яку він спирається, […]...
- Точки паралельної прямої рівновіддалені Всі точки кожної з двох паралельних прямих рівновіддалені від іншої прямої. Це означає, що з якої б точки однієї з паралельних прямих не вимірюються відстань до іншої прямої, воно завжди буде однаковим. Як відомо, відстань між точкою і прямою – це відрізок перпендикуляра, проведеного з даної точки до даної прямої; кінцями відрізка є дана точка […]...