Формули додавання
Формули додавання служать для того, щоб виразити через синуси і косинуси кутів а і b, значення функцій cos (a + b), cos (ab), sin (a + b), sin (ab).
Формули додавання для синусів і косинусів
Теорема: Для будь-яких a і b справедливо наступне рівність cos (a + b)=cos (a)*cos (b)-sin (a)*sin (b).
На ньому, точки Ma, Mb, M (a + b), отримані поворотом точки Мо на кути a, – b, і a + b відповідно. З визначень синуса і косинуса координати цих точок будуть слеюующімі: Ma (cos (a); sin (a)), Mb (cos (-b); sin (-b)), M (a + b) (cos (a + b); sin (a + b)). УголМоОМ (a + b)=уголМ-bОМа, отже дорівнюють трикутники Моом (a + b) і М-bОМа, причому вони рівнобедрені. А значить, рівні і підстави МоМ (а-b) і М-bМа. Отже, (МОМ (а-b)) ^ 2=(М-bМа) ^ 2. Скориставшись формулою відстані між двома точками, отримаємо:
(1-cos (a + b)) ^ 2 + (sin (a + b)) ^ 2=(cos (-b)-cos (a)) ^ 2 + (sin (-b)-sin (a)) ^ 2.
Sin (-a)=-sin (a) і cos (-a)=cos (a). Перетворимо наше рівність з урахуванням цих формул і квадрата суми і різниці, тоді:
1-2*cos (a + b) + (cos (a + b)) ^ 2 + (sin (a + b)) ^ 2=(cos (b)) ^ 2-2*cos (b)*cos (a) + (cos (a) ^ 2 + (sin (b)) ^ 2 +2*sin (b)*sin (a) + (sin (a)) ^ 2.
Тепер застосуємо основне тригонометричне тотожність:
2-2*cos (a + b)=2-2*cos (a)*cos (b) + 2*sin (a)*sin (b).
Наведемо подібні і скоротимо на-2:
Cos (a + b)=cos (a)*cos (b)-sin (a)*sin (b). Що і потрібно було довести.
Справедливі також такі формули:
Cos (a-b)=cos (a)*cos (b) + sin (a)*sin (b);
sin (a + b)=sin (a)*cos (b) + cos (a)*sin (b);
sin (a-b)=sin (a)*cos (b)-cos (a)*sin (b).
Дані формули можна отримати з доведеною вище, використовуючи формули приведення і заміною b на-b. Для тангенсів і котангенсів теж існують формули додавання, але вони будуть справедливі не для будь-яких аргументів.
Формули додавання тангенсів і котангенсів
Для будь-яких кутів a, b крім a=pi / 2 + pi*k, b=pi / 2 + pi*n і a + b=pi / 2 + pi*m, для будь-яких цілих k, n, m буде справедлива наступна формула:
Tg (a + b)=(tg (a) + tg (b)) / (1-tg (a)*tg (b)).
Для будь-яких кутів a, b крім a=pi / 2 + pi*k, b=pi / 2 + pi*n і ab=pi / 2 + pi*m, для будь-яких цілих k, n, m буде справедлива наступна формула:
Tg (a-b)=(tg (a)-tg (b)) / (1 + tg (a)*tg (b)).
Для будь-яких кутів a, b крім a=pi*k, b=pi*n, a + b=pi*m і для будь-яких цілих k, n, m буде справедлива наступна формула:
Ctg (a + b)=(ctg (a)*ctg (b)-1) / (ctg (b) + ctg (a)).
Для будь-яких кутів a, b крім a=pi*k, b=pi*n, ab=pi*m і для будь-яких цілих k, n, mбудет справедлива наступна формула:
Ctg (a-b)=(ctg (a)*ctg (b) +1) / (ctg (b)-ctg (a)).
Related posts:
- Формули – інтеграли Загальні формули інтегралів: Формула інтегрування частинами: Формула інтегрування за допомогою підстановки x=g(y): Формула диференціювання невизначеного інтеграла: Формули основних інтегралів:...
- Тригонометричні формули Тригонометричні формули – елементарні функції, які висловлюють залежність всіх сторін прямокутного трикутника від гострих кутів при гіпотенузі (або залежність хорд і висот від його центрального кута в колі). Тригонометрія – наука, яка вивчає властивості тригонометричних формул (trigwnon – трикутник, а metrew – вимірюю). До прямих функцій тригонометрії відносять: sin x (синус), cos x (косинус). До […]...
- Формули подвійного кута Формули додавання дозволяють виразити sin (2*a), cos (2*a) і tg (a) через тригонометричні функції кута a. 1. cos (a + b)=cos (a)*cos (b)-sin (a)*sin (b). 2. sin (a + b)=sin (a)*cos (b) + cos (a)*sin (b). 3. tg (a + b)=(tg (a) + tg (b)) / (1-tg (a)*tg (b)). Покладемо в цих формулах a=b. В […]...
- Властивості додавання натуральних чисел Додавання натуральних чисел грунтується на складання 2-х натуральних чисел. Складання 3-х і більше чисел виглядає як послідовне додавання 2-х чисел. Крім того, в силу переместительного і сочетательного властивості додавання, числа, які складаються можна міняти місцями і замінювати будь-2 складаються з чисел за їх сумою. Дія додавання маленьких натуральних чисел можна виробляти в думці або на […]...
- Електронні формули хімічних елементів Розташування електронів на енергетичних оболонках або рівнях записують за допомогою електронних формул хімічних елементів. Електронні формули або конфігурації допомагають уявити структуру атома елемента. Будова атома Щоб читати електронні формули, необхідно зрозуміти будову атома. Атоми всіх елементів складаються з позитивно зарядженого ядра і негативно заряджених електронів, які розташовуються навколо ядра. Електрони знаходяться на різних енергетичних рівнях. […]...
- Площа прямокутника – опис і формули Починаючи з 5 класу учні починають знайомитися більш глибше з поняттям площ різних фігур. Особлива роль відводиться площі прямокутника, так як формули даної фігури є основою для вивчення формул прямокутного трикутника. Поняття площі Певні фігури мають свою площу, а обчислення площі відштовхуються від одиничного квадрата, тобто від квадрата з довгої сторони в 1 мм, або […]...
- Електронні формули іонів Атоми можуть віддавати і приймати електрони. Віддаючи або приймаючи електрони, вони перетворюються в іони. Іони – це заряджені частинки. Надмірна заряд позначається індексом в правому верхньому куті. Якщо атом віддає електрони, то загальний заряд утворилася частки буде позитивний (згадаємо, що число протонів в атомі дорівнює числу електронів, а при віддачі електронів число протонів буде більше […]...
- Тиск газу: формули Тиск газу – важлива величина, що має не тільки теоретичне, а й практичне значення. Розглянемо формулу тиску газу, що використовується в молекулярній фізиці, з поясненнями, необхідними для кращого розуміння. Для складання формули доведеться зробити деякі спрощення. Молекули є складними системами, що мають багатоступінчате будова. Для простоти розглянемо газові частки в певному посудині як пружні однорідні […]...
- Кінематика (формули) Нижче ви можете знайти усі формули з розділу фізики “кінетика”. Будьте уважні і записуйте усі змінні, щоб розрахунки були правильними. Швидкість Прискорення: Нормальне прискорення: Дотичне прискорення: Класичний закон додавання швидкостей: Рівномірний прямолінійний рух: S = s0 + υt Рівноприскорений прямолінійний рух: Вільне падіння тіл: Рівномірний рух по колу: T = 2πR / V; ν = […]...
- Структурні формули Зображені вище схеми, що відображають порядок хімічного зв’язку атомів, називаються формулами будови або структурними формулами, на відміну від емпіричних формул, що показують тільки, яке число ато мов кожного елемента входить в молекулу. Зазвичай для зображення будови молекул застосовують спрощені структурні формули, в яких зв’язки з атомами водню не показують валентними рисками. Таким образок., Будова двох […]...
- Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками Вираз виду a / b називається алгебраїчної дробом. Тут а є чисельником цього дробу, а b її знаменником. Наведемо ще кілька прикладів алгебраїчних дробів: (A + b) / (a-b); (X*(a + c)) / (y*(a-c)); Дроби з різними знаменниками Чисельник і знаменник алгебраїчної дробу-деякі алгебраїчні вирази. Варто відзначити, що знаменник алгебраїчної дробу не повинен бути рівний […]...
- Термодинаміка (формули) Внутрішня енергія одного моля одноатомного ідеального газу: Робота газу при розширенні (стисканні): Перший закон термодинаміки ΔU = Q – A; Q = ΔU + A. Рівняння Пуассона для адіабати: Робота газу в адіабатичному процесі: A = CV(T2 – T1). Формула Р. Майєра: Cp = CV + R. Молярна теплоємність при постійному об’ємі: Молярна теплоємність твердого […]...
- Закони збереження в механіці (формули) Далі буде перелічено усі формули закону збереження в механіці. Будьте уважні і не забувайте про змінні. Сила і імпульс: Закон збереження імпульсу: Реактивна сила тяги: Формула Ціолковського: Механічна робота: A = Fs cos α Потужність: Кінетична енергія: Теорема про кінетичну енергію: A = Ek2 – Ek1 Потенціальна енергія: Закон збереження енергії в механічних процесах: Ek1 […]...
- Формули скороченого множення Математичні вирази (формули) скороченого множення (квадрат суми і різниці, куб суми і різниці, різниця квадратів, сума і різниця кубів) вкрай не замінимі в багатьох областях точних наук. Ці 7 символьних записів незамінні при спрощенні виразів, розв’язанні рівнянь, при множенні багаточленів, скорочення дробів, рішення інтегралів і в чому іншому. А значить буде дуже корисно розібратися як […]...
- Валентність. Молекулярні формули Введемо ще один важливий термін, потрібний нам для подальшої роботи: валентність. Валентність атома – це його здатність утворювати певне число хімічних зв’язків з іншими атомами. Наприклад, число рисок, що відходять від символу елемента в структурних формулах, одно валентності цього елемента. Подивіться на наведені нижче структурні формули деяких речовин – з них видно, що водень і […]...
- Якщо один кут прямий, то це прямокутник Однією з ознак прямокутника є наявність одного прямого кута параллелограмма. При цьому виявляється, що всі інші кути паралелограма також прямі. Тому такий паралелограм – прямокутник. Можна сформулювати дана ознака прямокутника у вигляді теореми: Якщо один з кутів паралелограма прямий, то такий паралелограм є прямокутником. Довести це можна наступним чином: Нехай дано паралелограм ABCD, у якого […]...
- Додавання і віднімання многочленів З многочленами, як і з будь-якими іншими алгебраїчними виразами, можна робити різні дії. Розберемося, як складати і віднімати многочлени. Нехай дано два многочлена. Щоб їх скласти, їх записують в дужках і ставлять знак “плюс” між ними. Потім розкриваємо дужки і наводимо подібні доданки. При відніманні ми ставимо між дужками знак “мінус”. Розкриваємо дужками і наводимо […]...
- Додавання паралельних сил. Центр ваги Рівнодіюча двох паралельних однаково спрямованих сил (рис. 1, а) дорівнює по модулю сумі їх модулів, паралельна їм і направлена в ту ж сторону, а лінія дії рівнодійної ділить відрізок, що з’єднує точки докладання доданків сил, на ділянки, обернено пропорційні силам. Це можна довести: якщо в передбачуваній точці О докладання рівнодіюча подумки поставити опору, то реакція […]...
- Економічний аналіз: формули Основні показники економічного аналізу Економічний аналіз передбачає наявність декількох методів для розрахунку основних своїх показників. Характерними рисами методу економічного аналізу діяльності суб’єкта економічної системи, є: Використання такої системи показників, яка всебічно може охарактеризувати господарську діяльність досліджуваного об’єкта; Розгляд причин, за якими можуть змінюватися показники; Для підвищення економічної ефективності діяльності суб’єкта необхідно виявити взаємозв’язок між показниками. […]...
- Ізомерія – структурні формули Явище, при якому утворюються сполуки однакові за кількістю атомів, але різні за структурою або просторовому розташуванню атомів, називається ізомерією. Ізомери відрізняються фізичними та хімічними властивостями. Ізомерія властива всім органічних сполук. Класифікація Ізомерія буває двох типів: Структурна – з’єднання відрізняються будовою молекул; Просторова – однакові за складом і будовою речовини розрізняються просторовим розташуванням атомів. Опис кожного […]...
- Рівняння – прості формули, математичні приклади Рівняння – це основа сучасних обчислень. Починаючись в підручнику 5 класу з математики, вони переслідують людину все життя, допомагаючи в розрахунках. Про простих рівняннях ми сьогодні і поговоримо. Визначення рівняння Що таке рівняння? Це таке собі тотожність, в одній з частин якого є не тільки чисельні, але і літерні значення. Тотожність – це два вираження, […]...
- Космічні швидкості (формули) Будь-яке матеріальне тіло володіє певною гравітацією, тобто здатністю притягувати в напрямку свого центру тіла з меншою силою тяжіння. Саме гравітацією пояснюється те, що предмети, які лежать на поверхні Землі, утримуються на ній, а кинуті вгору, рано чи пізно, знову опускаються на поверхню Землі. Щоб подолати сили тяжіння планети і вийти на навколоземну орбіту (стати супутником), […]...
- Додавання сил Якщо дві або більше сил спрямовані в одну сторону, їх просто складають. Ви штовхаєте автомобіль і його штовхають ще кілька людей в ту ж сторону, сили складаються, автомобіль котиться. Або якщо все разом піднімають важку шафу або телевізор. В одну сторону діє підйомна сила, а в протилежну сторону сила тяжіння. Тоді відбувається віднімання сили тяжіння […]...
- Закон додавання швидкостей Хай є дві системи відліку. Одна з них пов’язана з нерухомим тілом відліку O. Цю систему відліку позначимо K і будемо називати нерухомою. Друга система відліку, що позначається K ‘, пов’язана з тілом відліку O’, яке рухається відносно тіла O зі швидкістю і. Цю систему відліку називаємо рухомій. Додатково припускаємо, що координатні осі системи K […]...
- Найпростіше тригонометричне рівняння sin х = а Існує можливість відобразити кожен корінь рівняння sin х = а, як абсциссу якоїсь точки перетину синусоїди y =ѕіпх і прямої у = а, і, відповідно вірно зворотне, абсциса будь-якої такої точки перетину виступає одним з коренів рівняння. При | а| >1 синусоїда у = sin х не перетнеться з прямою у = а. В даному […]...
- Співвідношення між тригонометричними функціями одного і того ж кута Спробуємо відшукати залежність між основними тригонометричними функціями одного і того ж кута. Співвідношення між косинусом і синусом одного і того ж кута На наступному малюнку представлена система координат Оху із зображеною в ній частиною одиничної півкола ACB з центром в точці О. Ця частина є дугою одиничному колі. Одинична окружність описується рівнянням X2 + y2=1. […]...
- Формула Ньютона – Лейбніца Формула Ньютона – Лейбніца (основна теорема аналізу) дає зв’язок між 2-ма операціями: взяттям інтеграла Рімана і визначенням первісної. Формула Ньютона-Лейбніца – найважливіша формула інтегрального числення. Нехай f неперервна на відрізку [a, b] і Φ, її всяка первісна на цьому відрізку, тоді має місце рівність: Ця формула вірна для всіх функцій f(x), неперервної на відрізку [а, […]...
- Прискорення вільного падіння на Землі та інших небесних тілах Одним з окремих випадків всесвітнього тяжіння є той факт, що всі тіла притягуються до Землі. Для нас, жителів планети Земля, сила тяжіння має величезне значення. Сила, з якою тіло деякої маси m буде притягатися до Землі, відповідно до закону всесвітнього тяжіння буде обчислюватися за такою формулою: F = G*((mЗ*m)/(RЗ)2), де МЗ – маса землі; RЗ […]...
- Поняття про диференціальні рівняння У ході вирішення різних практичних завдань виникають рівняння, які пов’язують похідні деякої функції, саму функцію і незалежну змінну. Рівняння, які крім функцій включають в себе ще й похідні цих функцій, називаються диференціальними рівняннями. Наприклад, розглянемо другий закон Ньютона. Згідно нього, при русі матеріальної точки постійної маси по прямій буде справедлива наступна формула F=m*a, де F-сила, […]...
- Види раціональних виразів Цілий вираз-це математичний вираз, складене з чисел і буквених змінних за допомогою дій додавання, віднімання та множення. Також до цілим відносяться висловлювання, які мають у своєму складі поділ на яке або число, відмінне від нуля. Приклади цілого виразу Нижче представлені кілька прикладів цілих виразів: 1. 12*a ^ 3 + 5*(2*a-1); 2. 7*b 3. 4*y-((5*y +3) […]...
- Формула в математиці – основні правила Формула – це одне з найважливіших понять в математиці. Основні формули полегшують розрахунок і економлять час при вирішенні рівнянь. Поговоримо про те, що таке формула, звідки вони беруться і виділимо основні формули математики. Що це таке? Формула – це завжди рівності. З лівого боку знаходиться вираз, яке можна перетворити, а з правої результат перетворення. Правильно […]...
- Синуси прямокутних трикутників Поняття синуса, також як і косинуса, застосовно до гострих кутах прямокутних трикутників. Синус гострого кута прямокутного трикутника – це відношення катета, який протіволежіт цього кутку, до гіпотенузи. (У випадку з косинусом це було відношення прилеглого катета до гіпотенузи.) Синус позначається словом sin. У загальному випадку говорять про синусі кута альфа, або просто синусе альфа; позначається […]...
- Квадрат суми і різниці двох виразів Загальне правило множення многочленів свідчить, що необхідно кожен член многочлена помножити на кожен член іншого многочлена, і отримані твори скласти. Формули скороченого множення Але існує декілька випадків, коли множення виробляти повністю не треба, а існують вже готові формули, звані в алгебрі формулами скороченого множення многочленів або просто формулами скороченого множення. Зробимо множення двох многочленів (a […]...
- Вимушені електромагнітні коливання – формули До цього моменту мова йшла про вільні коливання, які відбуваються в результаті власних сил розглянутої ланцюга. Зараз же мова піде про контурі, на який діє зовнішня сила. Такі коливання називаються змушеними. Щоб отримати такі коливання, ланцюг повинна бути підключена до джерела струму, який відбувається гармонійні коливання. При цьому частота джерела струму повинна збігатися з частотою […]...
- Сполучені посудини: формули, схеми Сполученими посудинами прийнято вважати судини, об’єднані нижче рівня рідини, таким чином, що рідина зможе переміщатися з однієї судини в іншій. Сполученими посудинами прийнято вважати судини, об’єднані нижче рівня рідини, таким чином, що рідина зможе переміщатися з однієї судини в іншій. Грунтуючись на рівновазі рідини виводимо закон сполучених посудин: однорідна рідина встановлюється в нерухомих сполучених посудинах […]...
- Поняття похідної Розглянемо таку задачу: нехай деяка точка рухається по прямій безперервно і плавно. У деякий момент часу t координата точки х дорівнює х (t). Для визначеності можемо вважати, що мова йде про рух автомобіля за прямолінійним ділянці дороги. Завдання полягає в наступному: по відомій залежності x (t) знайти швидкість, з якою автомобіль рухається в конкретний момент […]...
- Електродинаміка (формули) Закон Кулона: Різниця потенціалів: ΔU = EΔx. Електроємність: С = q/U Енергія конденсатора: Закон Джоуля – Ленца: ΔQ = I 2RΔt. Сила Ампера: F = IBl cos α. Закон електромагнітної індукції: Магнітна енергія котушки: Реактивний опір: Поле точкового заряду: Плоский конденсатор: З = e0S/d. Закон Ома: Сила Лоренца: F = qvB sin α. Магнітний потік: […]...
- Закони Кеплера (формули) Закони, відкриті німецьким астрономом Іоганном Кеплером, зробили справжній переворот в астрономії. Кеплеру вдалося ще до відкриття Ньютоном закону всесвітнього тяжіння визначити практично безпомилково орбіти деяких планет і на їх основі вивести закони їх руху. 1 закон Кеплера: Кожна планета Сонячної системи обертається по еліпсу, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце. Де с – відстань […]...
- Гармонійні коливання Гармонійні коливання – коливання, що здійснюються за законами синуса і косинуса. На наступному малюнку представлений графік зміни координати точки з плином часу за законом косинуса. Амплітуда коливань Амплітудою гармонійного коливання називається найбільше значення зміщення тіла від положення рівноваги. Амплітуда може приймати різні значення. Вона залежатиме від того, наскільки ми змістимо тіло в початковий момент часу […]...
- Енергія зарядженого конденсатора: формули Енергія зарядженого конденсатора, енергія електричного поля, об’ємна густина енергії електричного поля. Енергія зарядженого конденсатора виражається формулами: Які виводяться з урахуванням виразів для зв’язку роботи і напруги і для ємності плоского конденсатора . Енергія електричного поля Об’ємна густина енергії електричного поля (енергія поля в одиниці об’єму) напруженістю E виражається формулою: Де Ɛ – діелектрична проникність середовища; […]...