Косинуси прямокутних трикутників
Поняття косинуса застосовно до гострих кутів прямокутного трикутника. Косинус гострого кута прямокутного трикутника – це відношення катета, який прилягає до даного кутку, до гіпотенузи. Наприклад, якщо дано трикутник ABC, де кут C прямій, а AB – гіпотенуза, то косинусом кута A буде ставлення AC до AB, косинусом кута B буде ставлення BC до AB. Косинус позначається словом cos. Таким чином, cos A = AC / AB, cos B = BC / AB. У загальному випадку говорять про косинус кута α; позначається як cos α.
Оскільки гіпотенуза завжди більше будь-якого катета прямокутного трикутника, то косинус гострого кута завжди менше одиниці.
Існує закономірність, що якщо гострі кути різних прямокутних трикутників рівні, то і косинуси цих кутів рівні. Це означає, що якщо у прямокутних трикутників різні довжини катетів і гіпотенуз, але рівні гострі кути, то рівними будуть і косинуси цих кутів, тобто відносини катетів до гіпотенузи будуть однакові. Наприклад, якщо дано два прямокутних трикутника ABC і DEF, у яких кути C і F – прямі, а ∠A = ∠D, то cos A = cos D або AC / AB = DF / DE.
Доказ рівності косинусів кутів
Щоб це довести, розглянемо відношення довжин гіпотенуз прямокутних трикутників ABC і DEF. Нехай гіпотенуза AB менше гіпотенузи DE і це відношення виражається таким собі числом a, a1a2 … an:
DE / AB = a, a1a2 … an
Тобто в результаті поділу довжин гіпотенуз отримали десяткову дріб. Її ціла частина означає яка кількість разів відрізок AB повністю вкладається в відрізку DE. Наявність чисел після коми, каже, що залишається частина відрізка DE, в яку AB повністю не вкладається. Однак у нього укладається a1 десятих частин AB, a2 сотих частин і т. Д. Наприклад, якщо DE = 10 см, а AB = 3,2 см, то DE / AB = 10 / 3,2 = 3,125. Таким чином, відрізок DE ми можемо розбити на три відрізки по 3 см, плюс один відрізок по 0,1 см, плюс два відрізки по 0,01 см і плюс п’ять відрізків по 0,001 см.
Від гіпотенузи DE ми можемо провести перпендикуляри до катету DF. Ці перпендикуляри розіб’ють DF на відрізки, які не будуть дорівнюють відповідним їм відрізкам на DE. Проте скрізь збережеться одне і теж ставлення. І все відрізки рівні на DE матимуть відповідні їм рівні між собою відрізки на DF. Це випливає з теореми Фалеса.
Трикутник, утворений першим перпендикуляром до DF, дорівнює трикутнику ABC (по гіпотенузі і гострому куту). Значить, їх прилеглі до досліджуваних гострим кутах катети рівні. І отже катет AC укладається на стороні DF таке ж число раз, як відношення DE до AB. Отримуємо DE / AB = DF / AC.
Змінимо це рівність так, щоб елементи одного трикутника були з одного боку від знака рівності. Отримаємо:
AC / AB = DF / DE
Тобто ставлення катета до гіпотенузи одного трикутника дорівнює відношенню катета до гіпотенузи іншого (за умови, що їх відповідні гострі кути рівні). Що і потрібно було довести: при рівності гострих кутів їх косинуси рівні.
(2 votes, average: 4.50 out of 5)