Прямокутник – це паралелограм з рівними діагоналями

Однією з ознак прямокутника є рівність його діагоналей. Тобто, якщо у паралелограма діагоналі рівні, то він є прямокутником.

Щоб довести даний ознака прямокутника, розглянемо паралелограм ABCD, у якого діагоналі AC і BD рівні. Потрібно довести, що в такому випадку ABCD – це прямокутник. Щоб це довести, досить довести, що один з кутів паралелограма прямий, т. К. За ще однією ознакою прямокутника їм є паралелограм, у якого хоча б один кут прямий.

Паралелограм з рівними діагоналями.
Розглянемо параллелограмме трикутники ABD і ACD. У них сторони BD і AC рівні, т. К. Це діагоналі, які за умовою рівні. Сторони AB і CD рівні як протилежні паралелограма. А сторона AD загальна. Таким чином, ΔABD = ΔACD за трьома сторонами.

Розі A трикутника ABD відповідає кут D трикутника ACD. З доведеного рівності трикутників випливає, що ці кути рівні між собою: ∠A = ∠D.

У параллелограмме сума сусідніх кутів завжди дорівнює 180 °. Це випливає з того, що сусідні кути паралелограма є односторонніми кутами між січною і паралельними прямими. Так, в даному випадку, AB || CD і AD – січна, отже, ∠A + ∠D = 180 °.

Якщо кут A дорівнює куту D, а в сумі вони становлять 180 °, то кожен з цих кутів буде по 90 °. Таким чином, ми визначили навіть не один, а два прямих кута параллелограмме. З цього випливає, що він є прямокутником. Теорема про те, що якщо в паралелограмі діагоналі рівні, то він є прямокутником, доведена.

Можна сформулювати і зворотну теорему: у прямокутнику діагоналі рівні. Тобто тут дано прямокутник, а потрібно довести, що його діагоналі рівні.

І в цьому випадку можна обмежитися розглядом трикутників ABD і ACD. Оскільки за умовою нам вже дано прямокутник, то кут A дорівнює куту D за умовою. Сторона AD загальна, а сторони AB і CD рівні як протилежні паралелограма (або прямокутника). Трикутники ABD і ACD виявляються рівними по двох сторонах або куту між ними або за двома катетам прямокутних трикутників.

З рівності трикутників випливає, що їх відповідні сторони AC і BD рівні. А вони то і є діагоналі даного прямокутника ABCD. Таким чином доведено, що якщо дан прямокутник, то його діагоналі будуть рівні один одному.


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (2 votes, average: 3.50 out of 5)

Прямокутник – це паралелограм з рівними діагоналями