Прямокутник – це паралелограм з рівними діагоналями
Однією з ознак прямокутника є рівність його діагоналей. Тобто, якщо у паралелограма діагоналі рівні, то він є прямокутником.
Щоб довести даний ознака прямокутника, розглянемо паралелограм ABCD, у якого діагоналі AC і BD рівні. Потрібно довести, що в такому випадку ABCD – це прямокутник. Щоб це довести, досить довести, що один з кутів паралелограма прямий, т. К. За ще однією ознакою прямокутника їм є паралелограм, у якого хоча б один кут прямий.
Паралелограм з рівними діагоналями.
Розглянемо параллелограмме трикутники ABD і ACD. У них сторони BD і AC рівні, т. К. Це діагоналі, які за умовою рівні. Сторони AB і CD рівні як протилежні паралелограма. А сторона AD загальна. Таким чином, ΔABD = ΔACD за трьома сторонами.
Розі A трикутника ABD відповідає кут D трикутника ACD. З доведеного рівності трикутників випливає, що ці кути рівні між собою: ∠A = ∠D.
У параллелограмме сума сусідніх кутів завжди дорівнює 180 °. Це випливає з того, що сусідні кути паралелограма є односторонніми кутами між січною і паралельними прямими. Так, в даному випадку, AB || CD і AD – січна, отже, ∠A + ∠D = 180 °.
Якщо кут A дорівнює куту D, а в сумі вони становлять 180 °, то кожен з цих кутів буде по 90 °. Таким чином, ми визначили навіть не один, а два прямих кута параллелограмме. З цього випливає, що він є прямокутником. Теорема про те, що якщо в паралелограмі діагоналі рівні, то він є прямокутником, доведена.
Можна сформулювати і зворотну теорему: у прямокутнику діагоналі рівні. Тобто тут дано прямокутник, а потрібно довести, що його діагоналі рівні.
І в цьому випадку можна обмежитися розглядом трикутників ABD і ACD. Оскільки за умовою нам вже дано прямокутник, то кут A дорівнює куту D за умовою. Сторона AD загальна, а сторони AB і CD рівні як протилежні паралелограма (або прямокутника). Трикутники ABD і ACD виявляються рівними по двох сторонах або куту між ними або за двома катетам прямокутних трикутників.
З рівності трикутників випливає, що їх відповідні сторони AC і BD рівні. А вони то і є діагоналі даного прямокутника ABCD. Таким чином доведено, що якщо дан прямокутник, то його діагоналі будуть рівні один одному.
Related posts:
- Якщо один кут прямий, то це прямокутник Однією з ознак прямокутника є наявність одного прямого кута параллелограмма. При цьому виявляється, що всі інші кути паралелограма також прямі. Тому такий паралелограм – прямокутник. Можна сформулювати дана ознака прямокутника у вигляді теореми: Якщо один з кутів паралелограма прямий, то такий паралелограм є прямокутником. Довести це можна наступним чином: Нехай дано паралелограм ABCD, у якого […]...
- Діагоналі перпендикулярні Однією з ознак ромба є те, що його діагоналі взаємно перпендикулярні. У вигляді теореми дана ознака формулюється так: Якщо діагоналі паралелограма перпендикулярні один одному, то такий паралелограм є ромбом. Доказ цієї теореми зводиться до того, щоб довести, що у такого паралелограма сторони рівні. Саме рівність сторін паралелограма дозволяє зробити висновок, що це ромб. Таким чином, […]...
- Види багатокутників Види багатокутників: Чотирикутники Чотирикутники, відповідно, складаються з 4-х сторін і кутів. Сторони і кути, розташовані навпроти один одного, називаються протилежними. Діагоналі ділять опуклі чотирикутники на трикутники (див. на малюнку). Сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360 ° (по формулі: (4-2) * 180 °). Паралелограми Паралелограм – це опуклий чотирикутник з протилежними паралельними сторонами (на рис. Під […]...
- Ознаки прямокутника У цій статті ми поговоримо про ознаки прямокутника. Виділимо основні і розглянемо кожен окремо. Визначення Основна частина доказів грунтується на тому, що в чотирикутнику сума кутів дорівнює 360 градусам. Всього налічується 7 ознак прямокутника. Для того, щоб їх застосовувати потрібно, перш за все, згадати визначення: Прямокутник це паралелограм, у якого всі кути прямі. Паралелограм це […]...
- Властивості прямокутника Прямокутником називається чотирикутник, у якого всі кути прямі. Всі прямокутники володіють наступними властивостями Протилежні сторони прямокутника рівні і паралельні. Сума кутів прямокутника дорівнює 360 градусів. Діагоналі прямокутника мають однакову довжину. Сторони прямокутника є його висотами. Квадрат діагоналі прямокутника дорівнює сумі квадратів суміжних сторін прямокутника. Кожна діагональ прямокутника ділить прямокутник на два однакових прямокутних трикутника. Діагоналі […]...
- Діагональ прямокутника У шкільному курсі математики однієї з перших у вивченні фігур є прямокутник. Діагональ прямокутника бере участь у вирішенні багатьох завдань. Тому має сенс докладніше розглянути цей елемент фігури. Визначення Прямокутник є чотирикутником з рівними кутами і попарно рівними і паралельними протилежними сторонами. Тому діагональ буде ділити цю геометричну фігуру на два прямокутних трикутника. Виходить, що […]...
- Довести чому дорівнює площа паралелограма Площа паралелограма дорівнює добутку його одного боку на висоту, проведену до цієї сторони. Сторону, до якої проведена висота, прийнято називати підставою. Тому теорему формулюють так: площа паралелограма дорівнює добутку його основи на висоту. Якщо позначити підставу паралелограма буквою a, висоту – буквою h, то площа виражається такою формулою: S = ah Відзначимо, що ця формула […]...
- Чим відрізняється квадрат від прямокутника Чотирикутником називають багатокутник, у якого чотири вершини і чотири сторони. Інакше можна сказати, що чотирикутником є геометрична фігура у вигляді багатокутника, який має тільки чотири кута. Будь-який предмет або пристрій, що має таку форму також можна назвати чотирикутником. Дві сторони чотирикутника, які по відношенню один до одного є несуміжними, називаються протилежними. Два кута і дві […]...
- Властивість ромба Ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні. Тому окрім властивостей паралелограма, він має особливі властивості: Діагоналі ромба перпендикулярні один одному; діагоналі ромба ділять його кути навпіл. Щоб довести ці властивості, розглянемо ромб ABCD. Так як це ромб, всі сторони в нього рівні: AB = BC = CD = DA. Діагоналі ромба – AC […]...
- Дві сторони рівні і паралельні Однією з ознак паралелограма є те, що якщо в чотирикутнику дві сторони рівні і паралельні, то такий чотирикутник є паралелограмом. Тобто, якщо у чотирикутника дві сторони рівні і паралельні, то дві інші сторони також виявляються рівними між собою і паралельними один одному, т. К. Цей факт є визначенням і властивістю паралелограма. Таким чином, паралелограм можна […]...
- Властивості квадрата Квадрат – це прямокутник, у якого всі сторони рівні. Всі квадрати володіють наступними властивостями Всі кути квадрата рівні 90°. Всі сторони квадрата рівні. Діагоналі квадрата рівні і точкою перетину діляться навпіл. Діагоналі квадрата перетинаються під кутом 90°. У будь-квадрат можна вписати окружність і навколо будь-якого квадрата можна описати окружність. Радіус вписаного в квадрат кола дорівнює […]...
- Площа прямокутника – опис і формули Починаючи з 5 класу учні починають знайомитися більш глибше з поняттям площ різних фігур. Особлива роль відводиться площі прямокутника, так як формули даної фігури є основою для вивчення формул прямокутного трикутника. Поняття площі Певні фігури мають свою площу, а обчислення площі відштовхуються від одиничного квадрата, тобто від квадрата з довгої сторони в 1 мм, або […]...
- Рівність трикутників Два суміщених один з одним трикутника є рівними, якщо їх боку і кути відповідно рівні. Це можна записати так: △ ABC = △ A1B1C1. Цілком логічно, що якщо і 3 кута і 3 сторони рівні, то трикутники рівні. Однак, рівність трикутників можна знайти ще швидше: 1-а теорема (ознака) про рівність трикутників (тут і далі в […]...
- Які ознаки рівності прямокутних трикутників? Відомі три ознаки рівності будь-яких трикутників: По двох сторонах і куту між ними; за двома кута і стороні між ними; за трьома сторонами. У двох прямокутних трикутників завжди одна пара кутів дорівнює один одному – це прямі кути. Тому ознаки рівності трикутників для прямокутних трикутників спрощуються в тому сенсі, що для твердження, що трикутники рівні, […]...
- Доказ ознак подібності трикутників Доказ першої ознаки подібності трикутників Перша ознака подібності трикутників стверджує, що якщо у трикутників дві сторони відповідно пропорційні, а кути між ними рівні, то такі трикутники подібні. Розглянемо трикутники ABC і DEF, у яких DE = kAB, EF = kBC і ∠B = ∠E. Перша ознака подібності трикутників Щоб довести подібність даних трикутників, потрібно довести, […]...
- Довести, що висота рівнобедреного трикутника є бісектрисою і медіаною Існує теорема про те, що в трикутник проведена до його основи висота також є бісектрисою і медіаною. Довести цю теорему можна таким чином. Уявімо трикутник ABC з бічними сторонами AB і BC і підставою AC. Проведемо в ньому висоту BD. Відзначимо, наступні факти: Відрізок BD перпендикулярний відрізку AC з побудови. Точка D ділить відрізок AC […]...
- Площа прямокутника Найдавнішими поняттями в розвитку світової геометрії є поняття площ багатьох прямолінійних фігур, у тому числі: прямокутника, паралелограма, трикутника, і трапеції. Ще в 7 столітті до нашої ери площа прямокутника вміли обчислювати єгиптяни. Вони множили довжину на ширину. Вавилонська арифметика і алгебра теж були досить розвинені, про це свідчать знайдені при розкопках клинописні таблички. Вавилонська геометрія […]...
- Чим відрізняється ромб від квадрата Дорослій людині таке питання може здатися наївним, а от школярі і маленькі діти часто ставлять його. І часом однією лише демонстрації геометричних фігур може виявитися мало. Тому кілька простих закономірностей допоможуть розібратися і зрозуміти відмінності між зазначеними категоріями. Що таке ромб і квадрат Ромб – це чотирикутна геометрична фігура, всі сторони якої рівні. Протилежні сторони […]...
- Довести чому дорівнює площа трикутника Площа трикутника дорівнює половині від твору його боку на висоту, проведену до цієї сторони. Сторону, до якої проведена висота, прийнято в такому випадку називати підставою. Таким чином, можна сказати, що площа трикутника дорівнює половині добутку його основи на висоту. Якщо позначити довжину сторони-основи трикутника як a, висоту – як h, то вийде формула площі трикутника: […]...
- Докази властивості бісектриси кута Властивість бісектриси кута полягає в тому, що кожна її точка рівновіддалена від сторін кута. Це властивість можна сформулювати у формі зворотної теореми: всі точки, що лежать всередині кута і рівновіддалені від його сторін, лежать на його бісектрисі. Слід згадати, що відстань від точки до прямої – це відрізок, перпендикулярний до даної прямої, проведений з даної […]...
- Рівні трикутники Вивчаючи тему трикутників, варто звернути увагу на ознаки рівності двох фігур. Їх можна використовувати під час рішень різних завдань. Про те, як визначити ознаки і властивості рівності – поговоримо у цій статті. Визначення поняття Трикутники ABC і A1B1C1 вважаються рівними в тому випадку, якщо їх можна поєднати накладенням. При цьому всі сторони і вершини фігур […]...
- Що таке квадрат? Квадрат – це правильний чотирикутник, у якого всі кути і сторони рівні. Властивості квадрата 1) Сторони квадрата по довжині завжди рівні. 2) Всі 4 кута квадрата завжди прямі. 3) Діагоналі квадрата рівні і взаємно перпендикулярні, точкою перетину їх можна розділити навпіл. Діагоналі квадрата являють собою бісектриси кутів. Приклади квадратів Приклади квадратів буквально оточують нас всюди. […]...
- Точки паралельної прямої рівновіддалені Всі точки кожної з двох паралельних прямих рівновіддалені від іншої прямої. Це означає, що з якої б точки однієї з паралельних прямих не вимірюються відстань до іншої прямої, воно завжди буде однаковим. Як відомо, відстань між точкою і прямою – це відрізок перпендикуляра, проведеного з даної точки до даної прямої; кінцями відрізка є дана точка […]...
- Паралелепіпед Паралелепіпед – це призма, підстави якої паралелограми. Таким чином, паралелепіпед має шість граней, і всі вони – паралелограма. Протилежні грані попарно рівні і паралельні. У паралелепіпеда чотири діагоналі; вони все перетинаються в одній точці і діляться в ній навпіл. Якщо чотири бічні грані паралелепіпеда – прямокутники, то він називається прямим. Прямий паралелепіпед, у якого всі […]...
- Об’єм прямокутника У цій статті ми поговоримо про різниці визначень об’єму і площі, а так само про прямокутник і паралелепіпед. Розділимо всі поняття, обговоримо, як знайти площу і як визначити об’єм. Визначення Часто в житті люди роблять математичні помилки. Причому найчастіше не в силу якогось грубого незнання, а просто через громіздкість назв. Це не зовсім вірно, оскільки […]...
- Косинуси прямокутних трикутників Поняття косинуса застосовно до гострих кутів прямокутного трикутника. Косинус гострого кута прямокутного трикутника – це відношення катета, який прилягає до даного кутку, до гіпотенузи. Наприклад, якщо дано трикутник ABC, де кут C прямій, а AB – гіпотенуза, то косинусом кута A буде ставлення AC до AB, косинусом кута B буде ставлення BC до AB. Косинус […]...
- Властивості трикутників Трикутником називається геометрична фігура, що складається з трьох точок і трьох відрізків, що попарно їх з’єднують. У будь-якому трикутнику три кута і три сторони. Проти більшого кута трикутника лежить більша сторона. Трикутники бувають гострокутними (якщо всі його кути гострі), тупоугольными (якщо один з його кутів тупий), прямокутними (якщо один з його кутів прямий). Трикутник називається […]...
- Види трикутників 3 види трикутників: Трикутник і його властивості Трикутник – це трикутник з двома рівними сторонами. Рівні боку – це бічні сторони, третя сторона – це підстава. Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні. А бісектриса, проведена до основи, буде і медіаною і висотою. Якщо всі три сторони трикутника рівні, то це рівносторонній трикутник. Якщо один з […]...
- Рішення нерівностей другого степеня з однією змінною Розглянемо невелику задачу. Є деякий прямокутник. Його сторони рівні 2см і 3 см. Кожну сторону прямокутника збільшили на однакову кількість сантиметрів. Після цього площа прямокутника стала більше на 12 см2. Як змінилася кожна зі сторін? Рішення. Бо сторони збільшили на одне і теж число, позначимо це число за х. Тепер можемо записати формули сторін нового […]...
- Площа поперечного перерізу При вирішенні завдань опору матеріалів у розрахункові формули вводять величини, які визначають формулу і розміри поперечних перерізів. Вони називаються геометричними характеристиками плоских перетинів. Першою такою величиною варто вважати площу перетину. Розрахувати площу поперечного перерізу можна навіть стовбура дерева, адже вона за формою схожа на еліпс або коло. Відповідно до формули, площу поперечного перерізу кола, можливо, […]...
- Що називається чотирикутником Чотирикутник – це багатокутник, у якого чотири сторони і, відповідно, чотири вершини. Як і всі багатокутники, чотирикутник являє собою замкнуту просту ламану. Така ламана обмежує внутрішню область утвореного їй багатокутника. Як відомо, ламана – це фігура, що складається з послідовно з’єднаних своїми кінцями відрізків, при цьому сусідні (суміжні) відрізки чи не лежать на одній прямій. […]...
- Описаний чотирикутник Описаний близько окружності чотирикутник стосується її всіма своїми сторонами. Тобто кожна з чотирьох сторін чотирикутника є дотичною до даної окружності. Така кола називається вписаною в чотирикутник. Не кожен чотирикутник можна описати близько окружності. Описані і неописані чотирикутники Описані чотирикутники мають таку властивість: суми їх протилежних сторін рівні. Це означає, що якщо, близько даної окружності описати […]...
- Діагональ паралелепіпеда Паралелепіпед – це призма, в основі якої лежить багатогранник найчастіше паралелограм. Він складається з граней, ребер і вершин. В геометрії розрізняють такі види паралелепіпедів: прямокутний паралелепіпед (гранями паралелепіпеда виступають прямокутники); прямий паралелепіпед (його бічні грані виступають у ролі прямокутників); похилий паралелепіпед (його бічні грані виступають у ролі перпендикулярів); куб паралелепіпед з абсолютно однаковими вимірами, а […]...
- Види трапецій Трапецією називається опуклий чотирикутник, у якого одна пара протилежних сторін паралельна один одному, а інша – ні. Виходячи з визначення трапеції і ознак паралелограма, паралельні сторони трапеції не можуть бути рівні один одному. Інакше інша пара сторін також стала б паралельної і рівної один одному. У такому випадку ми мали б справу з паралелограмом. Паралельні […]...
- Перетин висот трикутника Існує теорема про те, що висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці. Довести цю теорему можна таким чином. Нехай дано трикутник ABC, в ньому проведено висоти AH, BI, CJ. Слід довести, що три висоти перетинаються в одній якійсь точці O. Проведемо через вершини трикутника ABC прямі, паралельні сторонам, яким вершини протилежні. Ці прямі […]...
- Довести чому дорівнює площа трапеції Площа трапеції дорівнює ½ від твору суми її підстав на висоту. Так, якщо позначити підстави трапеції буквами a і b, висоту – буквою h, то площа трапеції можна виразити формулою: S = ½ (a + b) h Нагадаємо, що підстави трапеції паралельні. Тому висоту можна проводити з будь-якої точки одного підстави до прямої, на якій […]...
- Співвідношення між сторонами і кутами трикутника У трикутнику між його сторонами і кутами існують певні співвідношення. Якщо який-небудь кут трикутника більший за інший, то навпроти його лежить сторона з більшою довжиною, ніж навпроти іншого. Іншими словами, навпроти найбільшого кута трикутника лежить найбільша сторона, навпроти середнього кута – середня сторона, а навпроти найменшого кута – найменша сторона. Зрозуміло, що якщо кути трикутника […]...
- Площа поверхні прямокутного паралелепіпеда У 5 класі з математики вивчається тема прямокутного паралелепіпеда. У статті розкривається вищезазначена тема, наводяться формули для знаходження площі прямокутного паралелепіпеда бічній поверхні і площі повної поверхні. Визначення понять Паралелепіпед – це фігура, що складається з шести чотирикутників. Якщо в підставі цієї фігури знаходиться прямокутник, то багатокутник називається прямокутним паралелепіпедом. Вся поверхня складається з шести […]...
- Повідомлення “Осьова і центральна симетрія” Симетрія – вічна супутниця життя кожної людини. Предмети, природа, одяг, навіть саме тіло людини симетрично. Ідентичні половини зображень, об’єктів, предметів можуть бути створені як людиною спеціально, так і самою природою. З точки зору математичної науки, симетрія підрозділяється на симетричність по прямій лінії – осі і симетричність по одній центральній точці. Осьова симетрія Осьова симетрія (її […]...
- Що таке серединний перпендикуляр до відрізка? Серединний перпендикуляр до відрізка – це перпендикулярна до нього пряма, яка проходить через його середину. Зрозуміло, що далеко не через кожну точку простору, не лежить на відрізку, можна провести серединний перпендикуляр. Через будь-яку точку можна провести перпендикуляр і при тому тільки один, але він далеко не обов’язково буде серединним, тобто не буде ділити відрізок на […]...