Вписаний правильний багатокутник
Правильні багатокутники – це опуклі багатокутники, у яких всі сторони рівні, а також рівні всі його кути. Кількість сторін і відповідно кількість кутів може бути будь-яким (але більше двох). Так рівносторонній трикутник і квадрат є правильними багатокутниками. Далі йдуть п’ятикутник, шестикутник і т. Д.
Правильні багатокутники
Існує теорема про те, що будь правильний багатокутник можна вписати в коло, причому тільки в одну.
Вписані правильні багатокутники
Довести цю теорему можна таким чином. Нехай дано правильний шестикутник ABCDEF. Проведемо спочатку бісектриси кутів A і B. бісектриси перетнуться в деякій точці O.
Доказ теореми про вписанном правильному багатокутнику
Розглянемо трикутник ABO. Так як AO і BO – бісектриси, а кути A і B рівні за умовою (в правильних багатокутниках кути рівні), то кут ABO становить половину кута B, кут BAO дорівнює ½ кута A, і ці кути рівні між собою: ∠ABO = ∠ BAO = ½∠B = ½∠A.
Виходить, що в трикутнику ABO кути при боці AB рівні, значить, цей трикутник рівнобедрений, а AB – його основу. Тоді сторони AO і BO – бічні сторони рівнобедреного трикутника, а значить, рівні між собою: AO = BO.
З’єднаємо вершину C шестикутника з точкою O. Стверджувати, що пряма CO є бісектрисою кута C, ми не можемо. Однак розглянемо трикутники ABO і BCO. У них сторона BO загальна, сторони AB і BC рівні між собою за умовою (як сторони правильного багатокутника), кути ABO і CBO також рівні, т. К. BO бісектриса кута B. Отже, дані трикутники рівні за двома сторонами і кутом між ними.
З рівності трикутників ABO і BCO випливає, що сторона AO = CO. Але вона дорівнює ж і BO. Виходить, що AO = BO = CO. Крім того, CO – бісектриса.
Аналогічно доводиться, що DO, EO, FO рівні AO та іншим відрізкам від вершин багатокутника до точки O.
Виходить, що всі вершини даного шестикутника знаходяться на одному і тому ж відстані від точки O. Якщо взяти цю точку за центр кола, а радіус кола встановити рівним довжині відрізка AO, то така окружність пройде по всіх вершин шестикутника.
Якщо доводити цю теорему не так на шестикутнику, а на будь-якому правильному багатокутнику A1A2A3 … An, то вийде те ж саме. Таким чином, будь правильний багатокутник можна вписати в коло.
Відомо, що близько будь-якого трикутника можна описати коло і притому тільки одну. Якщо розглянути трикутник ABC в даному шестикутнику, то виявиться, що він вписаний в коло O. Отже, якщо немає інших описаних кіл для нього, то їх немає і для шестикутника. Таким чином, факт того, що близько правильного багатокутника можна описати тільки одну окружність теж вважається доведеним.
Related posts:
- Чому дорівнює вписаний в коло кут? У вписаного в коло кута вершина лежить на колі, а сторони є хордами кола (кажуть “перетинають окружність”). Існує теорема про те, що вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку спирається. Дуга, на яку спирається кут, знаходиться між точками перетину його сторін з колом. Щоб довести теорему про рівність кута половині дуги, на яку він спирається, […]...
- Види трикутників 3 види трикутників: Трикутник і його властивості Трикутник – це трикутник з двома рівними сторонами. Рівні боку – це бічні сторони, третя сторона – це підстава. Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні. А бісектриса, проведена до основи, буде і медіаною і висотою. Якщо всі три сторони трикутника рівні, то це рівносторонній трикутник. Якщо один з […]...
- Властивості трикутників Трикутником називається геометрична фігура, що складається з трьох точок і трьох відрізків, що попарно їх з’єднують. У будь-якому трикутнику три кута і три сторони. Проти більшого кута трикутника лежить більша сторона. Трикутники бувають гострокутними (якщо всі його кути гострі), тупоугольными (якщо один з його кутів тупий), прямокутними (якщо один з його кутів прямий). Трикутник називається […]...
- Чим відрізняється квадрат від прямокутника Чотирикутником називають багатокутник, у якого чотири вершини і чотири сторони. Інакше можна сказати, що чотирикутником є геометрична фігура у вигляді багатокутника, який має тільки чотири кута. Будь-який предмет або пристрій, що має таку форму також можна назвати чотирикутником. Дві сторони чотирикутника, які по відношенню один до одного є несуміжними, називаються протилежними. Два кута і дві […]...
- Основні поняття геометрії Геометрія – це наука, що вивчає просторові відносини і форми предметів. Евклідова геометрія – це геометрична теорія, заснована на системі аксіом, вперше викладеної в “Засадах” Евкліда. Геометрія Лобачевського (гіперболічна геометрія) – одна з неевклідових геометрій, геометрична теорія, заснована на тих же основних посиланнях, що і звичайна евклідова геометрія, за винятком аксіоми про паралельних прямих, яка […]...
- Як побудувати бісектрису кута? Бісектриса – це промінь, що виходить з вершини кута і ділить кут навпіл, тобто на два рівних кута. Таким чином завдання можна сформулювати так: розділити кут навпіл. Алгоритм побудови бісектриси кута: Накреслити коло (або його частина) з центром у вершині кута так, щоб вона перетнула сторони кута. Заміряти циркулем відстань між точками перетину сторін кута […]...
- Докази властивості бісектриси кута Властивість бісектриси кута полягає в тому, що кожна її точка рівновіддалена від сторін кута. Це властивість можна сформулювати у формі зворотної теореми: всі точки, що лежать всередині кута і рівновіддалені від його сторін, лежать на його бісектрисі. Слід згадати, що відстань від точки до прямої – це відрізок, перпендикулярний до даної прямої, проведений з даної […]...
- Властивість ромба Ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні. Тому окрім властивостей паралелограма, він має особливі властивості: Діагоналі ромба перпендикулярні один одному; діагоналі ромба ділять його кути навпіл. Щоб довести ці властивості, розглянемо ромб ABCD. Так як це ромб, всі сторони в нього рівні: AB = BC = CD = DA. Діагоналі ромба – AC […]...
- Рівність трикутників Два суміщених один з одним трикутника є рівними, якщо їх боку і кути відповідно рівні. Це можна записати так: △ ABC = △ A1B1C1. Цілком логічно, що якщо і 3 кута і 3 сторони рівні, то трикутники рівні. Однак, рівність трикутників можна знайти ще швидше: 1-а теорема (ознака) про рівність трикутників (тут і далі в […]...
- Якщо навхрест лежачі кути при січній рівні, то прямі паралельні Нехай дано дві прямі a і b, що перетинаються прямий c. Тобто пряма c є січною для прямих a і b. При цьому утворюються дві пари навхрест лежачих кутів. Якщо в будь-який з цих пар кути рівні, то прямі a і b паралельні. На кресленні позначена одна пара рівних між собою навхрест лежачих кутів. Навхрест […]...
- Довести, що висота рівнобедреного трикутника є бісектрисою і медіаною Існує теорема про те, що в трикутник проведена до його основи висота також є бісектрисою і медіаною. Довести цю теорему можна таким чином. Уявімо трикутник ABC з бічними сторонами AB і BC і підставою AC. Проведемо в ньому висоту BD. Відзначимо, наступні факти: Відрізок BD перпендикулярний відрізку AC з побудови. Точка D ділить відрізок AC […]...
- Рівнобедрений прямокутний трикутник І рівнобедрений, і прямокутний трикутник досить звичні будь-кому, хто знайомий з геометрією. Поєднання цих ознак зустрічається досить рідко і погано піддається візуальному сприйняттю. Не завжди можна представити повний набір властивостей такого трикутника, тому поговоримо про нього детальніше. Визначення Трикутник – це трикутник, бічні сторони якого рівні. Прямокутний трикутник містить в собі прямий кут. Значить рівнобедрений […]...
- Довести, що гіпотенуза більше катета У прямокутному трикутнику гіпотенуза більше кожного з катетів. Чому? Насправді прийти до такого висновку можна кількома способами. По-перше, якщо знати той факт, що навпроти більшого кута завжди лежить більша сторона, і два непрямих кута прямокутного трикутника гострі, то доказ виглядатиме зовсім просто. Прямий кут дорівнює 90 °, і навпроти нього лежить гіпотенуза. Гострі кути менше […]...
- Якщо один кут прямий, то це прямокутник Однією з ознак прямокутника є наявність одного прямого кута параллелограмма. При цьому виявляється, що всі інші кути паралелограма також прямі. Тому такий паралелограм – прямокутник. Можна сформулювати дана ознака прямокутника у вигляді теореми: Якщо один з кутів паралелограма прямий, то такий паралелограм є прямокутником. Довести це можна наступним чином: Нехай дано паралелограм ABCD, у якого […]...
- Порівняння геометричних фігур Порівняння геометричних фігур застосовується з метою визначення, яка з них більше або менше іншого, або ж не рівні вони один одному. Зрозуміло, що при цьому мається на увазі, що швидше за все порівнюються фігури відносяться до одного виду геометричних фігур. Наприклад, доречно порівняти два відрізки між собою, або два трикутники, або два кути. Але складно […]...
- Що таке зовнішня і внутрішня області кута? Кут своїми променями ділить площину на дві частини. Одна знаходиться всередині кута, інша – поза ним. Однак, кутом можна порахувати кордону будь-якої з цих двох площин. Можна сказати по-іншому – два промені, які виходять з однієї точки утворюють два кути: один з одного боку між двома променями, другий – з іншого боку. У такій неоднозначній […]...
- Ознаки прямокутника У цій статті ми поговоримо про ознаки прямокутника. Виділимо основні і розглянемо кожен окремо. Визначення Основна частина доказів грунтується на тому, що в чотирикутнику сума кутів дорівнює 360 градусам. Всього налічується 7 ознак прямокутника. Для того, щоб їх застосовувати потрібно, перш за все, згадати визначення: Прямокутник це паралелограм, у якого всі кути прямі. Паралелограм це […]...
- Доказ ознак подібності трикутників Доказ першої ознаки подібності трикутників Перша ознака подібності трикутників стверджує, що якщо у трикутників дві сторони відповідно пропорційні, а кути між ними рівні, то такі трикутники подібні. Розглянемо трикутники ABC і DEF, у яких DE = kAB, EF = kBC і ∠B = ∠E. Перша ознака подібності трикутників Щоб довести подібність даних трикутників, потрібно довести, […]...
- Косинуси прямокутних трикутників Поняття косинуса застосовно до гострих кутів прямокутного трикутника. Косинус гострого кута прямокутного трикутника – це відношення катета, який прилягає до даного кутку, до гіпотенузи. Наприклад, якщо дано трикутник ABC, де кут C прямій, а AB – гіпотенуза, то косинусом кута A буде ставлення AC до AB, косинусом кута B буде ставлення BC до AB. Косинус […]...
- Кола правильного багатокутника Близько будь-якого правильного багатокутника можна як описати коло, так і вписати в нього коло. Це будуть дві різні кола. Описана матиме більший радіус, а вписана менший. Однак їх центри будуть збігатися. Цей центр називається центром правильного багатокутника. При цьому у правильного багатокутника може бути тільки одна вписана окружність і тільки одна описана. На описаного кола […]...
- Види кутів Кути – це така ж характеристика фігури, як сторони, периметр або площа. За допомогою кутів можна зрозуміти, яка фігури перед нами і який саме її вид. Якщо це трикутник, то за кутом візуально можна визначити, прямокутний чи це трикутник, тупоугольние або довільний, а за загальним кутку можна довести рівність або подібність фігур. Визначення Що таке […]...
- Бісектриса трикутника Бісектриса є одним з основних понять при вивченні різних фігур. Особлива роль відводиться темі бісектриси кута трикутника. Визначення поняття бісектриси Бісектрисою трикутника називається відрізок, який ділити кут на два рівних кута. Наприклад, якщо кут трикутника 1200, то провівши бісектрису, утворюється два кута по 600. А так як в трикутнику є три кути, то відповідно можна […]...
- Що називається чотирикутником Чотирикутник – це багатокутник, у якого чотири сторони і, відповідно, чотири вершини. Як і всі багатокутники, чотирикутник являє собою замкнуту просту ламану. Така ламана обмежує внутрішню область утвореного їй багатокутника. Як відомо, ламана – це фігура, що складається з послідовно з’єднаних своїми кінцями відрізків, при цьому сусідні (суміжні) відрізки чи не лежать на одній прямій. […]...
- Види багатокутників Види багатокутників: Чотирикутники Чотирикутники, відповідно, складаються з 4-х сторін і кутів. Сторони і кути, розташовані навпроти один одного, називаються протилежними. Діагоналі ділять опуклі чотирикутники на трикутники (див. на малюнку). Сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360 ° (по формулі: (4-2) * 180 °). Паралелограми Паралелограм – це опуклий чотирикутник з протилежними паралельними сторонами (на рис. Під […]...
- Що таке квадрат? Квадрат – це правильний чотирикутник, у якого всі кути і сторони рівні. Властивості квадрата 1) Сторони квадрата по довжині завжди рівні. 2) Всі 4 кута квадрата завжди прямі. 3) Діагоналі квадрата рівні і взаємно перпендикулярні, точкою перетину їх можна розділити навпіл. Діагоналі квадрата являють собою бісектриси кутів. Приклади квадратів Приклади квадратів буквально оточують нас всюди. […]...
- Сторони трикутника В математиці при розгляді трикутника обов’язково приділяють багато уваги його сторонам. Оскільки дані елементи формують цю геометричну фігуру. Сторони трикутника використовуються для вирішення багатьох завдань з геометрії. Визначення поняття Відрізки, що з’єднують три точки, що не лежать на одній прямій, називаються сторонами трикутника. Розглянуті елементи обмежують частину площині, що називають начинкою даної геометричної фігури. Математики […]...
- Властивості прямокутного трикутника Трикутник – це геометрична фігура, яка складається з трьох точок (вершин), які не перебувають на одній і тій же прямій лінії і трьох відрізків, які з’єднують ці точки. Прямокутним трикутником називається трикутник, який має один з кутів в 90° (прямий кут). Розглянемо прямокутний трикутник (АВС) і його властивості, який представлений на малюнку. Прямокутний трикутник має […]...
- Співвідношення між сторонами і кутами трикутника У трикутнику між його сторонами і кутами існують певні співвідношення. Якщо який-небудь кут трикутника більший за інший, то навпроти його лежить сторона з більшою довжиною, ніж навпроти іншого. Іншими словами, навпроти найбільшого кута трикутника лежить найбільша сторона, навпроти середнього кута – середня сторона, а навпроти найменшого кута – найменша сторона. Зрозуміло, що якщо кути трикутника […]...
- Які ознаки рівності прямокутних трикутників? Відомі три ознаки рівності будь-яких трикутників: По двох сторонах і куту між ними; за двома кута і стороні між ними; за трьома сторонами. У двох прямокутних трикутників завжди одна пара кутів дорівнює один одному – це прямі кути. Тому ознаки рівності трикутників для прямокутних трикутників спрощуються в тому сенсі, що для твердження, що трикутники рівні, […]...
- Навхрест лежачі кути при паралельних прямих рівні Існує теорема про те, що прямі паралельні, якщо при перетині їх січною навхрест лежачі кути виявляються рівними. Тут дано – рівні навхрест лежачі кути при січної, наслідок – прямі паралельні. Існує зворотна теорема: навхрест лежачі кути при січної рівні, якщо вона перетинає паралельні прямі. В даному випадку дано – паралельні прямі, наслідок – рівність навхрест […]...
- Прямокутник – це паралелограм з рівними діагоналями Однією з ознак прямокутника є рівність його діагоналей. Тобто, якщо у паралелограма діагоналі рівні, то він є прямокутником. Щоб довести даний ознака прямокутника, розглянемо паралелограм ABCD, у якого діагоналі AC і BD рівні. Потрібно довести, що в такому випадку ABCD – це прямокутник. Щоб це довести, досить довести, що один з кутів паралелограма прямий, т. […]...
- Довести основну тригонометричну тотожність Основним тригонометричним тотожністю є рівність: Sin2 α + cos2 α = 1 Це означає, що в прямокутному трикутнику сума квадратів синуса і косинуса одного і того ж гострого кута дорівнює одиниці. Доведемо це тригонометричну тотожність. Нехай дано прямокутний трикутник ABC (∠C = 90º). Проведемо в ньому висоту CH до гіпотенузи. Косинуси кутів Висловимо катети трикутника […]...
- Синуси прямокутних трикутників Поняття синуса, також як і косинуса, застосовно до гострих кутах прямокутних трикутників. Синус гострого кута прямокутного трикутника – це відношення катета, який протіволежіт цього кутку, до гіпотенузи. (У випадку з косинусом це було відношення прилеглого катета до гіпотенузи.) Синус позначається словом sin. У загальному випадку говорять про синусі кута альфа, або просто синусе альфа; позначається […]...
- Властивості рівнобедреного трикутника Трикутник має ряд властивостей, які відрізняють його від довільної фігури. Саме ці властивості багато в чому допомагають вирішенню завдань, пов’язаних з рівнобедреним трикутником. У цій статті ми детально розберемо кожен з ознак, наведемо докази і поговоримо про зворотні теореми. Теорема 1 У трикутник кути при основі рівні. Це властивість кутів рівнобедреного трикутника можна легко і […]...
- Перетин бісектрис трикутника Існує теорема про те, що бісектриси трикутника перетинаються в одній точці. Даний факт, як і всяка теорема, потребує доведення, оскільки, наприклад, можна припустити, що бісектриси трикутника іноді можуть не перетинатися в одній точці. На малюнку нижче зліва три бісектриси, які трикутника перетинаються в одній точці. Праворуч зображена гіпотетична ситуація, коли кожна бісектриса перетинається з двома […]...
- Властивості квадрата Квадрат – це прямокутник, у якого всі сторони рівні. Всі квадрати володіють наступними властивостями Всі кути квадрата рівні 90°. Всі сторони квадрата рівні. Діагоналі квадрата рівні і точкою перетину діляться навпіл. Діагоналі квадрата перетинаються під кутом 90°. У будь-квадрат можна вписати окружність і навколо будь-якого квадрата можна описати окружність. Радіус вписаного в квадрат кола дорівнює […]...
- Як знайти площу трикутника? Трикутник відноситься до плоских геометричних фігур. Він утворюється за рахунок попарного перетину трьох відрізків, званих ребрами або сторонами. Місця їх з’єднання один з одним іменуються вершинами, які входять до складу кутів. Залежно від того, які з цих параметрів відомі, існують різні варіанти, як знайти площу трикутника. Довільний трикутник Розглянемо основні способи розрахунку площі трикутника, позначивши […]...
- Чим відрізняється ромб від квадрата Дорослій людині таке питання може здатися наївним, а от школярі і маленькі діти часто ставлять його. І часом однією лише демонстрації геометричних фігур може виявитися мало. Тому кілька простих закономірностей допоможуть розібратися і зрозуміти відмінності між зазначеними категоріями. Що таке ромб і квадрат Ромб – це чотирикутна геометрична фігура, всі сторони якої рівні. Протилежні сторони […]...
- Чому дорівнює кут між дотичною і хордою? Якщо в окружності провести хорду і до кола провести дотичну так, щоб вона стосувалася її в точці одного з кінців хорди, то можна говорити про кути між дотичною і хордою. Кута виходить два, і вони суміжні. Існує теорема про те, що кути між дотичною і хордою дорівнює половині дуг окружності, укладених усередині відповідних кутів. Порівняння […]...
- Рівні трикутники Вивчаючи тему трикутників, варто звернути увагу на ознаки рівності двох фігур. Їх можна використовувати під час рішень різних завдань. Про те, як визначити ознаки і властивості рівності – поговоримо у цій статті. Визначення поняття Трикутники ABC і A1B1C1 вважаються рівними в тому випадку, якщо їх можна поєднати накладенням. При цьому всі сторони і вершини фігур […]...