Вписаний правильний багатокутник

Правильні багатокутники – це опуклі багатокутники, у яких всі сторони рівні, а також рівні всі його кути. Кількість сторін і відповідно кількість кутів може бути будь-яким (але більше двох). Так рівносторонній трикутник і квадрат є правильними багатокутниками. Далі йдуть п’ятикутник, шестикутник і т. Д.

Правильні багатокутники
Існує теорема про те, що будь правильний багатокутник можна вписати в коло, причому тільки в одну.

Вписані правильні багатокутники
Довести цю теорему можна таким чином. Нехай дано правильний шестикутник ABCDEF. Проведемо спочатку бісектриси кутів A і B. бісектриси перетнуться в деякій точці O.

Доказ теореми про вписанном правильному багатокутнику
Розглянемо трикутник ABO. Так як AO і BO – бісектриси, а кути A і B рівні за умовою (в правильних багатокутниках кути рівні), то кут ABO становить половину кута B, кут BAO дорівнює ½ кута A, і ці кути рівні між собою: ∠ABO = ∠ BAO = ½∠B = ½∠A.

Виходить, що в трикутнику ABO кути при боці AB рівні, значить, цей трикутник рівнобедрений, а AB – його основу. Тоді сторони AO і BO – бічні сторони рівнобедреного трикутника, а значить, рівні між собою: AO = BO.

З’єднаємо вершину C шестикутника з точкою O. Стверджувати, що пряма CO є бісектрисою кута C, ми не можемо. Однак розглянемо трикутники ABO і BCO. У них сторона BO загальна, сторони AB і BC рівні між собою за умовою (як сторони правильного багатокутника), кути ABO і CBO також рівні, т. К. BO бісектриса кута B. Отже, дані трикутники рівні за двома сторонами і кутом між ними.

З рівності трикутників ABO і BCO випливає, що сторона AO = CO. Але вона дорівнює ж і BO. Виходить, що AO = BO = CO. Крім того, CO – бісектриса.
Аналогічно доводиться, що DO, EO, FO рівні AO та іншим відрізкам від вершин багатокутника до точки O.

Виходить, що всі вершини даного шестикутника знаходяться на одному і тому ж відстані від точки O. Якщо взяти цю точку за центр кола, а радіус кола встановити рівним довжині відрізка AO, то така окружність пройде по всіх вершин шестикутника.

Якщо доводити цю теорему не так на шестикутнику, а на будь-якому правильному багатокутнику A1A2A3 … An, то вийде те ж саме. Таким чином, будь правильний багатокутник можна вписати в коло.

Відомо, що близько будь-якого трикутника можна описати коло і притому тільки одну. Якщо розглянути трикутник ABC в даному шестикутнику, то виявиться, що він вписаний в коло O. Отже, якщо немає інших описаних кіл для нього, то їх немає і для шестикутника. Таким чином, факт того, що близько правильного багатокутника можна описати тільки одну окружність теж вважається доведеним.


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (2 votes, average: 2.50 out of 5)

Вписаний правильний багатокутник