Площа прямокутника
Найдавнішими поняттями в розвитку світової геометрії є поняття площ багатьох прямолінійних фігур, у тому числі: прямокутника, паралелограма, трикутника, і трапеції. Ще в 7 столітті до нашої ери площа прямокутника вміли обчислювати єгиптяни. Вони множили довжину на ширину.
Вавилонська арифметика і алгебра теж були досить розвинені, про це свідчать знайдені при розкопках клинописні таблички. Вавилонська геометрія мала уявлення про пропорційність відрізків, які перетиналися паралельними прямими, а також про теорему Піфагора і навіть обчисленні обсягів і площ деяких фігур. При цьому вавилоняни під просторовими фігурами брали конкретні предмети з побуту. Наприклад, при будівництві круглих будівель, вони довжину кола приблизно вираховували за її трьом діаметрам. Площа прямокутника вони вираховували кількістю пройдених кроків. Мабуть для того часу такі визначення значень були цілком прийнятними. Така прикладна геометрія була характерна для багатьох народів світу і широко використовувалася у вирішенні різних спірних побутових питань.
Видатний вчений свого часу Архімед, доводячи теореми про площі фігур, використовував метод вичерпання. Насправді, це не що інше, як непрямий доказ, яке починають від протилежного. Основна ідея методу Архімеда полягає в тому, що всередину фігури, площа якої шукають, потрібно вписати правильні фігури. Використовуючи варіанти методу вичерпання, видатний вчений зміг довести багато теореми.
Теорема: площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін.
S = ab
Отже, ми маємо прямокутник, у якого дві сторони – a і b. Площа прямокутника – S. Доведемо, що S = ab.
Перетворимо наш прямокутник в квадрат. Для цього збільшимо його бік b до довжини сторони a
У результаті у нас вийшло чотири квадрати. Ми знаємо, що площа квадрата дорівнює (a + b) 2. У той же час ці квадрати складені з двох прямокутників: одного прямокутника з площею S і такого ж прямокутника з такою ж площею, а також двох квадратів, у яких площі a2 і b2. Виходячи з того, що наш чотирикутник складається не з одного чотирикутника, а з декількох, то його площа буде дорівнює сумі всіх площ даних чотирикутників. Це виходить з властивості площ:
(A + b) 2 = S + S + a2 + b2, або a2 + 2ab + b2 = 2S + a2 + b2.
А це означає, що S = ab. Значіт, наша теорема доведена.
Related posts:
- Площа прямокутника – опис і формули Починаючи з 5 класу учні починають знайомитися більш глибше з поняттям площ різних фігур. Особлива роль відводиться площі прямокутника, так як формули даної фігури є основою для вивчення формул прямокутного трикутника. Поняття площі Певні фігури мають свою площу, а обчислення площі відштовхуються від одиничного квадрата, тобто від квадрата з довгої сторони в 1 мм, або […]...
- Властивості прямокутника Прямокутником називається чотирикутник, у якого всі кути прямі. Всі прямокутники володіють наступними властивостями Протилежні сторони прямокутника рівні і паралельні. Сума кутів прямокутника дорівнює 360 градусів. Діагоналі прямокутника мають однакову довжину. Сторони прямокутника є його висотами. Квадрат діагоналі прямокутника дорівнює сумі квадратів суміжних сторін прямокутника. Кожна діагональ прямокутника ділить прямокутник на два однакових прямокутних трикутника. Діагоналі […]...
- Діагональ прямокутника У шкільному курсі математики однієї з перших у вивченні фігур є прямокутник. Діагональ прямокутника бере участь у вирішенні багатьох завдань. Тому має сенс докладніше розглянути цей елемент фігури. Визначення Прямокутник є чотирикутником з рівними кутами і попарно рівними і паралельними протилежними сторонами. Тому діагональ буде ділити цю геометричну фігуру на два прямокутних трикутника. Виходить, що […]...
- Довести чому дорівнює площа паралелограма Площа паралелограма дорівнює добутку його одного боку на висоту, проведену до цієї сторони. Сторону, до якої проведена висота, прийнято називати підставою. Тому теорему формулюють так: площа паралелограма дорівнює добутку його основи на висоту. Якщо позначити підставу паралелограма буквою a, висоту – буквою h, то площа виражається такою формулою: S = ah Відзначимо, що ця формула […]...
- Чим відрізняється квадрат від прямокутника Чотирикутником називають багатокутник, у якого чотири вершини і чотири сторони. Інакше можна сказати, що чотирикутником є геометрична фігура у вигляді багатокутника, який має тільки чотири кута. Будь-який предмет або пристрій, що має таку форму також можна назвати чотирикутником. Дві сторони чотирикутника, які по відношенню один до одного є несуміжними, називаються протилежними. Два кута і дві […]...
- Об’єм прямокутника У цій статті ми поговоримо про різниці визначень об’єму і площі, а так само про прямокутник і паралелепіпед. Розділимо всі поняття, обговоримо, як знайти площу і як визначити об’єм. Визначення Часто в житті люди роблять математичні помилки. Причому найчастіше не в силу якогось грубого незнання, а просто через громіздкість назв. Це не зовсім вірно, оскільки […]...
- Довести чому дорівнює площа трикутника Площа трикутника дорівнює половині від твору його боку на висоту, проведену до цієї сторони. Сторону, до якої проведена висота, прийнято в такому випадку називати підставою. Таким чином, можна сказати, що площа трикутника дорівнює половині добутку його основи на висоту. Якщо позначити довжину сторони-основи трикутника як a, висоту – як h, то вийде формула площі трикутника: […]...
- Ознаки прямокутника У цій статті ми поговоримо про ознаки прямокутника. Виділимо основні і розглянемо кожен окремо. Визначення Основна частина доказів грунтується на тому, що в чотирикутнику сума кутів дорівнює 360 градусам. Всього налічується 7 ознак прямокутника. Для того, щоб їх застосовувати потрібно, перш за все, згадати визначення: Прямокутник це паралелограм, у якого всі кути прямі. Паралелограм це […]...
- Площа поверхні прямокутного паралелепіпеда У 5 класі з математики вивчається тема прямокутного паралелепіпеда. У статті розкривається вищезазначена тема, наводяться формули для знаходження площі прямокутного паралелепіпеда бічній поверхні і площі повної поверхні. Визначення понять Паралелепіпед – це фігура, що складається з шести чотирикутників. Якщо в підставі цієї фігури знаходиться прямокутник, то багатокутник називається прямокутним паралелепіпедом. Вся поверхня складається з шести […]...
- Довести чому дорівнює площа трапеції Площа трапеції дорівнює ½ від твору суми її підстав на висоту. Так, якщо позначити підстави трапеції буквами a і b, висоту – буквою h, то площа трапеції можна виразити формулою: S = ½ (a + b) h Нагадаємо, що підстави трапеції паралельні. Тому висоту можна проводити з будь-якої точки одного підстави до прямої, на якій […]...
- Площа поперечного перерізу При вирішенні завдань опору матеріалів у розрахункові формули вводять величини, які визначають формулу і розміри поперечних перерізів. Вони називаються геометричними характеристиками плоских перетинів. Першою такою величиною варто вважати площу перетину. Розрахувати площу поперечного перерізу можна навіть стовбура дерева, адже вона за формою схожа на еліпс або коло. Відповідно до формули, площу поперечного перерізу кола, можливо, […]...
- Прямокутник – це паралелограм з рівними діагоналями Однією з ознак прямокутника є рівність його діагоналей. Тобто, якщо у паралелограма діагоналі рівні, то він є прямокутником. Щоб довести даний ознака прямокутника, розглянемо паралелограм ABCD, у якого діагоналі AC і BD рівні. Потрібно довести, що в такому випадку ABCD – це прямокутник. Щоб це довести, досить довести, що один з кутів паралелограма прямий, т. […]...
- Види багатокутників Види багатокутників: Чотирикутники Чотирикутники, відповідно, складаються з 4-х сторін і кутів. Сторони і кути, розташовані навпроти один одного, називаються протилежними. Діагоналі ділять опуклі чотирикутники на трикутники (див. на малюнку). Сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360 ° (по формулі: (4-2) * 180 °). Паралелограми Паралелограм – це опуклий чотирикутник з протилежними паралельними сторонами (на рис. Під […]...
- Червона площа Невід’ємною частиною ансамблю Московського Кремля на всіх етапах його існування була площа, що називалася спочатку Порожнистим місцем, або Пожежею. В XVII столітті площа отримала назву Червоної від російського слова, яким позначалося все красиве. Червона площа примикає зі сходу до Кремля. Вона обмежена на заході Кремлівської стіною, на півночі – Історичним музеєм, на сході – аркадним […]...
- Чим відрізняється площу від периметра Площа і периметр – дві чисельні характеристики, часто використовувані в геометрії. Для їх обчислення застосовують одні й ті ж параметри, але зміст кінцевих величин має принципові відмінності. На упаковці багатьох товарів зазначається площа або розміри сторін у вигляді A х B (якщо мова йде про товар, одна зі сторін якого має форму прямокутника). Що таке […]...
- Пьяцетта і площа Святого Марка Площа св. Марка – головна площа Венеції. Вона умовно ділиться на власне площа св. Марка і Пьяцетту – невелику площу між площею св. Марка і каналом. Площа св. Марка обрамляють довгі арочні будівлі Старих Прокураций і Нові Прокурациі. Прокуратори регламентували все суспільне життя міста, тому їх кількість їх року в рік зростала і було потрібно […]...
- Ринкова площа Ринкова площа розташована в самому центрі Жешува, це улюблене місце городян. На площі розташовані магазини, кафе і ресторани, проходять численні культурні заходи та міські фестивалі. В 14 столітті Жешув розташовувався на шляху декількох торгових маршрутів. Для посилення економічного зростання міста, Жешув отримав право на оптове зберігання різних товарів. В 17 столітті місто добилося пільг на […]...
- Переміщення тіла при прямолінійному рівноприскореному русі Виведемо формулу, за допомогою якої можна розрахувати проекцію вектора переміщення тіла, що рухається прямолінійно і равноускоренно, за будь-який проміжок часу. Для цього звернемося до малюнка 14. Як на малюнку 14, а, так і на малюнку 14, б відрізок АС являє собою графік проекції вектора швидкості тіла, що рухається з постійним прискоренням а (при початковій швидкості […]...
- Якщо один кут прямий, то це прямокутник Однією з ознак прямокутника є наявність одного прямого кута параллелограмма. При цьому виявляється, що всі інші кути паралелограма також прямі. Тому такий паралелограм – прямокутник. Можна сформулювати дана ознака прямокутника у вигляді теореми: Якщо один з кутів паралелограма прямий, то такий паралелограм є прямокутником. Довести це можна наступним чином: Нехай дано паралелограм ABCD, у якого […]...
- Патріарша площа У самому центрі столиці республіки Марій Ел, на березі річки Малої Какшагі в 2010 році з’явилася нова площа, названа Патріаршої. Влітку того ж року на новій набережній було встановлено перший в Росії пам’ятник засновнику Марійській і Йошкар-олинское єпархії, Святішому Патріарху Московському і всієї Русі – Алексію II. Після чого адміністрація міста, за пропозицією президента Марійського […]...
- Як знайти площу трикутника? Трикутник відноситься до плоских геометричних фігур. Він утворюється за рахунок попарного перетину трьох відрізків, званих ребрами або сторонами. Місця їх з’єднання один з одним іменуються вершинами, які входять до складу кутів. Залежно від того, які з цих параметрів відомі, існують різні варіанти, як знайти площу трикутника. Довільний трикутник Розглянемо основні способи розрахунку площі трикутника, позначивши […]...
- Рішення нерівностей другого степеня з однією змінною Розглянемо невелику задачу. Є деякий прямокутник. Його сторони рівні 2см і 3 см. Кожну сторону прямокутника збільшили на однакову кількість сантиметрів. Після цього площа прямокутника стала більше на 12 см2. Як змінилася кожна зі сторін? Рішення. Бо сторони збільшили на одне і теж число, позначимо це число за х. Тепер можемо записати формули сторін нового […]...
- Чим відрізняється ромб від квадрата Дорослій людині таке питання може здатися наївним, а от школярі і маленькі діти часто ставлять його. І часом однією лише демонстрації геометричних фігур може виявитися мало. Тому кілька простих закономірностей допоможуть розібратися і зрозуміти відмінності між зазначеними категоріями. Що таке ромб і квадрат Ромб – це чотирикутна геометрична фігура, всі сторони якої рівні. Протилежні сторони […]...
- Властивості квадрата Квадрат – це прямокутник, у якого всі сторони рівні. Всі квадрати володіють наступними властивостями Всі кути квадрата рівні 90°. Всі сторони квадрата рівні. Діагоналі квадрата рівні і точкою перетину діляться навпіл. Діагоналі квадрата перетинаються під кутом 90°. У будь-квадрат можна вписати окружність і навколо будь-якого квадрата можна описати окружність. Радіус вписаного в квадрат кола дорівнює […]...
- Географічне положення, площа, кордони Іспанії Держава на південному заході Європи. Іспанія займає приблизно 85% території Піренейського (Іберійського) півострова. Іспанії належать Балеарські острови в Середземному морі, Канарські острови в Атлантичному океані, а також північно-африканські ексклавів Сеута і Мелілья з прилеглими до них островами і мисами Велес де ла Гомера, Алусемас і Чафаранас. Загальна площа території Іспанії – 505 тисяч 990 км². […]...
- Сторони трикутника В математиці при розгляді трикутника обов’язково приділяють багато уваги його сторонам. Оскільки дані елементи формують цю геометричну фігуру. Сторони трикутника використовуються для вирішення багатьох завдань з геометрії. Визначення поняття Відрізки, що з’єднують три точки, що не лежать на одній прямій, називаються сторонами трикутника. Розглянуті елементи обмежують частину площині, що називають начинкою даної геометричної фігури. Математики […]...
- Рівні трикутники Вивчаючи тему трикутників, варто звернути увагу на ознаки рівності двох фігур. Їх можна використовувати під час рішень різних завдань. Про те, як визначити ознаки і властивості рівності – поговоримо у цій статті. Визначення поняття Трикутники ABC і A1B1C1 вважаються рівними в тому випадку, якщо їх можна поєднати накладенням. При цьому всі сторони і вершини фігур […]...
- Тупокутний трикутник Тупокутні трикутники мало чим відрізняються від звичайних довільних гострокутих трикутників, але тупий кут робить трикутник незвичним для сприйняття. Це часто призводить до здивування, тому варто розглянути різні варіанти вирішення завдань на знаходження параметрів тупокутного трикутника. Визначення Тупокутним трикутником буде називатися будь-трикутник, що містить тупий кут. Тупокутний трикутник може бути рівнобедреним, але при цьому не може […]...
- Одиниці виміру площі У вивчення математики 5 класу входить тема: “Одиниці виміру площі”. Вона є базою темою для школярів, знання якої необхідно використовувати протягом подальшого вивчення точних наук. Правила вимірювання площі Перш ніж ознайомиться з одиницями вимірювання площі, необхідно звернути увагу, як відняти площу фігури, наприклад квадрата. Квадрат зі стороною в 1 см, називається одиничним квадратом. Для того […]...
- Різниця між кубом і квадратом Куб і квадрат в чомусь схожі. Але кожен з цих геометричних об’єктів має і власні ознаки. Визначення Куб – тіло з кількома гранями, тривимірний геометричний об’єкт. Квадрат – плоска фігура, утворена рівними між собою сторонами і має прямі кути. Порівняння Уже з першого погляду можна зрозуміти, що відмінність куба від квадрата полягає в їх складності. […]...
- Порівняння геометричних фігур Порівняння геометричних фігур застосовується з метою визначення, яка з них більше або менше іншого, або ж не рівні вони один одному. Зрозуміло, що при цьому мається на увазі, що швидше за все порівнюються фігури відносяться до одного виду геометричних фігур. Наприклад, доречно порівняти два відрізки між собою, або два трикутники, або два кути. Але складно […]...
- Елементи трикутника З найпоширенішою фігурою математики школярі стикаються ще в молодших класах. Однак з часом відбувається знайомство з більш серйозним обчисленням елементів трикутника. Визначення поняття Трикутником називають багатокутник з трьома сторонами і трьома кутами. Основними елементами цієї геометричної фігури є відрізки, вершини і кути. Але для вирішення деяких завдань іноді потрібні додаткові побудови. Розглядається поняття часто узагальнюють […]...
- Вимірювання площі. Одиниці площі Уявімо собі, що в гуртку авіамоделювання при створенні моделі літака потрібні три пластинки певної площі (рис. 56), вирізані з листа алюмінію. Щоб вибрати для цього лист алюмінію, треба знати площі пластинок. Як визначити площі цих платівок? Поступимо так само, як і при визначенні довжини. Виберемо зручну для вимірювання одиницю площі. Підрахуємо, скільки разів ця одиниця […]...
- Океани світу: назви, опис, площа, рослини і тварини Океан – це найбільший об’єкт гідросфери. Океан є частиною Світового океану, який покриває близько 71% поверхні нашої планети. Океани омивають берега материків, мають систему циркуляції та інші специфічні особливості. Океани світу знаходяться в постійній взаємодії з усіма оболонками Землі. У деяких джерелах зазначено, що Світовий океан поділяється на 4 океани, проте у 2000 році Міжнародною […]...
- Кількісні характеристики тіла Основні поняття фізики – суть усіх понять, які прямо або побічно описують природу явищ. З кількісних характеристик тіла можна відзначити його обсяг і масу. Наведемо визначення. Обсяг є показник того, скільки місце займає тіло в просторі. Уточнимо, що, якщо, наприклад, порожниста сфера і куля однакового радіуса знаходяться в просторі, то це не означає, що обидві […]...
- Симетричні фігури Фігури можуть мати симетрію відносно точки і відносно прямої. Фігура симетрична щодо точки тоді, коли в ній є якась точка (центр симетрії), щодо якої у кожної іншої точки фігури є симетрична точка цієї ж фігури. Наприклад, якщо відрізок розділити навпіл, то центральна його точка буде центром симетрії, а кінці відрізків симетричними відносно його. Тобто симетричні […]...
- Переміщення при прямолінійному рівноприскореному русі Спробуємо вивести формулу для знаходження проекції вектора переміщення тіла, яке рухається прямолінійно і рівноприскорено, за будь-який проміжок часу. Для цього звернемося до графіку залежності проекції швидкості прямолінійного рівноприскореного руху від часу. Графік залежності проекції швидкості прямолінійного рівноприскореного руху від часу Нижче на малюнку представлений графік, для проекції швидкості деякого тіла, яке рухається з початковою швидкість […]...
- Як знайти периметр трикутника якщо відомі не всі сторони Периметр – це величина, що має на увазі довжину всіх сторін плоскою (двовимірної) геометричної фігури. Для різних геометричних фігур існують різні способи знаходження периметра. У даній статті ви дізнаєтеся як знаходити периметр фігури різними способами, в залежності від відомих його граней. Периметр – це величина, що має на увазі довжину всіх сторін плоскою (двовимірної) геометричної […]...
- Діаметр Діаметр – це хорда (лінія, яка з’єднує дві точки) в колі, яка проходить крізь її центр. А спочатку діаметр показував відстань між точками кола, яке проходить через центр даної окружності, а також показує його довжину. Також діаметром називають довжину цього відрізка. За величиною діаметр дорівнює двом радіусам. Діаметром кривої лінії другого порядку є довільна хорда, […]...
- Точки паралельної прямої рівновіддалені Всі точки кожної з двох паралельних прямих рівновіддалені від іншої прямої. Це означає, що з якої б точки однієї з паралельних прямих не вимірюються відстань до іншої прямої, воно завжди буде однаковим. Як відомо, відстань між точкою і прямою – це відрізок перпендикуляра, проведеного з даної точки до даної прямої; кінцями відрізка є дана точка […]...