Інтеграли
Історія виникнення інтеграла говорить про двох причинах його появи: необхідність знаходити первісну функцію по її похідної і необхідність обчислювати обсяги та площі складних фігур.
Всім відомий символ інтеграла введемо відомим математиком Лейбніцем, і являє собою деформовану латинську букву S. S – перша буква слова сума. А термін “інтеграл” належить Бернуллі.
Невизначений інтеграл та первісна функції
Що таке первісна функція? Припустимо, що у нас є довільна функція f (x). Тоді її первісної буде вважатися така функція F (x), похідна якої дорівнюватиме даної початкової функції.
F ‘(x) = f (x).
Або ж це можна позначити таким чином
У цій формулі F ‘(x) = f (x). Функція f (x) називається підінтегральної, а f (x) dx – є подинтегрального виразом.
У невизначеного інтеграла є чотири основних властивості, які необхідно засвоїти для зручної роботи з ними.
Властивості невизначеного інтеграла
1) Якщо від невизначеного інтеграла взяти похідну, відповідь буде дорівнює первісної підінтегральної функції; диференціал ж його буде дорівнювати подинтегрального висловом.
2) Інтеграл від диференціала функції дорівнює сумі цієї функції і довільної сталої.
3) При вирішенні інтеграла модно виносити постійний множник з під його знака, якщо тільки дотримується умова k = const не дорівнює 0
4). Інтеграл від суми двох функцій дорівнює сумі інтегралів від цих функцій.
Безпосереднє інтегрування – це обчислення інтегралів, при якому використовуються лише таблиця основних інтегралів та властивості інтегралів.
Однак, коли потрібно взяти інтеграл від більш складної функції, стає необхідним використання додаткових методів вирішення. До таких методів належать:
1. Інтегрування підведенням під знак диференціала.
2. Інтегрування по частинах
3. Метод підстановки
Related posts:
- Рішення диференціальних рівнянь Рішення диференціальних рівнянь. Коли похідні від елементарних функцій виражаються через елементарні функції, то виражати інтеграл через елементарні функції не завжди виходить. В результаті рішення диференціальних рівнянь можна отримати: Очевидну залежність функції від змінної. Рішення диференціального рівняння – це така функція y(x), яка визначена і деяку кількість разів диференціюється в деякій області, при підстановці цієї функції […]...
- Застосування інтеграла Поняття інтеграла широко застосовується в житті. Інтеграли застосовуються в різних галузях науки і техніки. Основними завданнями, обчислюваними за допомогою інтегралів є задачі на: Знаходження об’єму тіла; Знаходження центру мас тіла. Розглянемо кожну з них більш докладно. Тут і далі, для позначення певного інтеграла від деякої функції f (x),з межами інтегрування від a до b, будемо […]...
- Інтеграл – що це таке? Інтеграл це результат безперервного підсумовування нескінченно великого числа нескінченно малих доданків. При інтегруванні функції беруться нескінченно малі збільшення її аргументів і обчислюється нескінченний сума збільшень функції на цих ділянках. У геометричному сенсі зручно думати про інтеграл двомірної функції на певній ділянці як про площі фігури, замкнутої між графіком цієї функції, віссю X і перпендикулярними їй […]...
- Формула Ньютона – Лейбніца Формула Ньютона – Лейбніца (основна теорема аналізу) дає зв’язок між 2-ма операціями: взяттям інтеграла Рімана і визначенням первісної. Формула Ньютона-Лейбніца – найважливіша формула інтегрального числення. Нехай f неперервна на відрізку [a, b] і Φ, її всяка первісна на цьому відрізку, тоді має місце рівність: Ця формула вірна для всіх функцій f(x), неперервної на відрізку [а, […]...
- Функція y=k/x і її графік Розглянемо функцію y=k/y. Графіком цієї функції є лінія, звана в математиці гіперболою. Загальний вигляд гіперболи, представлений на малюнку нижче. (На графіку представлена функція y одно k розділити на x, у якої k дорівнює одиниці. ) Видно, що графік складається з двох частин. Ці частини називають гілками гіперболи. Варто відзначити також, що кожна гілка гіперболи підходить […]...
- Поняття про обернену функцію Ми вже стикалися з завданням, коли за заданою функції f і заданому значенню її аргументу необхідно було обчислити значення функції в цій точці. Але іноді доводиться стикатися із зворотного завданням: знайти за відомою функції f і її деякому значенню y значення аргументу, в якому функція приймає дане значення y. Функція, яка, приймає кожне своє значення […]...
- Логарифмічна функція Функцію виду y=loga (x),де a будь-яке позитивне число не рівне одиниці, називають логарифмічною функцією з основою а. Тут і далі для позначення логарифма ми будемо використовувати наступну нотацію: loga (b)-даний запис буде позначати логарифм b по підставі а. Основні властивості логарифмічної функції: 1.Областю визначення логарифмічної функції буде все безліч позитивних дійсних чисел. Для стислості його […]...
- Властивості синуса, косинуса, тангенса і котангенс Властивості синуса Область визначення: вся числова вісь; Область значень: [-1; 1]; Непарна функція; Найменший позитивний період: 2*pi; Координати точок перетину графіка функції з віссю Ох: (pi*n; 0); Координати точок перетину графіка функції з віссю Оу: (0, 0); Проміжки, на яких функція позитивна: (2*pi*n; pi +2*pi*n); Проміжки, на яких функція негативна: (-pi + 2*pi*n; 2*pi*n); Проміжки […]...
- Похідна та показова функція Графік показовою функції являє собою криву плавну лінію без зламів, до якої в кожній точці, через яку вона проходить, можна провести дотичну. Логічно припустити, що якщо можна провести дотичну, значить функція буде диференційована в кожній точці своєї області визначення. Відобразимо в одних координатних осях кілька графіків функції y=xa, Для а=2; a=2,3; a=3; a=3,4. У точці […]...
- Логарифми та їх властивості Розглянемо рівняння ax=b, при a > 0 і a не дорівнює одиниці. Це рівняння не має рішень при b меншому або рівним нулю. І має єдине рішення при b > 0.Дане рішення називають логарифмом b по підставі ab і позначають таким чином: Loga (b) Логарифмом числа b по підставі f називається показник ступеня, в яку […]...
- Зрушення графіків функцій Нам відомі такі функції та їх графіки як Y = kx (пряма), y = kx2 (парабола), y = k√x (“половинка” параболи), y = k / x (гіпербола). Зміна значення k впливає на вигляд графіка (ступінь крутизни у разі параболи), розташування гілок в координатних чвертях і ін. Проте точкою, через яку можна провести вісь симетрії графіків, […]...
- Модуль числа Абсолютна величина або модуль числа a – позитивне число, яке залежить від виду числа a. Позначають як: |a|. Модуль додатного дійсного числа a – це саме це число. Число модулі: |а| = а Модуль негативного дійсного числа а – це протилежне йому число: |а| = – а У загальному випадку запис модуля числа виглядає так: […]...
- Лінійні графіки функцій Будь-які функції можна намалювати на графіку. Наприклад, у нас є функція y = 2x – 4 Знайдемо для цієї функції пару точок і запишемо їх в таблиці: Перевіримо, при x = 4 Y = 2 * 4 – 4 = 4 (значить, y = 4) І при x = 2 Y = 2 * 2 […]...
- Способи задання функцій Функція є заданою, інакше кажучи, відомою, якщо для кожного значення можливого числа аргументів можна дізнатися відповідне значення функції. Найбільш поширені три способи завдання функції: табличний, графічний, аналітичний, існують ще словесний і рекурсивний способи. 1. Табличний спосіб найбільш широко поширений (таблиці логарифмів, квадратних коренів), основна його перевага – можливість отримання числового значення функції, недоліки полягають у […]...
- Похідні елементарні функції Зростання і спадання функцій (достатній ознака). Якщо похідна даної функції існує і позитивна (негативна) для всіх значень x в інтервалі (a, b), то функція в цьому інтервалі зростає (відповідно, убуває). Максимуми і мінімуми функції. Точка x = x0 називається точкою (відносного) максимуму функції f (x), якщо існує така околиця точки x0, що для всіх значень […]...
- Знайти точку перетину графіків лінійних функцій Якщо дано дві лінійні функції виду y = kx + m, то їх графіки (прямі) можуть взагалі не перетинатися, якщо паралельні один одному. У всіх інших випадках вони будуть перетинатися в одній точці. Графіки двох лінійних функцій паралельні один одному, якщо мають однаковий кутовий коефіцієнт (k) і різне значення m (якщо і m буде одне […]...
- Показникова функція Показовою називається функція у = ах, в якій а – це постійне позитивне число. Число а необхідно брати позитивним тому, що при а < 0 величини не були б дійсними. Аргумент х може мати будь-які дійсні значення, а значення функції у = ах необхідно задавати тільки позитивні. Наприклад: Для функції у = 16х при х […]...
- Степенева функція Функції у = ах, у = ax2, у = а/х – є приватними видами степеневої функції при n = 1, n = 2, n = -1. Так як нульова ступінь всякого числа, не рівного нулю, дорівнює одиниці, то при n = 0 степенева функція стає постійною величиною, тобто у = а. Пояснимо докладніше: вираз нуль […]...
- Логарифмічні нерівності При розв’язуванні логарифмічних нерівностей за основу беремо властивості логарифмічних функцій. А саме те, що функція у=logAX при а > 1 буде монотонно зростаючою, а при 0 < а< 1 – монотонно спадною. Проаналізуємо перетворення необхідні для вирішення нерівності Log1/5(x – l) > – 2. Спочатку потрібно зрівняти основи логарифмів, у зазначеному випадку показати праву частину […]...
- Якщо навхрест лежачі кути при січній рівні, то прямі паралельні Нехай дано дві прямі a і b, що перетинаються прямий c. Тобто пряма c є січною для прямих a і b. При цьому утворюються дві пари навхрест лежачих кутів. Якщо в будь-який з цих пар кути рівні, то прямі a і b паралельні. На кресленні позначена одна пара рівних між собою навхрест лежачих кутів. Навхрест […]...
- Функція гіперболи (алгебра) Функція записується в загальному вигляді, як y = або f (x) = Y і x – це обернено пропорційні величини, тобто коли одна зростає, інша зменшується (перевірте, підставивши числа в функцію) На відміну від попередньої функції, в якій x2 завжди створює позитивні значення, тут ми не можемо сказати, що – = , оскільки це будуть […]...
- Властивості дій над числами Додавання A, b-числа, над якими виконується складання, с-результат складання. Додавання багатозначних чисел проводиться порозрядно. Приклад: 9067542 + 34981=9102523 Закони додавання. 1) переместітельний: a + b=b + a; Приклад. 310 + 1454=1454 + 310. Яким би ми способом не складали результат буде дорівнює 1764. 2) сполучний: (a + b) + c=a + (b + c); Приклад: […]...
- Готфрід Лейбніц Філософ, фізик-винахідник, математик, юрист, історик і мовознавець. Цій людині до всього було діло. Готфрід Вільгельм фон Лейбніц (Leibniz) народився 1 липня 1646. У Лейпцігському і Йенском університетах вивчав юриспруденцію і філософію. Протягом 40 років стояв на службі у ганноверських герцогів як історіографа і таємного радника юстиції. У 1700 став першим президентом Берлінського наукового товариства. Тричі […]...
- Василь Симоненко – ЛЮБОВ Дзвенять німою тугою ліси, Коли їх ніч тремтлива обнімає І від очей у ревності ховає Принади їх первісної краси. Бринять живою радістю ліси, Як ранок спалахне на небокраї, Як сонце огняне завісу піднімає Із їх первісної і чистої краси. Мені здається, – може, я не знаю, – Було і буде так у всі часи: Любов, […]...
- Функція: область визначення і область значень функцій Функція-це модель. Визначимо X, як безліч значень незалежної змінної незалежна-значить будь-яка. Функція це правило, за допомогою якого по кожному значенню незалежної змінної з безлічі X можна знайти єдине значення залежної змінної. / / Тобто для кожного х є один у. З визначення випливає, що існує два поняття-незалежна змінна (яку позначаємо х і вона може приймати […]...
- Властивості параболи Графіком функції y = x2 і ряду інших є парабола. Чому графік функції y = x2 має такий вигляд? Так як аргумент функції зводиться в квадрат, то значенням функції не може бути негативне число. Іншими словами x може бути негативним, а y – ні. Коли x, наприклад, дорівнює 2 і -2, то y в обох […]...
- Функції права Функції права являють собою основні напрямки юридичного впливу на суспільні відносини, обумовлені сутністю і соціальним призначенням права. Виділяють загальносоціальні та власне юридичні функції права. До загальносоціальних функцій права за напрямами діяльності відносяться політична (регулювання політичних відносин), економічна (регулювання економічних відносин), соціальна (забезпечення соціального захисту населення), культурно-виховна (формування у населення правової культури) та інші. До власне […]...
- Складання коливань Досвід показує, що хвилі складаються один з одним в наступному сенсі. Принцип суперпозиції. Якщо дві хвилі накладаються один на одного в певній області простору, то вони породжують новий хвильовий процес. При цьому значення коливається величини в будь-якій точці даній області дорівнює сумі відповідних коливних величин в кожній з хвиль окремо. Наприклад, при накладенні двох механічних […]...
- Теорема Вієта – коротко Теорема Вієта. Сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює коефіцієнту при першого ступеня невідомого, взятому з протилежним знаком: xt + x2 = – p, а добуток дорівнює вільному члену: x * x2 = q. Два вирази (числові або літерні), з’єднані одним із знаків: “більше” (>), “менше” (<), “більше або дорівнює” (>), “менше або дорівнює” (<) утворюють […]...
- Область визначення функції Область визначення – це твір допустимих значень аргументу функцій. Для функцій, які задаються формулами, область визначення знаходять, виходячи з таких принципів: При функції-многочлене вона існує під час будь-яких значень аргументу, тобто її область визначення – всі натуральні числа. При функції, яка задана формулою містить аргумент в знаменнику дробу, в область визначення функції входять всі натуральні […]...
- Макрофактура Макрофактура – відносно складне фактурне ціле, в якості конструктивних одиниць якій по вертикалі і горизонталі виступають більш прості фактури; те ж, що Поліфактурная організація та Панфактура. Матеріал гармонійної структури – звуки і звукові групи; те ж, Матеріальні компоненти гармонійної структури.. Матеріальне спорідненість – спорідненість конструктивних елементів музичної тканини по їх матеріалу (у тому числі: звуковому, […]...
- Визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс Для початку розглянемо коло з радіусом 1 і з центром в (0, 0). Для будь-якого? ЄR можна провести радіус 0A так, що Радіанна міра кута між 0A і віссю 0x дорівнює?. Напрямок проти годинникової стрілки вважається позитивним. Нехай кінець радіуса А має координати (a, b). Визначення синуса Визначення: Число b, рівне ординате одиничного радіуса, побудованого […]...
- Поняття похідної Розглянемо таку задачу: нехай деяка точка рухається по прямій безперервно і плавно. У деякий момент часу t координата точки х дорівнює х (t). Для визначеності можемо вважати, що мова йде про рух автомобіля за прямолінійним ділянці дороги. Завдання полягає в наступному: по відомій залежності x (t) знайти швидкість, з якою автомобіль рухається в конкретний момент […]...
- Довести чому дорівнює площа трикутника Площа трикутника дорівнює половині від твору його боку на висоту, проведену до цієї сторони. Сторону, до якої проведена висота, прийнято в такому випадку називати підставою. Таким чином, можна сказати, що площа трикутника дорівнює половині добутку його основи на висоту. Якщо позначити довжину сторони-основи трикутника як a, висоту – як h, то вийде формула площі трикутника: […]...
- Властивості прямокутника Прямокутником називається чотирикутник, у якого всі кути прямі. Всі прямокутники володіють наступними властивостями Протилежні сторони прямокутника рівні і паралельні. Сума кутів прямокутника дорівнює 360 градусів. Діагоналі прямокутника мають однакову довжину. Сторони прямокутника є його висотами. Квадрат діагоналі прямокутника дорівнює сумі квадратів суміжних сторін прямокутника. Кожна діагональ прямокутника ділить прямокутник на два однакових прямокутних трикутника. Діагоналі […]...
- Віднімання натуральних чисел. Властивості різниці Віднімання (зменшення) – одна з 4-х арифметичних операцій (множення, ділення, додавання, віднімання), обернена додаванню. Позначають за допомогою знака ” мінус “−”. Це дія, за допомогою якого за сумою й одним з доданків можна знайти другий доданок. Число, з якого віднімають, називають уменьшаемое, а число, яке віднімаємо, – від’ємник. Підсумок дій віднімання називається різниця. Нехай нам […]...
- Ознаки прямокутника У цій статті ми поговоримо про ознаки прямокутника. Виділимо основні і розглянемо кожен окремо. Визначення Основна частина доказів грунтується на тому, що в чотирикутнику сума кутів дорівнює 360 градусам. Всього налічується 7 ознак прямокутника. Для того, щоб їх застосовувати потрібно, перш за все, згадати визначення: Прямокутник це паралелограм, у якого всі кути прямі. Паралелограм це […]...
- Тригонометричні формули Тригонометричні формули – елементарні функції, які висловлюють залежність всіх сторін прямокутного трикутника від гострих кутів при гіпотенузі (або залежність хорд і висот від його центрального кута в колі). Тригонометрія – наука, яка вивчає властивості тригонометричних формул (trigwnon – трикутник, а metrew – вимірюю). До прямих функцій тригонометрії відносять: sin x (синус), cos x (косинус). До […]...
- Послідовності – коротко Наприклад, є функція: d (n) = 2n. N – будь-яке натуральне число. Підставляємо у функцію числа: d (1) = 2; d (2) = 4; d (3) = 6; … Значить, d (1) – 1-е число в послідовності, d (2) – друге і т. д. Або їх можна позначити так: D1, d2, d3, … Це спрощує […]...
- Плоска система довільно розташованих сил Теорема Пуансо про паралельне перенесення сил Силу можна перенести паралельно лінії її дії, при цьому потрібно додати пару сил з моментом, рівним добутку модуля сили на відстань, на яку перенесена сила. Приведення до точки плоскої системи довільно розташованих сил. Всі сили системи переносять в одну довільно обрану точку, звану точкою приведення. При цьому застосовують теорему […]...