Виділення квадрата двочлена у вирішенні квадратних рівнянь
Квадратним рівнянням називають рівняння виду a*x ^ 2 + b*x + c=0, де a, b, c-деякі довільні речові (дійсні) числа, а x-змінна. Причому число а не дорівнює 0. Числа a, b, c називаються коефіцієнтами. Число а-називається старшим коефіцієнтом, число b коефіцієнтом при х, а число з називають вільним членом.
Рішення квадратних рівнянь виділенням квадрата двочлена
Розглянемо спосіб розв’язання квадратних рівнянь виділенням квадрата двочлена (у деяких джерелах, даний метод називається метод виділення повного квадрата. ) Але для початку розберемося в термінах. Вирішити квадратне рівняння-це означає знайти всі його корені або ж встановити той факт, що квадратне рівняння коренів не має.
Коренем квадратного рівняння a*x ^ 2 + b*x + c=0 називають будь-яке значення змінної х, таке, що квадратний тричлен a*x ^ 2 + b*x + c звертається в нуль. Іноді такого значення х називають коренем квадратного тричлена.
Інакше кажучи корінь квадратного рівняння a*x ^ 2 + b*x + c=0-це значення х, підстановка якого в рівняння, звертає його в правильне рівність 0=0. У загальному випадку, квадратне рівняння a*x ^ 2 + b*x + c=0 може мати два кореня. Але можливо і таке, що квадратне рівняння має один корінь або не має взагалі дійсних коренів.
Алгоритм рішення
Тепер переходимо безпосередньо до розгляду способу розв’язання квадратних рівнянь виділенням квадрата двочлена. У цьому способі ми будемо активно використовувати такі формули скороченого множення:
(A + b) ^ 2=a ^ 2 +2*a*b + b ^ 2;
(A-b) ^ 2=a ^ 2-2*a*b + b ^ 2;
Будемо розглядати цей спосіб на наведених квадратних рівняннях:
Вирішити рівняння x ^ 2 +10*x +25=0.
Бачимо, що в лівій частині многочлен можна представити в наступному вигляді
X ^ 2 +10*x +25=x ^ 2 +2*5*x +5 ^ 2;
Зауважимо, що це отриманий вираз, скориставшись формулами скороченого множення, можна представити як квадрат суми двох виразів.
X ^ 2 +2*5*x +5 ^ 2=(x +5) ^ 2;
Тоді вихідне вираз перетвориться до наступного вигляду:
(X +5) ^ 2=0;
Вирішити таке рівняння не складає труднощів.
(X +5)=0
Х=-5;
Відповідь: х=-5;
Вирішимо наступне рівняння: x ^ 2 +2*x-3=0;
Перетворимо це рівняння:
X ^ 2 +2*x=3;
У лівій частині рівняння варто многочлен x ^ 2 +2*x, для того щоб представити його у вигляді квадрата суми нам необхідно щоб там був ще один коеффіцент рівний 1. Додамо і віднімемо з цього виразу 1, отримаємо:
(X ^ 2 +2*x +1)-1=3
Те, що в дужках можна представити у вигляді квадрата двочлена
(X +1) ^ 2-1=3;
(X +1) ^ 2=4;
Дане рівняння розпадається на два випадки або x +1=2, або х +1=-2.
У першому випадку отримуємо відповідь х=1, а в другому, х=-3.
Відповідь: х=1, х=-3.
У результаті перетворень нам необхідно отримати в лівій частині квадрат двочлена, а в правій частині деяке число. У правій частині не повинна міститися змінна.
(1 votes, average: 5.00 out of 5)