Метод підстановки при вирішенні системи лінійних рівнянь
При вирішенні системи лінійних рівнянь з двома змінними можна використовувати графічний метод. Однак алгебраїчний є більш надійним. Одним з алгебраїчних методів є метод підстановки.
Суть методу підстановки полягає в наступному. В одному рівнянні (не важливо якому) системи одна змінна виражається через іншу. Після цього в друге рівняння системи замість відповідної змінної підставляється вираз, якому дорівнює ця змінна, отримане раніше. Наведемо приклад; припустимо, дана система рівнянь:
| 10x + 10y + 10 = 0
| -2x – 4y – 8 = 0
Висловимо в другому рівнянні y через x:
-4y = 2x + 8
y = (2x + 8) / -4
y = -0.5x – 2
Тепер підставимо в перше рівняння замість y вираз -0.5x – 2. Це допустимо, тому що y дорівнює цьому висловом, тобто y і цей вираз еквівалентні. Отримаємо:
10x + 10 (-0.5x – 2) + 10 = 0
Тепер вирішимо отримане рівняння з однією змінною, тобто знайдемо значення x.
10x – 5x – 20 + 10 = 0
5x – 10 = 0
5x = 10
x = 2
Для того, щоб знайти y треба підставити значення x в будь лінійне рівняння з системи, але простіше в той, де y вже виражений через x:
y = -0.5x – 2 = y = -0.5 * 2 – 2 = -1 – 2 = -3
Таким чином рішенням заданої системи рівнянь є значення x = 2, y = -3.
Перевіримо це, підставивши відповідні значення в одне або обидва лінійних рівняння системи:
10x + 10y + 10 = 10 * 2 + 10 * (-3) + 10 = 20 – 30 + 10 = 0 – правильне рівність
-2x – 4y – 8 = -2 * 2 – 4 * (-3) – 8 = -4 + 12 – 8 = 0 – правильне рівність
При використанні методу підстановки не важно висловлювати Чи x через y або як у наведеному прикладі y через x. При виборі виходити треба з зручності: що простіше з чого висловити. Наприклад, в рівнянні 4.35x + y – 1.5 простіше висловити y через x: y = 1.5 – 4.35x. А ось в рівнянні 2x – 4y = 0 краще виразити x через y: x = 2y.
Як зазначалося вище рівняння, яке піддається перетворенню, також можна вибрати довільно, виходячи з принципу зручності.
Related posts:
- Рішення системи лінійних рівнянь з двома змінними Ми вже знайомі з поняттям лінійне рівняння з двома невідомими. Рівняння можуть в одній задачі присутнім як поодинці, так і по кілька рівнянь відразу. У таки випадках рівняння об’єднують в систему рівнянь. Що таке система лінійних рівнянь Система рівнянь-це два або кілька рівнянь, для яких необхідно знайти всі їх спільні рішення. Зазвичай для запису системи […]...
- Виділення квадрата двочлена у вирішенні квадратних рівнянь Квадратним рівнянням називають рівняння виду a*x ^ 2 + b*x + c=0, де a, b, c-деякі довільні речові (дійсні) числа, а x-змінна. Причому число а не дорівнює 0. Числа a, b, c називаються коефіцієнтами. Число а-називається старшим коефіцієнтом, число b коефіцієнтом при х, а число з називають вільним членом. Рішення квадратних рівнянь виділенням квадрата двочлена […]...
- Системи рівнянь Можна вирішувати навіть цілі системи рівнянь (з двох і більше рівнянь, пов’язаних один з одним). Такі рівняння завжди укладені у велику фігурну дужку: Для вирішення такого рівняння ми спочатку висловимо “x” через “y”. X = -3y + 14 І тепер підставимо цей “x” в друге рівняння, отримаємо: -2 * (-3y + 14) + 5y = […]...
- Система двох рівнянь з двома невідомими Системою двох рівнянь з двома невідомими називають два спільно розглянутих рівняння, з одними і тими ж невідомими. Рішенням системи рівнянь з двома невідомими буде пара чисел, при підстановці яких в кожне з рівнянь системи вони перетворюються в справжні рівності. A1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Наприклад, рішенням наступної системи рівнянь будуть […]...
- Перетворення рівнянь Перетворення рівнянь ми проводимо при вирішенні рівнянь, коли послідовно замінюємо компоненти рівняння, поки не отримано найбільш просте х = а або сукупність рівнянь такого виду. При цьому можуть застосовуватися такі методики: приведення подібних, додати (відняти) від обох частин рівняння алгебраїчний вираз або окреме число помножити (поділити) обидві частини рівняння, піднесення до степеня обох частин рівняння […]...
- Спосіб вирішення ірраціональних рівнянь Спосіб вирішення ірраціональних рівнянь полягає у звільненні від радикалів вихідних рівнянь і зведення їх до відомих типів алгебраїчних рівнянь. Виконують це почленным зведенням ірраціонального рівняння в потрібну ступінь. Наприклад: X = √3 – x. Безліч допустимих значень шуканої величини х визначається нерівністю х ≤ 3. Для того щоб знайти серед безлічі значень корені рівняння, необхідно […]...
- Основні способи розв’язання логарифмічних рівнянь Логарифмічними рівнянням називають рівняння, в якому представлені невідомі величини під знаком логарифма. Рівняння типу log2X=5 або log3(x-1)=0 – логарифмічні. Логарифмічні рівняння, так само як і показові, відносяться до трансцендентним. Найпростішим логарифмічним рівнянням представлено рівняння наступне безпосередньо з формулювання логарифма: Logаx=b, Де а і b – задані числа, Х – невідома змінна. Якщо а – не […]...
- Рішення задач за допомогою раціональних рівнянь Раціональні рівняння-це рівняння, у яких ліва і праві частини є раціональними виразами. Якщо в раціональному рівнянні ліва або права частини будуть дробовими виразами, то таке раціональне рівняння називається дробовим. Рішення дробового раціонального рівняння Для початку ознайомимося з дробовими раціональними рівняннями. Загальна схема рішення дробового раціонального рівняння. 1. Знайти спільний знаменник всіх дробів, які входять в […]...
- Рішення диференціальних рівнянь Рішення диференціальних рівнянь. Коли похідні від елементарних функцій виражаються через елементарні функції, то виражати інтеграл через елементарні функції не завжди виходить. В результаті рішення диференціальних рівнянь можна отримати: Очевидну залежність функції від змінної. Рішення диференціального рівняння – це така функція y(x), яка визначена і деяку кількість разів диференціюється в деякій області, при підстановці цієї функції […]...
- Рішення рівнянь із змінною в знаменнику Існують декілька шляхів (способів) рішення рівнянь зі змінною в знаменнику дробу. Один із способів полягає в тому, що в ліву частину переносяться всі члени рівняння, з правого залишається 0. Далі всі члени рівняння приводяться до спільного знаменника. Дріб може дорівнювати нулю, якщо її чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю. Значить, треба вирішити рівняння, […]...
- Знайти точку перетину графіків лінійних функцій Якщо дано дві лінійні функції виду y = kx + m, то їх графіки (прямі) можуть взагалі не перетинатися, якщо паралельні один одному. У всіх інших випадках вони будуть перетинатися в одній точці. Графіки двох лінійних функцій паралельні один одному, якщо мають однаковий кутовий коефіцієнт (k) і різне значення m (якщо і m буде одне […]...
- Лінійне рівняння з двома змінними Лінійне рівняння з двома змінними-будь-яке рівняння, яке має наступний вигляд: a*x + b*y=с. Тут x і y є дві змінні, a, b, c-деякі числа. Нижче представлені кілька прикладів лінійних рівнянь. 1. 10*x + 25*y=150; 2. x-y=5; 3. -7*X + y=5; Як і рівняння з одним невідомим, лінійне рівняння з двома змінними (невідомими) теж має рішення. […]...
- Графічний спосіб розв’язання рівнянь Одним із способів вирішення рівнянь є графічний спосіб. Він заснований на побудові графіків функції і визначення точок їх перетину. Розглянемо графічний спосіб вирішення квадратного рівняння a*x ^ 2 + b*x + c=0. Перший спосіб вирішення Перетворимо рівняння a*x ^ 2 + b*x + c=0 до вигляду a*x ^ 2=-b*xc. Будуємо графіки двох функцій y=a*x ^ […]...
- Рішення задач за допомогою систем рівнянь Вміти розв’язувати системи лінійних рівнянь це дуже добре, але саме по собі рішення систем рівняння-це лише метод для більш складних завдань. За допомогою систем рівнянь можна вирішувати різні завдання, які зустрічаються нам у житті. Алгебра-це наука про рішення рівнянь і систем рівнянь. Саме таким визначенням користувалися вчені до кінця 20 століття. Відомий вчений Рене Декарт […]...
- Тригонометричні рівняння Рішення тригонометричних рівнянь і систем тригонометричних рівнянь грунтується на рішенні найпростіших тригонометричних рівнянь. Нагадаємо основні формули для вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь. Рішення рівнянь виду sin (x)=a. При | a | <=1 x=(-1) ^ k*arcsin (a) + ?*k, де k належить Z. При | a | > 1 рішень не існує. Рішення рівнянь виду cos (x)=a. […]...
- Рівняння Завдання. На лівій чашці терезів лежать кавун і гиря в 2 кг, а на правій чашці – гиря в 5 кг. Ваги знаходяться в рівновазі. Чому дорівнює маса кавуна? Рішення. Позначимо невідому масу кавуна буквою х. Так як ваги знаходяться в рівновазі, повинно виконуватися рівність х + 2 = 5. Нам треба знайти таке значення […]...
- Чим система відрізняється від сукупності в математиці Вирішенню рівнянь, системи рівнянь або системи нерівностей, завжди приділялося багато уваги при вивченні математики, фізики у шкільній програмі. Метод вирішення системи рівнянь широко застосовується в науці, в статистиці, при вивченні фізичних проблем. Тому цікаво знати сутність понять системи і сукупності. Що таке система і сукупність Система – вибір результатів рішень, які підійдуть усім рівнянням системи. […]...
- Рівняння з одним невідомим Рівність, що містить одне невідоме число, позначене буквою, яке потрібно знайти, називається рівнянням з одним невідомим. 4 + А = 7 Вираз, розташоване зліва від знака рівності, називається лівою частиною рівняння (4 + А); Вираз, розташоване праворуч від знака рівності, називається правою частиною рівняння (7); Число, яке підставляється замість букви, і перетворює рівняння в правильну […]...
- Корні рівняння Для того, що зрозуміти змив вираження “корінь рівняння” потрібно спершу звернутися до самого поняття “рівняння”. Отже, тим хто хоч трохи знайомий з математикою нескладно сформулювати, що рівняння – це якесь рівність двох величин, яке містить невідоме, або ж, невідомі. При цьому, під коренем рівняння розуміється як раз те саме значення цього невідомого, яке і потрібно […]...
- Рішення раціональних нерівностей Вирішити раціональне нерівність, як і будь-яка інша, означає знайти всі його рішення. При їх вирішенні необхідно розуміти різницю між рішення рівнянь і нерівностей. Коли вирішують рівняння, то отримують одне, два, три – якусь кількість рішень. Кожен з коренів можна підставити і перевірити чи є він відповіддю чи ні. Отже, методом підстановки вийде перевірити рішення рівнянь. […]...
- Рівняння трьох моментів Статично невизначені балки часто називають нерозрізними балками. Розрахунок для них, як і інших статично невизначених систем, проводиться за допомогою методу сил: – Визначається ступінь статичної невизначеності системи методом підрахунку зайвих зв’язків; – Зайві зв’язку відкидаються і замінюються невідомими зусиллями (визначається основна система); – Складаються додаткові рівняння деформації, засновані на положенні, що переміщення в основній системі […]...
- Кубічні рівняння Кубічне рівняння – це алгебраїчне рівняння третього ступеня, типу: Ax3 + bx2 + cx + d = 0, Причому a не дорівнює 0. Число х буде коренем кубічного рівняння тоді, коли після його підстановки рівняння стає правильною рівністю. У кожного кубічного рівняння з дійсними коефіцієнтами буде принаймні один дійсний корінь, два інших або теж дійсні, […]...
- Як графічно вирішити рівняння? Іноді рівняння вирішують графічним способом. Для цього треба перетворити рівняння так (якщо воно вже не представлено в перетвореному вигляді), щоб ліворуч і праворуч від знака рівності стояли вирази, для яких легко можна намалювати графіки функцій. Наприклад, дано таке рівняння: x² – 2x – 1 = 0 Якщо ми ще не вивчали рішення квадратних рівнянь алгебраїчним […]...
- Метод електронного балансу окисно-відновних реакцій Рівняння більшості хімічних реакцій зрівнюються нескладним підбором стехиометрических коефіцієнтів. Однак при підборі коефіцієнтів для окисно-відновних реакцій можна зіткнутися з ситуацією, коли кількість атомів одних елементів не вдається зрівняти, не порушуючи при цьому рівність кількостей атомів інших. У рівняннях таких реакцій підбирають коефіцієнти методом складання електронного балансу. Грунтується метод на тому, що сума прийнятих окислювачем електронів […]...
- Однорідні тригонометричні рівняння відносно sin та cos Рівняння вважаються однорідним відносно sin і cos, коли всі його члени однаковою мірою відносно sin і cos однакового кута. Розглянемо кілька прикладів однорідних тригонометричних рівнянь: Sin х – cos х = 0, Sin2 х – 5 sin х cos х + 6 cos2 х = 0, Cos2 х – sin х cos х = 0. […]...
- Довільний рух твердого тіла і системи тіл Розглянемо тепер рівняння другого закону Ньютона для довільної системи матеріальних точок та їх довільного руху. Виявляється, що в цьому випадку можна розглядати рух деякої геометричної точки, для якої рівняння руху повністю визначається тільки зовнішніми силами. В якості такої точки слід взяти центр мас системи. У знаменниках цих формул варто сумарна маса всієї системи m1 + […]...
- Напруга при вільних коливаннях системи Розглянемо тіло, наприклад, горизонтально розташовану балку, що знаходиться в стані статичної рівноваги. Якщо накласти на цю балку навантаження, а потім відразу ж прибрати її, то балка прогнеться до якогось свого крайнього положення, а потім під дією сил пружності прийме своє протилежне крайнє положення, ці коливання будуть тривати протягом якогось часу. Такий вид коливального руху при […]...
- Довести, що немає раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2 Доказ ведуть від протилежного. Припустимо, що існує якесь дробове число, при зведенні якого в квадрат можна отримати два: (p / q) 2 = 2. При цьому ця дріб нескоротного (т. Е. Все скорочення вже виконані). Запишемо рівняння так: p2 / q2 = 2. Помножимо обидві частини рівнянь на q2, отримаємо: p2 = 2q2. Вираз 2q2 […]...
- Теорема Вієта Для початку сформулюємо саму теорему: Нехай у нас є наведене квадратне рівняння виду x ^ 2 + b*x + c=0. Припустимо, це рівняння містить коріння x1 і x2. Тоді по теоремі наступні твердження припустимі: 1) Сума коренів x1 і x2 буде дорівнювати від’ємному значенню коефіцієнта b. X1 + X2=-b; 2) Твір цих самих коренів буде […]...
- Раціональні рівняння Раціональні рівняння – це рівняння, в яких обидві складові сторони представляють собою раціональні вирази виду: s(x) = 0, або більш широко: s(x) = b(x), де s(x), b(x) – раціональні вирази. Раціональні рівняння – це рівняння, в яких обидві складові сторони представляють собою раціональні вирази виду: S(x) = 0, Або більш широко: S(x) = b(x), Де […]...
- Знаходження невідомих за допомогою тотожності Тотожності дуже зручні, щоб знаходити відповіді в рівняннях (вираження, де дві частини зрівняні між собою – тотожні), завданнях та інших життєвих питаннях. Наприклад, у нас є рівняння з одним невідомим, тобто в вираженні частина цифр замінена однією буквою, в даному випадку x (читається, звичайно, ікс, а не х): 3x + 5 = 1 – x […]...
- Поняття і закони, що використовуються при вирішенні завдань Для вирішення розрахункових завдань необхідне знання основних фізичних характеристик речовин (маса, об’єм, щільність) і параметрів стану реагує системи (температура, тиск, концентрація речовин), а також одиниць виміру цих величин. Виконання розрахунків грунтується на розумінні та вмінні використовувати взаємозв’язки між фізичними характеристиками і параметрами стану, які відображені в основних законах хімії: Закон сталості складу закон збереження маси […]...
- Квадратний корінь Квадратним коренем з числа a називають таке число, квадрат якого дорівнює a. Наприклад, числа-5 і 5 є квадратними коренями з числа 25. Тобто, корені рівняння x ^ 2=25, є квадратними коренями з числа 25. Поняття арифметичного квадратного кореня Існує так само поняття арифметичний квадратний корінь. Арифметичним квадратним коренем з числа a називається невід’ємне число, квадрат […]...
- Яке рівняння називають лінійним Рівняння виду ax = b називають лінійним, якщо a, b – задані числа; x – змінна. Приклади розв’язання лінійних рівнянь Вирішувати класичне лінійне рівняння дуже легко. Для цього слід застосувати властивість ділення – множення діленого і дільника на одне і те ж число, відмінне від нуля не змінює приватне: 5x = 10 (5x) – (1/5) […]...
- Імпульс тіла. Замкнуті системи Використовуючи закони Ньютона можна вирішити будь-які механічні завдання. Однак застосувати ці закони буває набагато легше, якщо ввести поняття імпульсу тіла, яким називають добуток маси тіла на його швидкість. Нехай сила F починає діяти на тіло m, що рухається зі швидкістю v1. За другим законом Ньютона тіло відразу почне рухатися з прискоренням a = F / […]...
- Неінерціальні системи відліку Системи відліку, в яких вільна матеріальна точка або вільне тіло не зберігають швидкість руху незмінною при компенсації зовнішніх впливів (неінерціальної рух), називаються неінерційній системами відліку (НСО). Неінерціальної є система відліку, що рухається з прискоренням відносно інерціальної системи відліку (ІСО). В елементарному курсі фізики розглядаються найпростіші неінерціальні системи відліку, що рухаються поступально з прискоренням. В неінерціальних […]...
- Як вирішувати лінійне рівняння з однією змінною? Лінійне рівняння з однією змінною має загальний вигляд ax + b = 0. Тут x – це змінна, a і b – коефіцієнти. По-іншому a називають “коефіцієнт при невідомої”, b – “вільний член”. Коефіцієнти це якісь числа, а вирішити рівняння – це значить знайти значення x, при якому вираз ax + b = 0 вірно. […]...
- Метод Жордана-Гаусса Метод Жордана-Гаусса – це метод вирішення лінійних рівнянь шляхом повного виключення невідомих. Даний метод є модифікацією методу Гаусса, тільки в разі методу Жордана-Гаусса елементарні перетворення проводяться далі. Історія виникнення методу Історично метод Гаусса виник досить давно. Рішення систем рівнянь подібним способом було викладено ще в стародавньому китайському математичному трактаті під назвою “Математика в дев’яти книгах”, […]...
- Рівняння – прості формули, математичні приклади Рівняння – це основа сучасних обчислень. Починаючись в підручнику 5 класу з математики, вони переслідують людину все життя, допомагаючи в розрахунках. Про простих рівняннях ми сьогодні і поговоримо. Визначення рівняння Що таке рівняння? Це таке собі тотожність, в одній з частин якого є не тільки чисельні, але і літерні значення. Тотожність – це два вираження, […]...
- Квадратний корінь з ступеня Квадратним коренем з числа a називають таке число, квадрат якого дорівнює a. Наприклад, числа-5 і 5 є квадратними коренями з числа 25. Тобто, корені рівняння x ^ 2=25, є квадратними коренями з числа 25. Тепер необхідно навчитися витягувати квадратний корінь з ступеня. Є два основних правила: Правило № 1 Якщо a>=0 і n-деяке натуральне число, […]...