Теорема Вієта
Для початку сформулюємо саму теорему: Нехай у нас є наведене квадратне рівняння виду x ^ 2 + b*x + c=0. Припустимо, це рівняння містить коріння x1 і x2. Тоді по теоремі наступні твердження припустимі:
1) Сума коренів x1 і x2 буде дорівнювати від’ємному значенню коефіцієнта b.
X1 + X2=-b;
2) Твір цих самих коренів буде давати нам коефіцієнт c.
X1*X2=c;
Але що ж таке наведене рівняння
Наведеним квадратним рівнянням називається квадратне рівняння, коефіцієнт старшого ступеня, якої дорівнює одиниці, тобто це рівняння виду x ^ 2 + b*x + c=0. (А рівняння a*x ^ 2 + b*x + c=0 неприведення). Іншими словами, щоб привести рівняння до наведеного увазі, ми повинні розділити це рівняння на коефіцієнт при старшій ступеня (a). Завдання привести дане рівняння до наведеного увазі:
3*x ^ 2 12*x + 18=0;
-4*X ^ 2 + 32*x + 16=0;
1, 5*x ^ 2 + 7, 5*x + 3=0; 2*x ^ 2 + 7*x-11=0.
Поділимо кожне рівняння на коефіцієнт старшого ступеня, отримаємо:
X ^ 2 4*x + 6=0; X ^ 2 8*x-4=0; X ^ 2 + 5*x + 2=0;
X ^ 2 + 3, 5*x-5, 5=0.
Як можна побачити з прикладів, навіть рівняння містять дробу, можна привести до наведеному виду.
Використання теореми Вієта
Далі ми повинні скористатися теоремою Вієта на практиці, для цього потрібно вирішити кілька квадратних рівнянь без застосування основної формули:
X ^ 2 5*x + 6=0 ? x1 + x2=-(-5)=5; x1*x2=6;
Отримуємо коріння: x1=2; x2=3;
X ^ 2 + 6*x + 8=0 ? x1 + x2=-6; x1*x2=8;
В результаті отримуємо коріння: x1=-2; x2=-4;
X ^ 2 + 5*x + 4=0 ? x1 + x2=-5; x1*x2=4;
Отримуємо коріння: x1=-1; x2=-4.
Значення теореми Вієта
Теорема Вієта дозволяє нам вирішити будь-яке квадратне наведене рівняння практично за секунди. На перший погляд це здається досить складним завданням, але після 10 травня рівнянь, можна навчитися бачити коріння відразу.
З наведених прикладів, і користуючись теоремою, видно як можна значно спростити рішення квадратних рівнянь, адже використовуючи цю теорему, можна вирішити квадратне рівняння практично без складних розрахунків і обчислення дискриминанта, а як відомо чим менше розрахунків, тим складніше допустити помилку, що важливо.
У всіх прикладах ми використовували це правило, спираючись на два важливих припущення:
-Приведене рівняння, тобто коефіцієнт при старшій ступеня дорівнює одиниці (це умова легко уникнути. Можна використовувати неприведення вид рівняння, тоді будуть припустимі наступні твердження x1 + x2=-b/a; x1*x2=c/a, але зазвичай складніше вирішувати:))
-Коли рівняння буде мати два різних кореня. Ми припускаємо що нерівність вірно і дискримінант суворо більше нуля.
Тому, ми можемо скласти загальний алгоритм рішення по теоремі Вієта.
Загальний алгоритм рішення по теоремі Вієта
-Наводимо квадратне рівняння до наведеного увазі, якщо рівняння дано нам у неприведення вигляді. Коли коефіцієнти в квадратному рівнянні, яке раніше ми представили як наведене, вийшли дробовими (Не десятковими), то в цьому випадку слід вирішувати наше рівняння через дискримінант.
Також бувають випадки коли повернення до початкового рівняння дозволяє нам працювати з “зручними” числами.
-У випадку коли коефіцієнти рівняння є цілими, слід вирішувати рівняння по теоремі Вієта.
Примітка: Якщо в перебігу декількох секунд, нам не вдається знайти коріння по теоремі Вієта, то слід вирішувати через дискримінант, це найчастіше буває швидше.
(2 votes, average: 4.50 out of 5)