Евклідова (елементарна) геометрія
Евклідова геометрія – це геометрична теорія, заснована на системі аксіом, яка була вперше викладена в третьому столітті до нашої ери великим давньогрецьким математиком Евклідом в грандіозному науковій праці “Начала”.
Система аксіом Евкліда базується на основних геометричні поняттях таких, як точка, пряма, площина, рух, а також на такі відносини: “точка лежить на прямій на площині”, “точка лежить між двома іншими”.
В “Засадах” Евкліда представив наступну аксіоматику:
- Від будь-якої точки до будь-якої точки можна провести пряму. Обмежену пряму можна безперервно продовжувати по прямій. З будь-якого центру всяким розчином може бути описаний коло. Всі прямі кути рівні між собою.
Якщо пряма, яка перетинає дві прямі, утворює внутрішні односторонні кути, менші двох прямих, то, продовжені необмежено, ці дві прямі зустрінуться з того боку, де кути менше двох прямих.
Ретельне вивчення аксіоматики Евкліда в другій половині XIX століття показало її неповноту. У 1899 році Д. Гілберт запропонував першу сувору аксіоматику геометрії Евкліда. Згодом ще не раз вчені робили спроби вдосконалити аксіоматику геометрії Евкліда. Крім аксіоматики Гілберта, відомими вважаються: аксіоматики Тарского і аксіоматики Біргофа, яка складається всього лише з 4 аксіом.
У сучасному трактуванні система аксіом Евкліда може бути розділена на п’ять груп:
- Ватиканський манускрипт, т.2, 207v – 208r. Euclid XI prop. 31, 32 і 33. Аксіоми поєднання. По-перше, через кожні дві точки можна провести пряму і до того ж тільки одну. По-друге, на кожній прямій лежать принаймні дві точки. При цьому існують хоча б три точки, що не лежать на одній прямій. По-третє, через кожні три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину і до того ж тільки одну. По-четверте, на кожній площині є принаймні три точки, а також існують хоча б чотири точки, що не лежать в одній площині. По-п’яте, якщо дві точки даної прямої лежать на даній площині, значить і сама пряма лежить на цій площині. По-шосте, якщо дві площини мають спільну точку, то, отже вони мають і спільну пряму. Аксіоми порядку. По-перше, якщо точка В лежить між А і С, то все три лежать на одній прямій. По-друге, для кожних точок А, В існує така точка С, що В лежить між А і С. По-третє, з трьох точок прямої тільки одна лежить між двома іншими. По-четверте, якщо пряма перетинає одну сторону трикутника, значить вона перетинає при цьому і іншу його сторону або проходить через вершину (відрізок AB визначається як безліч точок, що лежать між А і В; аналогічно визначаються сторони трикутника). Аксіоми руху. По-перше, рух ставить у відповідність точкам точки, прямим прямі, площинах площині, зберігаючи приналежність точок прямим і площинах. По-друге, два послідовних руху знову дають рух, і для будь-якого руху є зворотне. По-третє, якщо дано точки А, A ‘і півплощини A, A’, обмежені продовженими променями а, а ‘, які виходять з точок А, A’, то існує єдине рух, що переводить А, а, A в A ‘, a ‘, A’ (напівпряма і напівплощина легко визначаються на основі понять поєднання і порядку). Аксіоми безперервності. По-перше, як свідчить аксіома Архімеда, всякий відрізок можна перекрити будь-яким відрізком, відкладаючи на першому його достатню кількість разів (відкладання відрізка здійснюється рухом). По-друге, за аксіомою Кантора: якщо дана послідовність відрізків, вкладених один в іншій, то всі вони мають хоча б одну спільну точку. Аксіома паралельності Евкліда: через точку А поза прямою а в площині, що проходить через А і а, можна провести лише одну пряму, не що перетинає а.
Евклідова геометрія стала результатом систематизації і узагальнення наочних уявлень людини про навколишній світ. Поглиблене проникнення в суть геометрії привело до більш абстрактного розуміння науки. Пізніші досягнення і відкриття показали, що наші уявлення про простір є апріорними, тобто чисто умоглядні. Таким чином було поставлено під сумнів існування єдиної геометрії. бурхливий розвиток фізики і астрономії, довело, що евклідова геометрія описує структуру навколишнього простору, але зовсім не здатна описати властивості простору, пов’язані з переміщеннями тіл зі швидкостями, близькими до швидкості світла. Російський математик Н. І. Лобачевський розробив нову неевклідову геометрію, яка наблизилася до реального опису фізичного простору.
(2 votes, average: 2.50 out of 5)