Геометрія Лобачевського
П’ятою аксіомою Евкліда була аксіома про паралельні прямі, так званий постулат про паралельних лініях, який говорить: якщо дві прямі утворюють з третьої по одну її сторону внутрішні кути, сума яких менше розгорнутого кута, то такі прямі перетинаються при достатньому продовженні з одного боку. Тобто ця аксіома стверджує, що існує тільки одна пряма, що проходить через дану точку поза даною прямою і паралельною цієї даної прямої.
Складна формулювання п’ятого постулату Евкліда про паралельних лініях породила безліч гіпотез і припущень про можливу залежність його від інших постулатів. Були зроблені численні спроби вивести його з інших аксіом геометрії, але, на жаль, вони виявилися марними. Зусилля довести п’ятий постулат від протилежного також не увінчалися успіхом.
І все ж, на початку XX століття майже одночасно кілька видатних математиків того часу – Карл Гаусс з Німеччини, Я. Больяи з Угорщини і Микола Іванович Лобачевський з Росії прийшли до думки про існування іншої, неевклідової геометрії, в якій вірна аксіома: на площині через точку, що не лежить на даній прямій, проходять принаймні дві прямі, що не перетинають дану.
Через точку Р проходить нескінченно багато “прямих”, що не перетинають “прямої” а
Оскільки Н. І. Лобачевський першим висловив цю ідею в 1826 році, нова неевклидова геометрія була названа в його ім’ям.
Геометрія Лобачевського має лише одна відмінність від евклідової – аксіома паралельності замінюється на її заперечення – аксіому паралельності Лобачевського.
Аксіома паралельності Лобачевського виглядає наступним чином:
- Знайдуться така пряма a і така перестав що у ньому точка A, що через A проходять принаймні дві прямі, що не перетинають a. Несуперечливість аксіоми доводиться поданням моделі, в якій реалізуються дані аксіоми.
Основи аналітичної геометрії, закладені Лобачевским, практично намітили необхідну для доведення модель. Лобачевський зауважив, що орисфере в просторі изометрична евклідової площини. Повністю реалізувати модель змогли роботи Клейна, Пуанкаре та інших вчених.
Геометрія Лобачевського знайшла широке застосування в сучасній науці. Сам Микола Іванович Лобачевський використовував свою геометрію для обчислення визначених інтегралів.
У теорії функцій комплексного змінного геометрія Лобачевського сприяла успішному побудови теорії автоморфних функцій. У цій теорії зв’язок з геометрією Лобачевського була основою для досліджень Пуанкаре. За словами Анрі Пуанкаре, “неевклидова геометрія є ключ до вирішення всієї завдання”.
Крім того, геометрія Лобачевського стала використовуватися в теорії чисел, а саме, в її геометричних методах, так званої “геометрії чисел”.
Вчені також встановили тісний зв’язок геометрії Лобачевського з кінематикою – спеціальною теорією відносності. В основі цього зв’язку лежить рівність, що виражає закон поширення світла:
X2 + y2 + z2 = c2T2,
при розподілі на t2, тобто для швидкості світла, дає рівняння сфери в просторі з координатами vx, vy, vz, які є складовими швидкості світла по осях х, у, z.
Vx2 + vy2 + vz2 = c2.
Перетворення Лоренца зберігає цю сферу, а оскільки вони лінійні, переводять прямі простору швидкостей в прямі. З цього випливає, (відповідно до моделі Клейна) що в просторі швидкостей усередині сфери радіусу з, значить є для швидкостей, менших швидкості світла, має місце геометрія Лобачевського.
У загальній теорії відносності геометрія Лобачевського також знайшла своє місце. Допускаючи можливим той факт, що розподіл мас матерії у Всесвіті рівномірно (це наближення в космічних масштабах допустимо), то за певних умов простір має геометрію Лобачевського. Тим самим було доведено припущення Лобачевського про нову геометрії як можливої теорії простору.
(1 votes, average: 5.00 out of 5)