Дружні числа
Дружні числа?! Жарт дослідників? Що за дивна назва для математичного терміна? Насправді, ця назва дано не з проста.
Дружні числа – це два натуральних числа, для яких сума всіх дільників першого числа (крім нього самого) дорівнює другому числу і, в свою чергу, сума всіх дільників другого числа (крім нього самого) дорівнює першому числу. Завжди, коли говорять про дружні числах, то мають на увазі пари числі. Таким чином, ці числа пов’язані відносинами подібності і тому були названі дружніми.
Вперше дружні числа згадуються в роботах Піфагора, присвячених теорії чисел. Слід зазначити, що піфагорійцям була відома лише одна пара дружніх чисел 220 і 284. Довгий час ця пара чисел була єдиним представником класу дружніх чисел.
У вісімнадцятому столітті Леонардо Ейлер знайшов ще 65 пар дружніх чисел. Наприклад одна з них, 17296 і 18416.
Однак, до цього часу загальний спосіб знаходження пар дружніх чисел не був знайдений.
У 850 році нашої ери арабський астроном і математик Сабіт ібн Куррі запропонував формулу, за допомогою якої можна визначити 3 пари дружніх чисел. Формула Сабіт ібн Куррі виглядає наступним чином:
Якщо:
P = 3 × 2n-1 – 1,
q = 3 × 2n – 1,
r = 9 × 22n-1 – 1,
, Де n> 1 – натуральне число, а p, q, r – прості числа, то:
2npq і 2nr – пара дружніх чисел.
Завдяки цій формулі були знайдені пари дружніх чисел 220 і 284, 17296 і 18416 і 9363584 та 9437056 відповідно для n = 2,4,7. Але для n
До речі сказати, що багато дружніх числа, наприклад 6232 і 6368, не можуть бути отримані за цією формулою.
Згідно з офіційними даними, на листопад 2006 визначиться 11 446 960 пар дружніх чисел, які складаються з двох парних або двох непарних чисел. Про те чи існує парно-непарна пара дружніх чисел науці досі невідомо. Крім того, як і раніше нез’ясованим залишається припущення про існування взаємно простих дружніх числа. У тому випадку, якщо така пара дружніх чисел все ж існує, то їх твір має бути більше +1067.
Для наочності наведемо всі пари дружніх чисел, значення яких менше 100 000:
Пара 220 і 284 відкрита Піфагором, близько 500 до н. е.
Пара 1184 і 1210 відкрита Паганіні в 1860 році.
Пара 2620 і 2924 відкрита Ейлером в 1747 році.
Пара 5020 і 5564 (Ейлер, 1747г.)
Пара 6232 і 6368 (Ейлер 1750)
Пара 10744 і 10856 (Ейлер, 1747)
Пара 12285 і 14595 відкрита Брауном в 1939 році
Пара 17296 і 18416 відкрита Аль-банному, близько 1300, Фарісі, близько 1300 і П’єром Ферма в 1636.
Пара 63020 і 76084 (Ейлер, 1747)
Пара66928 і 66992 (Ейлер 1750)
Пара 67095 і 71145 (Ейлер, 1747)
Пара 69615 і 87633 (Ейлер, 1747)
Пара 79750 і 88730 відкрита Рольфом (Rolf) в 1964 році.
(1 votes, average: 5.00 out of 5)