Числа Фібоначі
У період пізнього Середньовіччя в італійському місті Піза жив один з великих математиків Європи того часу Леонардо Фібоначчі. Леонардо з Пізи народився в багатій купецькій сім’ї. В юності Леонардо разом з батьком дуже багато подорожував. Довгий час Фібоначчі жив у Візантії і на острові Сицилія, де він спілкувався з місцевими вченими і математиками.
Згодом математика стала для Леонардо Фібоначчі справою всього життя. Їм було написано багато наукових праць. Найбільш відомі з них, це “Книга абака”, написана в 1202 році, але дійшла до нас лише в другому виданні, яке відноситься до 1228 г; “Практики геометрії” 1220г.; “Kнига квадратів” (1225г.).
До речі сказати, що математика для Леонардо Фібоначчі на початку його кар’єри була лише корисним засобом для встановлення ділових контактів і отримання практичної вигоди.
Математичні твори Леонардо Фібоначчі за своїм рівнем значно перевершують праці арабських і інших європейських вчених. Книги Фібоначчі протягом довгого часу аж до сімнадцятого століття були кращими підручниками для математиків.
З перерахованих вище книг найбільший інтерес для нас представляє “Книга абака” ( “Liber abacci”,). Твір Фібоначчі є грандіозний працю, що включає в себе практично всі арифметичні і алглебраіческіе відомості того часу. “Книга абака” зіграла важливу роль в подальшому розвитку математичної науки в Західній Європі. Зокрема, саме книга Фібоначчі познайомила европецев з індуськими, або арабськими цифрами.
Весь представлений в книги матеріал пояснюється за допомогою рішення цікавих завдань. Одна з них особливо цікава:
Хтось помістив пару кроликів в якомусь місці, обгородженому з усіх боків стіною, щоб дізнатися, скільки пар кроликів народиться при цьому протягом року, якщо природа кроликів така, що через місяць пара кроликів справляє на світло іншу пару, а народжують кролики з другого місяця після свого народження.
З цього випливає, що якщо вважати першу пару кроликів новонародженими, то на другий місяць ми будемо як і раніше мати одну пару. На наступний 3-й місяць – 1 + 1 = 2; на 4-й – 2 + 1 = 3 пари, оскільки з двох наявних пар потомство дає лише одна пара; на 5-й місяць-3 + 2 = 5 пар (з них лише 2 народилися на 3-й місяць пари дадуть потомство на 5-й місяць); на 6-й місяць-5 + 3 = 8 пар (так як потомство дадуть тільки ті пари, які народилися на 4-му місяці) і т. д.
Таким чином, можна позначити число пар кроликів, наявних на n-му місяці через Fk, то F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, F6 = 8, F7 = 13, F8 = 21 і т. д., причому утворення цих чисел проходить за загальним закон:
Fn = Fn-1 + Fn-2,
При цьому n> 2, тому, що число пар кроликів на n-му місяці дорівнює числу Fn-1 пар кроликів на попередньому місяці плюс число знову народжених пар, яке збігається з числом Fn-2 пар кроликів, що народилися на (n-2) – ому місяці.
Отже, числа Fn, утворюють наступну послідовність 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … Згодом ці стали називатися “числами Фібоначчі”, а сама послідовність – послідовністю Фібоначчі.
Резюмує, можна сказати, що суть послідовності Фібоначчі полягає в тому, що починаючи з одиниці наступне число виходить складанням двох попередніх.
Виникає питання, чому ж так важлива послідовність Фібоначчі? Чи не обмежується чи сфера застосування чисел Фібоначчі тільки для підрахунку кроликів?
З того моменту, як Фібоначчі відкрив свою послідовність, було виявлено велику кількість явищ природи, в яких ця послідовність відігравала важливу роль. Наприклад, філлотаксису – це правило, за яким розташовуються листя на деревах або насіння в суцвітті.
Цікаво дізнатися, що в суцвітті соняшнику насіння розташовані в два ряди спіралей, один з яких спрямований за годинниковою стрілкою, інший – проти годинникової стрілки.
Важливо відзначити, що послідовність Фібоначчі поступово прагне до деякого постійного співвідношенню. Але, треба сказати, що це співвідношення незбагненно і ірраціонально. Таким чином, ідеальне співвідношення являє собою число з нескінченну послідовність десяткових цифр у дробовій частині, тобто його неможливо виразити точно.
Якщо один з членів послідовності Фібоначчі pазделить на пpедшествующей йому, наприклад, 55:34, 13: 8, 233: 144, то в результаті буде отримана величина, що коливається близько іppаціонального значення 1.61803398875 … Кожен раз це значення то кілька перевершує, то не досягає ідеального числа.
Інший відомий математик епохи Середньовіччя Лука Пачіолі назвав це співвідношення – божественною пропорцією. Пізніше його також стали назвати Золотое сечение. Йоганн Кеплер стверджував, що це співвідношення є одним з “скарбів геометрії”. В алгебрі загальноприйнятим значенням Золотого перетину є грецька буква “фе”: Ф. А для стислості значення божественної пропорції було округлено до 1.618.
(2 votes, average: 5.00 out of 5)