Большие числа
Большие числа – это часто встречающиеся в научных исследованиях и сложных практических операциях числа, в очень много раз превосходящие те, с которыми мы знакомы в нашей повседневной жизни. Основой всей математики является так называемый ряд чисел натуральных:
1, 2, … 4, 5, … n, n+1, n+2…
Продолжая этот ряд произвольно далеко, мы можем получать числа натуральные сколь угодно большие.
Десятичная (арабская) система счисления дает возможность писать очень большие натуральные числа при помощи относительно малого количества знаков. Например, 10 в степени “n” есть единица с “n” нулями. Деля единицу на произвольное натуральное число n, получим дробь 1/n, которая при возрастании знаменателя “n” делается все меньше. Возрастающее натуральное число “n” является примером бесконечно большой переменной величины, а убывающая в то же время дробь 1/n дает пример бесконечно малой величины.
Между тем, в практической жизни человек обычно имеет дело с числами сравнительно малыми. Даже в теории математики, при желании получить практически ценные результаты, приходится с этим считаться. В математике часто довольствуются заявлением, что найденное решение задачи требует только конечного числа действий. Если, однако, это, хотя и конечное ( а не бесконечно большое), число действий настолько велико, что, например, придется писать вычисления сто лет, то ясно, что при таких условиях решение задачи все равно невыполнимо.
И это – случай отнюдь не фиктивный. Как известно, еще Эратосфен установил правило, посредством которого всегда возможно конечным числом простых действий определить, представляет ли собою данное число простое или составное число (см. Эратосфеново решето). Однако, если применить это правило к числу, составляющему сотни миллионов, то понадобится много лет, чтобы этим путем определить, есть ли это простое число или нет. Метод Штурма дает всегда возможность конечным числом испытаний определить число корней заданного алгебраического уравнения, содержащихся в данных пределах. Однако, при сколько-нибудь значительных коэффициентах нужны очень сложные арифметические вычисления, чтобы процесс Штурма действительно выполнить.
Число действий, применяемых при решении задачи, должно быть не только конечным, но еще достаточно малым, чтобы оно было доступно для действительного выполнения. Следующий простой практический пример также очень характерен. Если бы мы пожелали произвести пересадку в различном порядке 12 учеников класса, причем на каждую пересадку дали бы одну минуту в течение 11 часов ежедневно, за праздник для простоты считали бы только 29 февраля високосного года, то, несмотря на такой интенсивный труд, пришлось бы начать пересадку до начала христианской эры, если бы мы пожелали ее окончить к нашему времени. Правильность такого утверждения исходит из того, что общее количество пересадок есть 479.001.600.
Итак, пересадка всеми способами 12 учеников есть операция практически невыполнимая, ибо она требует при сказанных условиях 1.988 лет и 140 дней.
(1 votes, average: 5.00 out of 5)