Які числа взаємно прості? Властивості взаємно простих чисел
Натуральні числа a і b називають взаємно простими, якщо їх найбільший спільний дільник дорівнює 1 (НСД (a; b) = 1). Іншими словами, якщо числа a і b не мають жодних спільних дільників, крім 1, то вони взаємно прості.
Приклади пар взаємно простих чисел: 2 і 5, 13 і 16, 35 і 88 і т. д. Можна вказати кілька взаємно простих чисел, наприклад, числа 7, 9, 16 – взаємно прості.
Часто взаємно прості числа позначають так: (a, b) = 1. Наприклад, (23, 30) = 1. Цей запис як би є скороченим записом позначення найбільшого загального дільника двох чисел (НОД (23, 30) = 1), і говорить про те, що їх найбільший спільний дільник дорівнює 1.
Два сусідніх натуральних числа завжди будуть взаємно прості. Наприклад, 15 і 16 – пара взаємно простих чисел, також як 16 і 17. Це легко зрозуміти, якщо взяти до уваги “правило” про те, що якщо два натуральних числа a і b діляться на одне і те ж натуральне число більше 1 ( n> 1), то і їх різниця також повинна ділиться на це число n (тут мається на увазі, що a, b і їх різниця діляться без остачі, тобто кратні числу n). Але якщо a і b два сусідніх числа (нехай a <b), то b – a = 1; але 1 ділиться тільки на 1 (з ряду натуральних чисел). Отже, a і b не мають інших спільних дільників, крім 1.
З визначення взаємно простих чисел і простих чисел також випливає, що різні прості числа завжди виявляються взаємно простими. Адже дільниками будь-якого простого числа є лише воно саме і 1.
Властивості взаємно простих чисел
- Найменше спільне кратне (НСК) пари взаємно простих чисел дорівнює їх добутку. Наприклад, (3, 8) = 1 (це означає взаємно прості), отже, їх НСК дорівнює 3 × 8 = 24 (НСК (3, 8) = 24). Дійсно, ви не знайдете менше число, ніж 24, яке було б кратно і 3 і 8. Якщо числа a і b взаємно прості і число c кратно як a, так і b, то це число буде кратно і добутку ab. Це можна записати так: якщо с ÷ a і c÷b, то c÷ab. Наприклад, (3, 10) = 1, число 60 кратно як 3, так і 10, а також кратно 30 (3 × 10). Якщо числа a і b взаємно прості і взято число c кратне b (c÷b), то добуток ac також буде також кратно b (ac÷b).
Наприклад, (2, 17) = 1, нехай c = 34. Число 34 кратно b = 17, тоді ac = 2 × 34 = 68. Перевіряємо: 68 ÷ 17 = 4, тобто ділиться без остачі, а значить 68 кратно 17.
Зазвичай виділяють більше властивостей, ніж наведено тут. Крім того, властивості взаємно простих чисел формулюються по різному. Також буває потрібно довести ці властивості (в даному випадку докази не наводяться).
(2 votes, average: 4.50 out of 5)