Застосування інтеграла
Поняття інтеграла широко застосовується в житті. Інтеграли застосовуються в різних галузях науки і техніки. Основними завданнями, обчислюваними за допомогою інтегралів є задачі на:
- Знаходження об’єму тіла; Знаходження центру мас тіла.
Розглянемо кожну з них більш докладно. Тут і далі, для позначення певного інтеграла від деякої функції f (x),з межами інтегрування від a до b, будемо використовувати наступний запис ∫AAbf (x).
Знаходження об’єму тіла
Розглянемо наступний малюнок. Припустимо, є деяке тіло, обсяг якого дорівнює V. Так само є пряма така, що якщо ми візьмемо деяку площину, перпендикулярну цієї прямої, то буде відома площа перетину S даного тіла цією площиною.
Кожна така площина буде перпендикуляра осі Ох, а отже буде перетинати її в деякій точці х. Тобто кожній точці х, з відрізка [ a ; b ] буде поставлено у відповідність число S (x) – площа перерізу тіла площину проходить через цю точку.
Виходить, на відрізку [a;b] буде задана деяка функція S (x). Якщо ця функція буде неперервна на цьому відрізку, то буде справедлива наступна формула:
V = ∫AAbS (x) dx.
Доказ цього твердження виходить за рамки програми шкільного курсу.
Обчислення центру мас тіла
Центр мас найчастіше використовується у фізиці. Наприклад, є деяке тіло яке рухається з якою-небудь швидкістю. Але велике тіло розглядати незручно, і тому у фізиці розглядається це тіло, як рух точки, в припущенні, що ця точка має таку ж масу, як і все тіло.
А завдання обчислення цетру мас тіла, є основною в цьому питанні. Тому як тіло-то велике, і яку саме точку треба взяти за центр мас? Може бути ту, яка знаходиться в середині тіла? Або може найближчу точку до переднього краю? Тут приходить на допомогу інтегрування.
Для знаходження центру мас використовується наступні два правила:
- Координата x’ центру мас деякої системи матеріальних точок A1, A2, A3,…An з масами m1, m2, m3,…mn відповідно розташованих на прямій в точках з координатами x1, x2, x3,…xn знаходиться подальшою формулою:
X ‘=(m1*x1 + ma*x2 +…+ mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +…+ mn)
- При обчисленні координати центру мас можна будь-яку частину розглянутої фігури замінити на матеріальну точку, при цьому помістивши її в центр мас цієї окремої частини фігури, а масу взяти рівну масі цієї частини фігури.
Наприклад, якщо вздовж стрижня-відрізка [a;b] осі Ох розподілена маса щільністю p (x), де p (x) є безперервна функція, то координата центру мас x’ дорівнюватиме :
(1 / M)*∫A abx*p (x) dx.
Related posts:
- Види рівноваги Для того щоб судити про поведінку тіла в реальних умовах, мало знати, що воно знаходиться в рівновазі. Треба ще оцінити цю рівновагу. Розрізняють стійке, нестійке і байдуже рівновагу. Рівновага тіла називають стійким, якщо при відхиленні від нього виникають сили, які повертають тіло в положення рівноваги (рис. 1 положення 2). В усталеному рівновазі центр ваги тіла […]...
- Механічна рівновага Розділ механіки, в якому вивчаються умови рівноваги тіл, називається статикою. З другого закону Ньютона випливає, що, якщо векторна сума всіх сил, прикладених до тіла, дорівнює нулю, то тіло зберігає свою швидкість незмінною. Зокрема, якщо початкова швидкість дорівнює нулю, тіло залишається в спокої. Очевидно, що тіло може спочивати тільки по відношенню до однієї певній системі координат. […]...
- Довільний рух твердого тіла і системи тіл Розглянемо тепер рівняння другого закону Ньютона для довільної системи матеріальних точок та їх довільного руху. Виявляється, що в цьому випадку можна розглядати рух деякої геометричної точки, для якої рівняння руху повністю визначається тільки зовнішніми силами. В якості такої точки слід взяти центр мас системи. У знаменниках цих формул варто сумарна маса всієї системи m1 + […]...
- Застосування електростатичних властивостей провідників Наведемо деякі приклади використання розглянутих властивостей поведінки провідників в електричному полі. Іноді виникає необхідність ізолювати деякі тіла, прилади від впливу зовнішніх електричних полів. Для такої ізоляції їх поміщають всередину металевого корпусу. Ми показали, що при приміщенні провідника в зовнішнє електричне поле, індуковані заряди виникають тільки на поверхні провідника, а поле усередині провідника виявляється рівним нулю. […]...
- Симетричні фігури Фігури можуть мати симетрію відносно точки і відносно прямої. Фігура симетрична щодо точки тоді, коли в ній є якась точка (центр симетрії), щодо якої у кожної іншої точки фігури є симетрична точка цієї ж фігури. Наприклад, якщо відрізок розділити навпіл, то центральна його точка буде центром симетрії, а кінці відрізків симетричними відносно його. Тобто симетричні […]...
- Механізм остигання поверхневих шарів планети Після того як сонячні частинки падають на планету і накопичуються на поверхні елементів у складі поверхневих шарів, відразу ж або через якийсь час вони почнуть свій шлях у напрямку центру планети. Так відбувається процес охолодження поверхні планети (атмосфери, гідросфери, кори). Частинки рухаються вниз вздовж лінії, що з’єднує приблизну точку падіння їх на планету і центр […]...
- Момент сили: правило і застосування Майже дві тисячі років проіснувало правило важеля, відкрите Архімедом ще в третьому столітті до нашої ери, поки в сімнадцятому столітті з легкої руки французького вченого Варіньона не отримало більш загальну форму. Правило моменту сил Було введено поняття моменту сил. Момент сили – це фізична величина, що дорівнює добутку сили на її плече: M = Fl, […]...
- Похідна та показова функція Графік показовою функції являє собою криву плавну лінію без зламів, до якої в кожній точці, через яку вона проходить, можна провести дотичну. Логічно припустити, що якщо можна провести дотичну, значить функція буде диференційована в кожній точці своєї області визначення. Відобразимо в одних координатних осях кілька графіків функції y=xa, Для а=2; a=2,3; a=3; a=3,4. У точці […]...
- Закон Паскаля: формула і застосування Якщо ми покладемо на стіл важку стопку книг, то ми збільшимо тиск не тільки на стіл, а й, відповідно, на підлогу під столом. Стіни, стеля, вікна та двері цього тиску на собі не відчують. Навіть якщо ми складемо на стіл весь одяг з шаф, їжу з холодильника, телевізор, гантелі і до того ж самі встанемо […]...
- Симетрія плоских фігур Дзеркально-осьова симетрія. Якщо плоска фігура симетрична відносно площини (що можливо, якщо тільки плоска фігура перпендикулярна цій площині), то пряма, по якій ці площини перетинаються, є віссю симетрії другого порядку даної фігури. У цьому випадку фігура називається дзеркально-симетричною. Центральна симетрія. Якщо плоска фігура має вісь симетрії другого порядку, перпендикулярну площині фігури, то точка, в якій перетинаються […]...
- Діагональ прямокутника У шкільному курсі математики однієї з перших у вивченні фігур є прямокутник. Діагональ прямокутника бере участь у вирішенні багатьох завдань. Тому має сенс докладніше розглянути цей елемент фігури. Визначення Прямокутник є чотирикутником з рівними кутами і попарно рівними і паралельними протилежними сторонами. Тому діагональ буде ділити цю геометричну фігуру на два прямокутних трикутника. Виходить, що […]...
- Переміщення при прямолінійному рівноприскореному русі Спробуємо вивести формулу для знаходження проекції вектора переміщення тіла, яке рухається прямолінійно і рівноприскорено, за будь-який проміжок часу. Для цього звернемося до графіку залежності проекції швидкості прямолінійного рівноприскореного руху від часу. Графік залежності проекції швидкості прямолінійного рівноприскореного руху від часу Нижче на малюнку представлений графік, для проекції швидкості деякого тіла, яке рухається з початковою швидкість […]...
- Похідні елементарні функції Зростання і спадання функцій (достатній ознака). Якщо похідна даної функції існує і позитивна (негативна) для всіх значень x в інтервалі (a, b), то функція в цьому інтервалі зростає (відповідно, убуває). Максимуми і мінімуми функції. Точка x = x0 називається точкою (відносного) максимуму функції f (x), якщо існує така околиця точки x0, що для всіх значень […]...
- Тупокутний трикутник Тупокутні трикутники мало чим відрізняються від звичайних довільних гострокутих трикутників, але тупий кут робить трикутник незвичним для сприйняття. Це часто призводить до здивування, тому варто розглянути різні варіанти вирішення завдань на знаходження параметрів тупокутного трикутника. Визначення Тупокутним трикутником буде називатися будь-трикутник, що містить тупий кут. Тупокутний трикутник може бути рівнобедреним, але при цьому не може […]...
- Сторони трикутника В математиці при розгляді трикутника обов’язково приділяють багато уваги його сторонам. Оскільки дані елементи формують цю геометричну фігуру. Сторони трикутника використовуються для вирішення багатьох завдань з геометрії. Визначення поняття Відрізки, що з’єднують три точки, що не лежать на одній прямій, називаються сторонами трикутника. Розглянуті елементи обмежують частину площині, що називають начинкою даної геометричної фігури. Математики […]...
- Рух тіла під дією сили тяжіння Якщо на тіло діє тільки сила тяжіння, то тіло здійснює вільне падіння. Вид траєкторії руху залежить від напрямку і модуля початкової швидкості. При цьому можливі наступні випадки руху тіла: Якщо початкова швидкість тіла дорівнює нулю або паралельна силі тяжіння, тіло здійснює прямолінійне вільне падіння; Якщо початкова швидкість тіла спрямована під кутом до сили тяжіння, то […]...
- Застосування інфразвуку Інфразвук є не тільки небажаним і небезпечним явищем, його часто використовують і в корисних цілях. Так інфразвукові коливання застосовують для дослідження океанів, атмосфери, в тому числі знаходження місць, де відбуваються вибухи або виверження вулканів. За допомогою них пророкують цунамі і контролюють проведення підземних ядерних вибухів. Для реєстрації інфразвукових хвиль використовують геофони, гідрофони або мікрофони. На […]...
- Функція y=k/x і її графік Розглянемо функцію y=k/y. Графіком цієї функції є лінія, звана в математиці гіперболою. Загальний вигляд гіперболи, представлений на малюнку нижче. (На графіку представлена функція y одно k розділити на x, у якої k дорівнює одиниці. ) Видно, що графік складається з двох частин. Ці частини називають гілками гіперболи. Варто відзначити також, що кожна гілка гіперболи підходить […]...
- Медичне застосування шовку Протягом багатьох років у всьому світі шовкова нитка використовувалась для зашивання ран під час важких хірургічних і офтальмологічних операцій. Вона добре підходить для такого використання завдяки своїм м’яким та еластичним волокнам. Крім того, її легко зав’язати і важко розв’язати. Протеїновий склад шовкової нитки робить її сумісною з тканинами людського тіла, усуваючи потребу її хірургічного видалення. […]...
- Логарифмічна функція Функцію виду y=loga (x),де a будь-яке позитивне число не рівне одиниці, називають логарифмічною функцією з основою а. Тут і далі для позначення логарифма ми будемо використовувати наступну нотацію: loga (b)-даний запис буде позначати логарифм b по підставі а. Основні властивості логарифмічної функції: 1.Областю визначення логарифмічної функції буде все безліч позитивних дійсних чисел. Для стислості його […]...
- Окружність Окружністю називають замкнуту, плоску криву, всі точки якої, що лежать в одній площині, видалені на однаковій відстані від центру. Точка О є центром кола, R є радіусом окружності – відстанню від якої-небудь точки окружності до центру. За визначенням все радіуси замкнутої кривої мають однакову довжину. Відстань між двома точками кола називається хордою. Відрізок кола, що […]...
- Переміщення Досі при вирішенні багатьох завдань, пов’язаних з рухом різних тіл, ми користувалися фізичною величиною, званої “шлях”. Під довжиною шляху малася на увазі сума довжин всіх ділянок траєкторії, пройдених тілом за розглянутий проміжок часу. Шлях – скалярна величина (т. Е. Величина, яка не має напрямку). Для вирішення різних практичних завдань у різних сферах діяльності (наприклад, в […]...
- Поняття про обернену функцію Ми вже стикалися з завданням, коли за заданою функції f і заданому значенню її аргументу необхідно було обчислити значення функції в цій точці. Але іноді доводиться стикатися із зворотного завданням: знайти за відомою функції f і її деякому значенню y значення аргументу, в якому функція приймає дане значення y. Функція, яка, приймає кожне своє значення […]...
- Обертальна симетрія Крім дзеркального відображення є і інші операції в просторі, які залишають предмети незмінними. Дерев’яний олівець з шістьма гранями при повороті на 60 ° (360 °: 6) виглядає так само, як і в первісному положенні. Кулька від підшипника взагалі ніяк не змінюється при будь-яких поворотах – як навколо осі, що проходить через його центр, так і […]...
- Порівняння геометричних фігур Порівняння геометричних фігур застосовується з метою визначення, яка з них більше або менше іншого, або ж не рівні вони один одному. Зрозуміло, що при цьому мається на увазі, що швидше за все порівнюються фігури відносяться до одного виду геометричних фігур. Наприклад, доречно порівняти два відрізки між собою, або два трикутники, або два кути. Але складно […]...
- Чим відрізняється окружність від кола На уроках геометрії в школі всі ми вивчали властивості різних фігур і ліній. Кожна з них має свої особливості, а часом деякі з них взаємопов’язані один з одним. Взяти для прикладу хоча б коло і окружність – між ними є певна єднальна лінія. Тільки от яка? Давайте разом розберемося в цьому питанні. Окружність являє собою […]...
- Інтеграли Історія виникнення інтеграла говорить про двох причинах його появи: необхідність знаходити первісну функцію по її похідної і необхідність обчислювати обсяги та площі складних фігур. Всім відомий символ інтеграла введемо відомим математиком Лейбніцем, і являє собою деформовану латинську букву S. S – перша буква слова сума. А термін “інтеграл” належить Бернуллі. Невизначений інтеграл та первісна функції […]...
- Характеристика і застосування гелію Історія відкриття: 18 серпня 1868 французький учений П’єр Жансен під час повного сонячного затемнення в індійському місті Гунтур вперше досліджував хромосферу Сонця. Спектроскопія сонячних протуберанців поряд з лініями водню – синьою, зелено-блакитний і червоною – виявила дуже яскраву жовту лінію, спочатку прийняту Жансеном та іншими спостерігали її астрономами за лінію D натрію. Незалежно від нього […]...
- Застосування тайм-менеджменту У сучасному світі особистий час – це ключовий ресурс людини, часто має набагато вищу вартість, ніж гроші, оскільки воно, на відміну від них, не може бути накопичено або відновлено. Саме тому вміння найкращим чином використовувати свій час і керувати ним являє істотну цінність для будь-якої людини. І важливо навчитися застосовувати цей навик у всіх сферах […]...
- Повідомлення “Осьова і центральна симетрія” Симетрія – вічна супутниця життя кожної людини. Предмети, природа, одяг, навіть саме тіло людини симетрично. Ідентичні половини зображень, об’єктів, предметів можуть бути створені як людиною спеціально, так і самою природою. З точки зору математичної науки, симетрія підрозділяється на симетричність по прямій лінії – осі і симетричність по одній центральній точці. Осьова симетрія Осьова симетрія (її […]...
- Алюміній. Застосування алюмінію і його сплавів Алюміній розташований в 3-й групі головної підгрупи, в 3 періоді. Порядковий номер 13. Атомна маса ~ 27. Р-елемент. Електронна конфігурація: 1s22s22p63s23p1. На зовнішньому рівні 3s23p1находятся 3 валентних електрона. Ступінь окислювання +3, валентність – III. Фізичні властивості: алюміній – метал сріблясто-білого кольору, м’який, механічно міцний, тепло-і електропровідний, легко витягується в дріт, прокочується в тонку фольгу, легко […]...
- Властивості і застосування неону Історія відкриття: У 1897 р У. Рамзай, користуючись “методом нашого вчителя Менделєєва”, передбачив існування простого газу з проміжними між Чи не та Ar константами. Рік потому, У. Рамзай і М. Траверс, досліджуючи спектри фракцій повільно випаровується рідкого повітря, в спектрі найлегшою і низкокипящей фракції, поряд з відомими лініями азоту, гелію і аргону, виявили червоні і […]...
- Межі застосування фізичних законів Теорія, перевірена і підтверджена численними експериментами, може розглядатися як фізичний закон. Однак у кожного закону є межі застосовності. Ці кордони передусім визначаються тією теоретичною моделлю, в рамках якої ми розглядаємо цей закон. Всі закони, яким підкоряється реальний газ, виведені на основі моделі ідеального газу, справедливі тільки для тих умов, при яких властивості реального газу наближені […]...
- Тертя кочення Якщо по поверхні котиться циліндр або колесо, то виникає сила тертя кочення. Сила тертя кочення значно менше сили тертя ковзання. Як показує досвід, сила тертя кочення пропорційна силі нормального тиску і обернено пропорційна радіусу циліндра (або колеса). Причина появи тертя кочення полягає в наступному. Під дією сили тяжіння кругле тверде тіло (наприклад, куля або колесо), […]...
- Гравітаційне поле Закон всесвітнього тяжіння заснований на теорії дальнодії, згідно з якою дія одного тіла на інше передається миттєво (тобто з нескінченно великою швидкістю) без участі середовища. Згідно сучасним уявленням всяке взаємодія тіл на відстані здійснюється за допомогою матеріального середовища, званої полем, і передається з кінцевою швидкістю, яка не може бути більше швидкості світла. Гравітаційна взаємодія між […]...
- Масло ромашки застосування Перша згадка про ромашках було родом із Стародавньої Греції. Місцеві жителі порівнювали її запах із запахом яблук. Причому він був набагато більш насиченим і більш стійкий. За рахунок цих якостей, квітки втирали в шкіру, і вона брала приємний свіжий яблучний аромат. Трохи пізніше стали відомі і лікувальні властивості квітки. Лікарська трава ромашка почала використовуватися в […]...
- Додавання паралельних сил. Центр ваги Рівнодіюча двох паралельних однаково спрямованих сил (рис. 1, а) дорівнює по модулю сумі їх модулів, паралельна їм і направлена в ту ж сторону, а лінія дії рівнодійної ділить відрізок, що з’єднує точки докладання доданків сил, на ділянки, обернено пропорційні силам. Це можна довести: якщо в передбачуваній точці О докладання рівнодіюча подумки поставити опору, то реакція […]...
- Дія рідини і газу на занурене в них тіло Із повсякденного життя відомо, що вага тіла зменшується, якщо занурити його у воду. На цьому явищі заснована, наприклад, плавання суден. Повітряні кулі піднімаються в повітря через існування деякої сили, спрямованої протилежно силі тяжіння. Силу, з якою рідина чи газ діють на занурене в них тіло, називають також силою Архімеда. Розглянемо природу цієї сили. Як відомо, […]...
- Помилки і труднощі застосування експерименту Типові помилки і труднощі застосування експерименту виникають у зв’язку з наступними причинами: 1) сформульовані гіпотези не відображають проблемних ситуацій, істотних залежностей в досліджуваному об’єкті; 2) в якості незалежної змінної виділений фактор, який не може бути причиною, стійкої детермінантою процесів, що відбуваються в досліджуваному явищі; 3) зв’язки між залежною і незалежною змінними мають випадковий характер. Неправильно […]...
- Зовнішня будова річкового рака Річковий рак – типовий представник ракоподібних. Навколишнє середовище – прісні води. Довжина тіла зазвичай не перевищує 20 см. Тіло має сегментарний розподіл. Зовнішня будова і особливості коротко представлені в таблиці. Частини тіла Функція Довгі вуса Сприймають відчуття від дотиків Короткі антени Для нюху Очі Зорова функція Головогруди Включає 8 сегментів з аналогічним числом пар кінцівок. […]...