Взаємозв’язок монотонності і похідною

Related posts:

1. Проміжки монотонності функцій Проміжки монотонності функції y = f (x) – це такі інтервали значень аргументу х, при яких функція y = f (x) зростає або убуває. Для визначення проміжків монотонності функції f(x) потрібно: Вказати область визначення функції D (f); Виконати розрахунок похідної для обраної функції; Дізнатися критичні точки за умови рівності нулю похідної f'(x) = 0 або […]...
2. Похідні елементарні функції Зростання і спадання функцій (достатній ознака). Якщо похідна даної функції існує і позитивна (негативна) для всіх значень x в інтервалі (a, b), то функція в цьому інтервалі зростає (відповідно, убуває). Максимуми і мінімуми функції. Точка x = x0 називається точкою (відносного) максимуму функції f (x), якщо існує така околиця точки x0, що для всіх значень […]...
3. Функція y=k/x і її графік Розглянемо функцію y=k/y. Графіком цієї функції є лінія, звана в математиці гіперболою. Загальний вигляд гіперболи, представлений на малюнку нижче. (На графіку представлена функція y одно k розділити на x, у якої k дорівнює одиниці. ) Видно, що графік складається з двох частин. Ці частини називають гілками гіперболи. Варто відзначити також, що кожна гілка гіперболи підходить […]...
4. Кубічна парабола Кубічна парабола – це парабола, що задається рівнянням виду y = ax3, де a ≠ 0. Також в літературі можна зустріти і інші формули для кубічної параболи, всі вони еквівалентні. Властивості функції кубічної параболи Графік кубічної параболи визначений на всьому просторі дійсних чисел. Функція, що задається графіком кубічної параболи, є непарної, тобто: f (-x) = […]...
5. Різницю потенціалів. Напруга Різниця потенціалів – це скалярна фізична величина, чисельно рівна відношенню роботи сил поля по переміщенню заряду між даними точками поля до цього заряду. В СІ одиницею різниці потенціалів є вольт (В). 1 В – різниця потенціалів між двома такими точками електростатичного поля, при переміщенні між якими заряду в 1 Кл силами поля відбувається робота в […]...
6. Властивості тригонометричних функцій Розглянемо властивості тригонометричних функцій, їх особливості та відмінності один від одного. Функція sin (x) 1. Область визначення: R 2. Область значень: [-1; 1] 3. Непарна. 4. Найменший позитивний період: 2*pi 5. Координати точок перетину графіка функції з віссю Ох: (pi*n; 0) 6. Координати точок перетину графіка функції з віссю Оу: (0, 0) 7. Проміжки, на […]...
7. Функція опукла вниз або вгору Якщо взяти дві такі функції як 1) y = √x і 2) y = x2 при x ≥ 0, то опис їх властивостей співпаде, незважаючи на те, що їх графіки відрізняються. Ось їх графіки: Графіки функцій y = √x і y = x ^ 2 Обидві функції мають одну і ту ж область визначення [0; […]...
8. Модуль числа Абсолютна величина або модуль числа a – позитивне число, яке залежить від виду числа a. Позначають як: |a|. Модуль додатного дійсного числа a – це саме це число. Число модулі: |а| = а Модуль негативного дійсного числа а – це протилежне йому число: |а| = – а У загальному випадку запис модуля числа виглядає так: […]...
9. Поняття похідної Розглянемо таку задачу: нехай деяка точка рухається по прямій безперервно і плавно. У деякий момент часу t координата точки х дорівнює х (t). Для визначеності можемо вважати, що мова йде про рух автомобіля за прямолінійним ділянці дороги. Завдання полягає в наступному: по відомій залежності x (t) знайти швидкість, з якою автомобіль рухається в конкретний момент […]...
10. Похідна та показова функція Графік показовою функції являє собою криву плавну лінію без зламів, до якої в кожній точці, через яку вона проходить, можна провести дотичну. Логічно припустити, що якщо можна провести дотичну, значить функція буде диференційована в кожній точці своєї області визначення. Відобразимо в одних координатних осях кілька графіків функції y=xa, Для а=2; a=2,3; a=3; a=3,4. У точці […]...
11. Таблиця похідних Похідна відноситься до головного поняттю диференціального обчислення, а обчислення похідної до самої основної операції цього ж обчислення. Дане поняття характеризує швидкість зміни функції. Означення похідної – це обчислення межі відношення приросту функції до її аргументу, за умови прагнення збільшення аргументу до нуля, за умови, що така межа існує. Диференціюється функція – це функція, яка має […]...
12. Інтеграли Історія виникнення інтеграла говорить про двох причинах його появи: необхідність знаходити первісну функцію по її похідної і необхідність обчислювати обсяги та площі складних фігур. Всім відомий символ інтеграла введемо відомим математиком Лейбніцем, і являє собою деформовану латинську букву S. S – перша буква слова сума. А термін “інтеграл” належить Бернуллі. Невизначений інтеграл та первісна функції […]...
13. Як залежить парабола від коефіцієнта Графіком функції y = x2 є парабола. Ця функція є функцією виду y = kx2, в якій k = 1. Однак якими будуть графіки функцій такого виду при інших значеннях k? Графіками всіх функцій виду y = kx2 також будуть і параболи, але змінені порівняно з y = x2. При k> 0 чим більше його […]...
14. Логарифмічна функція Функцію виду y=loga (x),де a будь-яке позитивне число не рівне одиниці, називають логарифмічною функцією з основою а. Тут і далі для позначення логарифма ми будемо використовувати наступну нотацію: loga (b)-даний запис буде позначати логарифм b по підставі а. Основні властивості логарифмічної функції: 1.Областю визначення логарифмічної функції буде все безліч позитивних дійсних чисел. Для стислості його […]...
15. Властивості синуса, косинуса, тангенса і котангенс Властивості синуса Область визначення: вся числова вісь; Область значень: [-1; 1]; Непарна функція; Найменший позитивний період: 2*pi; Координати точок перетину графіка функції з віссю Ох: (pi*n; 0); Координати точок перетину графіка функції з віссю Оу: (0, 0); Проміжки, на яких функція позитивна: (2*pi*n; pi +2*pi*n); Проміжки, на яких функція негативна: (-pi + 2*pi*n; 2*pi*n); Проміжки […]...
16. Робота. Потужність Механічною роботою називають добуток модуля сили F на шлях s, пройдений точкою докладання цієї сили: А = Fs. Одиницею роботи в СІ є джоуль (Дж). 1 Дж – це робота, що здійснюються силою 1 Н, коли точка прикладання сили проходить шлях 1 м у напрямку дії сили. Таким чином, 1 Дж = 1 H ■ […]...
17. Поняття про обернену функцію Ми вже стикалися з завданням, коли за заданою функції f і заданому значенню її аргументу необхідно було обчислити значення функції в цій точці. Але іноді доводиться стикатися із зворотного завданням: знайти за відомою функції f і її деякому значенню y значення аргументу, в якому функція приймає дане значення y. Функція, яка, приймає кожне своє значення […]...
18. Стан невагомості Коли тіло падає, воно не тисне на опору і не розтягує підвіс. Значить, вага тіла при падінні дорівнює нулю. Стан, при якому вага тіла дорівнює нулю, називають станом невагомості. Щоб випробувати стан невагомості протягом короткого проміжку часу, можна просто підстрибнути (рис. 15.6). Під час всього “польоту” ви будете перебувати в стані невагомості. У стані невагомості […]...
19. Потенціал провідника Раніше ми говорили про потенціал тієї чи іншої точки електростатичного поля. Великий інтерес представляють безлічі точок, потенціал яких однаковий. Один приклад такого безлічі ми знаємо – це еквіпотенціальні поверхні. Іншим чудовим прикладом служить провідник. Всі точки провідника мають однаковий потенціал. Іншими словами, різниця потенціалів між будь-якими двома точками провідника дорівнює нулю. Справді, якби між якою-небудь […]...
20. Диференціювання Диференціювання – визначення похідних і диференціалів всіх порядків від функції однієї змінної та частинних похідних і диференціалів, крім того, повних диференціалів від функцій більшості змінних. У операції диференціювання є властивість лінійності: будучи застосованою до лінійної комбінації диференційовних функцій f1, f2, …, fn c числовими коефіцієнтами с1; с2; …; с2, тобто до вираження: С1f1 + c2f2 […]...
21. Логарифмічна функція: визначення Логарифмічною функція представлена у вигляді у = logax, при цьому а постійне позитивне число, яке не дорівнює одиниці. Число а має бути вибрано позитивним оскільки при а < 0 величини , не будуть дійсними. Логарифмічна функція по суті є зворотною показникової функції. Та графік логарифмічної функції утворюється з графіка показникової функції з тим же підставою […]...
22. Функція гіперболи (алгебра) Функція записується в загальному вигляді, як y = або f (x) = Y і x – це обернено пропорційні величини, тобто коли одна зростає, інша зменшується (перевірте, підставивши числа в функцію) На відміну від попередньої функції, в якій x2 завжди створює позитивні значення, тут ми не можемо сказати, що – = , оскільки це будуть […]...
23. Інтеграли функцій Правила інтегрування функцій. Первісна від нуля є константа, в будь-яких межах інтегрування інтеграл від нуля дорівнює нулю. Правила інтегрування функцій Інтеграли елементарних функцій. Раціональні функції. Первісна від нуля є константа, в будь-яких межах інтегрування інтеграл від нуля дорівнює нулю: Доказ. Продиференціюємо праву частину: “Високий логарифм”: Логарифми: Експоненціальні функції: Ірраціональні функції: “Довгий логарифм”: Тригонометричні функції: Доказ: […]...
24. Швидкість прямолінійного рівноприскореного руху. Графік швидкості Вам відомо, що при прямолінійній равноускоренном русі проекцію вектора прискорення на вісь X можна знайти за формулою: Висловимо з цієї формули проекцію vx вектора швидкості v, яку мало рухається тіло до кінця проміжку часу t, який починається від моменту початку спостереження, т. Е. Від t0 = 0: Axt = vx – v0x, Vx = v0x […]...
25. Види числових проміжків На координатної прямої виділяють такі типи числових проміжків: Відкритий промінь Луч Інтервал Напівінтервал Відрізок Уявімо, що на координатної прямий знаходиться точка A. Всі точки, що лежать від неї ліворуч, належатимуть відкритого променю (-∞; A); точки, що лежать праворуч, – відкритому променю (A; + ∞). Точка A в обох випадках числовому проміжку не належить, і саме […]...
26. Властивості параболи Графіком функції y = x2 і ряду інших є парабола. Чому графік функції y = x2 має такий вигляд? Так як аргумент функції зводиться в квадрат, то значенням функції не може бути негативне число. Іншими словами x може бути негативним, а y – ні. Коли x, наприклад, дорівнює 2 і -2, то y в обох […]...
27. Потенціал електростатичного поля і різниця потенціалів У механіці взаємна дія тіл один на одного характеризують силою і потенційною енергією. Електростатичне поле, яке здійснює взаємодія між зарядами, також характеризують двома величинами. Напруженість поля – це силова характеристика. Тепер введемо енергетичну характеристику – потенціал. Потенціал поля. Робота будь електростатичного поля при переміщенні в ньому зарядженого тіла з однієї точки в іншу також не […]...
28. Які геометричні фігури найпростіші? До простих геометричних фігур відносяться точка, пряма, відрізок, промінь, напівплощина і кут. Навіть серед найпростіших фігур виділяється сама найпростіша – це точка. Всі інші фігури складаються з безлічі точок. В геометрії прийнято позначати точки прописними (великими) латинськими літерами. Наприклад, точка A, точка L. Пряма – це нескінченна лінія, на якій якщо взяти дві будь-які точки, […]...
29. Зрушення графіків функцій Нам відомі такі функції та їх графіки як Y = kx (пряма), y = kx2 (парабола), y = k√x (“половинка” параболи), y = k / x (гіпербола). Зміна значення k впливає на вигляд графіка (ступінь крутизни у разі параболи), розташування гілок в координатних чвертях і ін. Проте точкою, через яку можна провести вісь симетрії графіків, […]...
30. Визначення кореня n-го ступеня Розглянемо наступний приклад. x4=16. Ми можемо записати це рівняння в наступному вигляді: X4-16=0 або використовуючи формулу різниці квадратів так: (X2-4)*(x2 +4)=0. Твір двох співмножників дорівнює нулю, якщо хоча б один з них дорівнює нулю. Вираз x2 +4 не може дорівнювати нулю, отже, залишається тільки (x2-4)=0. Вирішуємо його, отримуємо дві відповіді. Відповідь: x=-2 і x=2. Отримали, […]...
31. Плоска система довільно розташованих сил Теорема Пуансо про паралельне перенесення сил Силу можна перенести паралельно лінії її дії, при цьому потрібно додати пару сил з моментом, рівним добутку модуля сили на відстань, на яку перенесена сила. Приведення до точки плоскої системи довільно розташованих сил. Всі сили системи переносять в одну довільно обрану точку, звану точкою приведення. При цьому застосовують теорему […]...
32. Що таке модуль числа Точкою відліку на числової прямої служить 0. Відстань від 0 до точки, що відображає якесь число, називається модулем цього числа. Тут треба розуміти, що числова пряма не має масштабу, – тобто, відстань від 0 до 2 буде завжди дорівнює 2, як би близько чи далеко ми не намалювали на числовій прямій точки, що позначають 0 […]...
33. Властивості арифметичного кореня n-го ступеня Арифметичним коренем натуральної ступеня n>=2 з невід’ємного числа а називається деякий невід’ємне число, при зведенні якого в ступінь n виходить число а. Можна довести, що для будь-якого ненегативного а і натурального n рівняння x ^ n=a матиме один єдиний ненегативний корінь. Саме цей корінь і називають арифметичним коренем n-го ступеня з числа а. Арифметичний корінь […]...
34. Відрізок. Довжина відрізка. Трикутник Якщо до точок А і В докласти лінійку і по ній провести від А до В лінію, то вийде відрізок АВ (рис. 1). Той же відрізок можна позначити ВА. Точки А і В називають кінцями відрізка АВ. Будь-які дві точки можна з’єднати тільки одним відрізком. Відрізки можна порівнювати за допомогою вимірювача. Відрізки МК і CD […]...
35. Геометричні характеристики плоских перетинів Статичний момент площі перетину. Якщо розбити перетин на нескінченно малі майданчики dА, помножити кожен майданчик на відстань до осі координат і проинтегрировать отриманий вираз, отримаємо статичний момент площі перетину. Щодо осі OХ: Щодо осі Oу: Для симетричного перетину статичні моменти кожної половини площі рівні за величиною і мають різний знак. Отже, статичний момент відносно осі […]...
36. Рівняння змінного струму Виникає питання, як сила струму в рамці зростає від нуля до максимуму, а потім знову падає до нуля? Величина струму, очевидно, залежить від сили Лоренца. Значить, сила Лоренца змінюється за час обороту рамки. Зауважимо, при повороті рамки змінюється кут, під яким заряди всередині рамки перетинають лінії поля магніту. Підказку дає формула Фарадея (38.2). З неї […]...
37. Механічна рівновага Розділ механіки, в якому вивчаються умови рівноваги тіл, називається статикою. З другого закону Ньютона випливає, що, якщо векторна сума всіх сил, прикладених до тіла, дорівнює нулю, то тіло зберігає свою швидкість незмінною. Зокрема, якщо початкова швидкість дорівнює нулю, тіло залишається в спокої. Очевидно, що тіло може спочивати тільки по відношенню до однієї певній системі координат. […]...
38. Логарифми та їх властивості Розглянемо рівняння ax=b, при a > 0 і a не дорівнює одиниці. Це рівняння не має рішень при b меншому або рівним нулю. І має єдине рішення при b > 0.Дане рішення називають логарифмом b по підставі ab і позначають таким чином: Loga (b) Логарифмом числа b по підставі f називається показник ступеня, в яку […]...
39. Характеристика роботи – фізика Характеристика роботи, грунтується на косинус кута між переміщенням і силою: Максимальне значення буде та робота, у якій кут між переміщенням і силою дорівнює 0 градусів. Робота буде негативною, якщо сила, що прикладається до тіла, спрямована в бік, протилежний до переміщення. Робота дорівнює нулю в тому випадку, коли кут між силою і переміщенням буде 90 градусів. […]...
40. Умови рівноваги зарядів у провідниках Розглянемо умови рівноваги зарядів у провіднику, скориставшись поняттям різниці потенціалів. Як уже зазначалося в § 16, при рівновазі зарядів напруженість поля в провіднику повинна дорівнювати нулю (т. Е. Електричне поле в провіднику відсутній). Але на підставі (23.1) це означає, що різниця потенціалів між будь-якими точками провідника дорівнює нулю. Це відноситься також і до всіх точок […]...