Теореми паралелограма
Паралелограм являє собою чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. Це визначення вже достатньо, тому що інші властивості паралелограма випливають з нього і доводяться у вигляді теорем.
Основними властивостями паралелограма є:
Паралелограм – це опуклий чотирикутник;
у паралелограма протилежні сторони попарно рівні;
у паралелограма протилежні кути попарно рівні;
діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.
Паралелограм – опуклий чотирикутник
Доведемо спочатку теорему про те, що паралелограм є опуклим чотирикутником. Багатокутник є опуклим тоді, коли яка б його сторона не була продовжена до прямої, всі інші сторони багатокутника опиняться по один бік від цієї прямої.
Нехай дано паралелограм ABCD, у якого AB протилежна сторона для CD, а BC – протилежна для AD. Тоді з визначення паралелограма випливає, що AB || CD, BC || AD.
У паралельних відрізків немає спільних точок, вони не перетинаються. Це означає, що CD лежить по одну сторону від AB. Оскільки відрізок BC з’єднує точку B відрізка AB з точкою C відрізка CD, а відрізок AD з’єднує інші точки AB і CD, то відрізки BC і AD також лежать по ту ж сторону від прямої AB, де лежить CD. Таким чином, всі три сторони – CD, BC, AD – лежать по одну сторону від AB.
Аналогічно доводиться, що по відношенню до інших сторін паралелограма три інші сторони лежать з одного боку.
Протилежні сторони і кути рівні
Одним із властивостей паралелограма є те, що в параллелограмме протилежні сторони і протилежні кути попарно рівні. Наприклад, якщо дан паралелограм ABCD, то у нього AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Доводиться ця теорема наступним чином.
Паралелограм є чотирикутником. Значить, у нього дві діагоналі. Так як паралелограм – це опуклий чотирикутник, то кожна з них ділить його на два трикутники. Розглянемо параллелограмме ABCD трикутники ABC і ADC, отримані в результаті проведення діагоналі AC.
Доказ рівності протилежних сторін і кутів паралелограма
У цих трикутників одна сторона спільна – AC. Кут BCA дорівнює куту CAD, як вертикальні при паралельних BC і AD. Кути BAC і ACD також рівні як вертикальні при паралельних AB і CD. Отже, ΔABC = ΔADC по двох кутах і стороні між ними.
У цих трикутниках стороні AB відповідає сторона CD, а стороні BC відповідає AD. Отже, AB = CD і BC = AD.
Розі B відповідає кут D, т. Е. ∠B = ∠D. Кут A паралелограма являє собою суму двох кутів – ∠BAC і ∠CAD. Кут ж C дорівнює складається з ∠BCA і ∠ACD. Так як пари кутів дорівнюють один одному, то ∠A = ∠C.
Таким чином, доведено, що в параллелограмме протилежні сторони і кути рівні.
Діагоналі діляться навпіл
Так як паралелограм – це опуклий чотирикутник, то у нього дві дві діагоналі, і вони перетинаються. Нехай дано паралелограм ABCD, його діагоналі AC і BD перетинаються в точці E. Розглянемо утворені ними трикутники ABE і CDE.
Трикутники, утворені діагоналями паралелограма
У цих трикутників сторони AB і CD рівні як протилежні сторони паралелограма. Кут ABE дорівнює куту CDE як навхрест лежачі при паралельних прямих AB і CD. З цієї ж причини ∠BAE = ∠DCE. Значить, ΔABE = ΔCDE по двох кутах і стороні між ними.
Також можна помітити, що кути AEB і CED вертикальні, а отже, теж рівні один одному.
Так як трикутники ABE і CDE рівні один одному, то рівні і всі їх відповідні елементи. Стороні AE першого трикутника відповідає сторона CE другого, значить, AE = CE. Аналогічно BE = DE. Кожна пара рівних відрізків становить діагональ паралелограма. Таким чином доведено, що діагоналі паралелограма діляться точкою перетину навпіл.
(2 votes, average: 3.50 out of 5)