Співвідношення різних описів руху

Для розуміння фізичних основ механіки при швидкостях тел малих порівняно зі швидкістю світла достатньо ньютонова підходу, в той же час є ряд інших (метод Лагранжа, метод Гамільтона і т. д.), складніших математично, але більш продуктивних для вирішення прикладних завдань підходів. Вони складають предмет теоретичної (аналітичної) механіки. Для повноти картини дамо їх коротку характеристику, розглянемо їх взаємини, гідності та області застосовності по класу вирішуваних завдань, так як з точки зору їх зв’язку з даними досвіду всі вони базуються на уявленнях Ньютона про простір, час і можливості введення поняття матеріальної точки (частки) як моделі реального тіла.

Ньютонова механіка вивчає рух системи матеріальних точок у тривимірному евклідовому просторі. Евклід простір має властивість однорідності і ізотропності, а час – властивістю однорідності. Основні поняття і теореми ньютоновой механіки (навіть якщо вони і формулюються в термінах декартових координат) залишаються незмінними при будь-якому перенесення замкнутої системи в просторі, при її довільному повороті і при переході іншу рівномірно рухливу систему відліку. Ньютонова потенційна механічна система задається масами точок і потенційною енергією їх взаємодії. Властивостям простору і часу відповідають 3 закону збереження: імпульсу, моменту імпульсу та енергії.
Рівняння Ньютона дозволяють повністю вирішити ряд важливих завдань механіки, наприклад задачу про рух у центральному полі.

Лагранжева механіка описує рух механічної системи за допомогою поняття конфігураційного простору – об’єднання N (де N – це число матеріальних точок системи) тривимірних евклідових просторів з урахуванням накладених на систему зв’язків, що обмежують рух окремих тіл. Лагранжева механічна система задається конфігураційним простором і функцією Лагранжа, заданій в ньому. З властивостей часу і конфігураційного простору також слідують узагальнені закони збереження (т. Е. Перші інтеграли рівнянь руху).

Ньютонова потенційна система – окремий випадок лагранжевой. Конфігураційний простір в цьому випадку евклидово, а функція Лагранжа L дорівнює різниці кінетичної і потенційної енергій.
Лагранжа підхід вельми продуктивний при вирішенні низки важливих завдань механіки, наприклад, в теорії малих коливань і в динаміці твердого тіла.

Наступний рівень узагальнення становить Механіка Гамільтона – це механіка з використанням геометрії в фазовому просторі, який являє собою простір 6N вимірювань (де N – число матеріальних точок) об’єднують звичайні просторові координати і імпульси частинок. У цьому підході також є відповідні закони збереження, пов’язані з першими інтегралами рівнянь руху. Гамильтонова механічна система задається фазовим простором, інтегральним інваріантом Пуанкаре і функцією Гамільтона.

Лагранжева механіка включається в гамильтоновой як окремий випадок, фазовий простір в цьому випадку є частина конфігураційного, а функція Гамільтона виходить через перетворення Лежандра функції Лагранжа.
Гамильтонов метод дозволяє вирішити ряд завдань механіки, що не піддаються вирішенню іншими засобів (наприклад, задачу про тяжінні двома нерухомими центрами і завдання про геодезичні лініях на трехосном еліпсоїді). Ще більше значення цей підхід має для наближених методів теорії збурень (небесна механіка), для розуміння загального характеру руху в складних механічних систем (ергодична теорія, статистична механіка) і у зв’язку з іншими розділами математичної фізики (оптика, квантова механіка і т. П. ).

Характеризуючи теоретичну (аналітичну) механіку в своїх “Лекціях про розвиток математики в XIX столітті”, Фелікс Клейн (1832 1899) писав, що “фізик для своїх завдань може отримати з цих теорій лише дуже небагато, а інженер – нічого”. Розвиток науки в наступні роки рішуче спростувало це зауваження. Гамильтонов формалізм ліг в основу квантової механіки і є в даний час одним з найбільш часто вживаних знарядь в математичному арсеналі фізики. Після того як було усвідомлено значення застосування варіаційних математичних методів для всіляких завдань оптимізації, рівняння Гамільтона стали постійно використовуватися в інженерних розрахунках у цій галузі. З іншого боку, сучасний розвиток небесної механіки, пов’язане з потребами космічних досліджень, привело до нового відродження інтересу до методів і завданням аналітики динаміки.

Згадані вище методи Лагранжа і Гамільтона, незважаючи на свою плідність, не можуть бути узагальнені на випадок руху зі швидкостями близькими до швидкості світла – так як в теорії відносності поняття потенційної енергії системи частинок відсутня. Це пов’язано з тим, що потенційна енергія, що залежить тільки від взаємного розташування тіл відповідає теорії дальнодії, що не можна вживати тільки у випадку руху з малими швидкостями. Саме тому в цій книзі виклад ведеться тільки в рамках ньютоновой механіки, найбільш просто узагальнювати на релятивістський випадок.


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 votes, average: 5.00 out of 5)

Співвідношення різних описів руху