Система лінійних рівнянь
Система m лінійних рівнянь з n невідомими це система виду: де a ij і b i (i=1,…,m; b=1,…,n) – деякі відомі числа, а x 1 ,…,x n – невідомі числа.
Система m лінійних рівнянь з n невідомими це система виду:
Де aij і bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – деякі відомі числа, а x1,…,xn – невідомі числа. В позначенні коефіцієнтів aij індекс i визначає номер рівняння, а другий j – номер невідомого, у якого розташований цей коефіцієнт.
Однорідна система – коли всі вільні члени системи дорівнюють нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), зворотна ситуація – неоднорідна система.
Квадратна система – коли число m рівнянь дорівнює числу n невідомих.
Рішення системи – сукупність n чисел c1, c2, …, cn, таких, що підстановка всіх ci замість xi в систему перетворює всі її рівняння в тотожності.
Спільна система – коли у системи є хоч би 1-але рішення, і несовместная система, коли у системи немає рішень.
У спільній системи такого виду (як наведено вище, нехай вона буде (1)) може бути одне або більше рішень.
Рішення c1(1), c2(1), …, cn(1) і c1(2), c2(2), …, cn(2) сумісної системи типу (1) будуть різними, коли не виконується навіть 1-але з рівностей:
C1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).
Спільна система типу (1) буде певною, коли у неї є тільки одне рішення; коли у системи є хоча б 2 різних рішень, вона стає недоопределенной. Коли рівнянь більше, ніж невідомих, система є переопределенной.
Коефіцієнти при невідомих записуються як матриця:
Вона називається матрицею системи.
Числа, що стоять в правих частинах рівнянь, b1,…,bm є вільними членами.
Сукупність n чисел c1,…,cn є розв’язком цієї системи, коли всі рівняння системи звертаються в рівність після підставки до них чисел c1,…,cn замість відповідних невідомих x1,…,xn.
При розв’язанні системи лінійних рівнянь можуть виникнути 3 варіанти:
1. У системи є тільки одне рішення.
2. У системи є нескінченне число рішень. Наприклад, 
Вирішенням цієї системи будуть всі пари чисел, які відрізняються знаком.
3. У системи немає рішень. Наприклад, 
, якщо б рішення існувало, то x1 + x2 дорівнювало б в один час 0 і 1.
Методи рішення систем лінійних рівнянь.
Прямі методи дають алгоритм, за яким знаходиться точне рішення СЛАУ (систем лінійних алгебраїчних рівнянь). І якби точність була абсолютною, вони б знайшли його. Реальна електро-обчислювальна машина, звичайно, працює з похибкою, тому рішення буде приблизними.
Ітераційні методи грунтуються на використанні повторюваного процесу і дозволяють отримати рішення в результаті послідовних наближень.
Найбільш популярні способи розв’язання систем лінійних рівнянь.
- 1. Матричний метод розв’язування систем лінійних рівнянь. 2. Правило Крамера. 3. Метод Гауса. 4. Методом підстановки. 5. Методом почленного складання. 6. Методом обертання. 7. Метод прогонки.
(1 votes, average: 5.00 out of 5)