Home ⇒ 👍Математика ⇒ Що таке підмножина?

Що таке підмножина?

У багатьох множинах можна виділити більш дрібні групи елементів, об’єднані своєю спільною властивістю. Наприклад, у безлічі натуральних чисел можна виділити підмножина парних чисел, а також підмножину непарних чисел, або підмножину чисел не більше 100 і т. д.

У термінології теорії множин кажуть, що безліч B є підмножиною множини A, якщо кожен елемент B є в той же час і елементом множини A. Позначається це знаком включення:

B ⊂ A.

З підмножини будь-якої безлічі можна виділити свою підмножину. Наприклад, серед учнів класу можна виділити підмножину дівчаток, а серед дівчаток виділити відмінниць. Тоді можна записати так:

C ⊂ B ⊂ A.

Це означає, що безліч C включено в B, а B включено в A.

Якщо безлічі позначити колами, то всередині кола A знаходитиметься коло B, а всередині нього коло C.

Подібні малюнки називають діаграмами Ейлера-Венна.

Якщо дві безлічі рівні, то для них виконуються співвідношення

A ⊂ B і B ⊂ A.

Якщо задано, що B ⊂ A, і якийсь елемент x належить B (x ∈ B), то це означає, що також x ∈ A. Однак, якщо відомо, що x ∈ A, то не можна робити однозначний висновок про те, що цей елемент належить B. Це може бути і Не так.

(2 votes, average: 4.00 out of 5)

Що таке рахункові безлічі? Рахунковими є нескінченні множини, які еквівалентні безлічі натуральних чисел. Еквівалентність означає рівну потужність множин, що можна порівняти з однаковою кількістю елементів, проте в нескінченних множинах кількість елементів нескінченно. Якщо безліч лічильно, то кожному його елементу можна поставити у відповідність натуральне число. Кожному елементу можна зіставити тільки одне натуральне число, і в кожного натурального числа може […]...

Властивості елементів множини Об’єкти (наприклад, числа), що входять в певну множину, є елементами цієї множини. Наприклад, числа 10 і 14 є елементами безлічі натуральних чисел. Класи є елементами безлічі всіх класів школи. А ось, наприклад, число -5 не є елементом множини натуральних чисел. Також як клас із сусідньої школи, що не буде елементом множини класів вашої школи. Найчастіше […]...

Що таке перетин, об’єднання і різниця множин? Перетином двох множин, називається третя множина, сформована з елементів, які входять в обидва перших множини. Наприклад, якщо в одну безліч входять числа від 1 до 10, а по друге – від 5 до 20, то перетином цих множин будуть числа від 5 до 10, так як вони входять в обидва. Перетин множин записується так: A […]...

Що таке замкнута безліч? Поняття “замкнутий безліч” і “незамкнуте безліч” зазвичай використовують відносно множин чисел і операцій над ними. Якщо над двома елементами одного безлічі виконується яка-небудь арифметична операція, і отриманий результат також належить цій безлічі, то кажуть, що це безліч замкнуто щодо даної операції. Якщо ж результат арифметичної операції над елементами множини не належить цій безлічі, то кажуть, […]...

Що таке множина Сукупність предметів, понять, яких-небудь об’єктів, об’єднаних чимось спільним, в математиці називають словом безліч. Приклади множин: учні класу, всі люди на Землі, безліч натуральних чисел, безліч точок, що лежать в першій чверті координатної площини, безліч кіл з радіусом від 1 до 10 см. Конкретне безліч можна представити як єдине ціле. Звести поняття безлічі до більш простих […]...

Дійсні числа Поняття дійсного числа Дійсне число – будь-яке невід’ємне або від’ємне число або нуль. З допомогою дійсних чисел виражають вимірювання кожної фізичної величини. Речовий або дійсне число виникло необхідності вимірювань геометричної і фізичної величин світу. Крім того, для проведення операцій добування кореня, обчислення логарифма, вирішення алгебраїчних рівнянь і т. д. Натуральні числа утворилися з розвитком рахунку, […]...

Що таке канонічний розклад числа і де він використовується? Канонічним розкладанням натурального числа на прості множники називають таке його розкладання, коли множники записуються в порядку зростання. Наприклад: 50 = 2 × 5 × 5 124 = 2 × 2 × 31 280 = 2 × 2 × 2 × 5 × 7 Зазвичай канонічний розклад записують з використанням ступенів: 50 = 2 × 52 […]...

Що таке “порівняння натуральних чисел”? Давайте для початку визначимося, що ми будемо розуміти під порівнянням двох натуральних чисел. Уявімо таку картину: на дереві розмістилася зграя з 7 птахів, а на іншому дереві – зграя з 5 десятків птахів. Начебто і на одному дереві зграя птахів, і на іншому – зграя птахів. Але ці зграї не схожі одна на іншу. Ось […]...

Послідовності – коротко Наприклад, є функція: d (n) = 2n. N – будь-яке натуральне число. Підставляємо у функцію числа: d (1) = 2; d (2) = 4; d (3) = 6; … Значить, d (1) – 1-е число в послідовності, d (2) – друге і т. д. Або їх можна позначити так: D1, d2, d3, … Це спрощує […]...

Комбінаторика – що це таке? Комбінаторика (наголос на другу “о”) це великий і важливий розділ математики, що вивчає безлічі цілих чисел і перестановки всередині цих множин. Комбінаторика має величезне значення для таких дисциплін, як теорія ймовірності, статистика, криптографія та комп’ютерні науки. Класичний приклад завдання з комбінаторики: нехай у класі 30 учнів, з них 15 хлопчиків і 15 дівчаток. Скільки існує […]...

Сенс ділення натуральних чисел На підставі озвученого сенсу ділення надаємо поділу двох натуральних чисел. При цьому будемо розрізняти натуральне число, яке ділять, і натуральне число, на яке ділять. Нам відомо, що натуральні числа пов’язані з кількістю деяких предметів. Будемо вважати, що число, яке ділять, визначає кількість предметів у вихідному множині. Сенс, який несе в собі результат ділення двох натуральних […]...

Натуральні числа в сенсі кількості предметів Прийшов час розібратися з кількісним змістом, який несе в собі записане натуральне число. Сенс натуральних чисел в плані нумерації предметів розглянуто в статті порівняння натуральних чисел. Почнемо з натуральних чисел, записи яких збігаються з записами цифр, тобто, з чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 і 9. Уявімо, що ми відкрили очі і […]...

Доведіть, що множина простих чисел нескінченна Одним із властивостей простих чисел є твердження, що безліч простих чисел нескінченно (т. Е. Серед простих чисел немає найбільшого). Довів це властивість простих чисел ще Евклід, використовуючи метод від протилежного. Доказ виглядає приблизно так. Припустимо, що безліч простих чисел звичайно, інші числа є складовими. Знайдемо добуток всіх існуючих простих чисел і до цього результату додамо […]...

Трансцендентні числа Трансцендентне число (від лат. transcendere – переступати, перевершувати) – це дійсне або комплексне число, яке не є алгебраїчним – іншими словами, число, яке не може бути коренем многочлена з раціональними коефіцієнтами (не дорівнює тотожно нулю). Залежно від того, над яким числовим полем розглядають многочлен з цілими коефіцієнтами, областями, над якими розглядаються трансцендентні числа, служать поля […]...

Функція: область визначення і область значень функцій Функція-це модель. Визначимо X, як безліч значень незалежної змінної незалежна-значить будь-яка. Функція це правило, за допомогою якого по кожному значенню незалежної змінної з безлічі X можна знайти єдине значення залежної змінної. / / Тобто для кожного х є один у. З визначення випливає, що існує два поняття-незалежна змінна (яку позначаємо х і вона може приймати […]...

Геометрична прогресія – визначення Це знову реккурентна (поворотна) прогресія, але на цей раз кожне наступне число більше або менше попереднього на якийсь множник. 2; 4; 8; 16; 32; … Наприклад, тут кожне наступне число більше попереднього в 2 рази. В даному випадку “2” – називають знаменником геометричної прогресії. PM + 1 / pM = b (b – якесь постійне […]...

Ірраціональні числа Які числа є ірраціональними? Ірраціональне число – це не раціональне дійсне число, тобто воно не може бути представлено як дріб (як відношення двох цілих чисел), де m – ціле число, n – натуральне число. Ірраціональне число можна представити як нескінченну неперіодичну десяткову дріб. Ірраціональне число не може мати точного значення. Тільки у форматі 3,333333…. Наприклад, […]...

Що таке планіметрія? Геометрія вивчає властивості фігур, що лежать на площині. Вже грецький математик Евклід описував їх. З геометрією древніх греків сьогодні знаком кожен школяр. Найважливіші поняття геометрії – це точка, лінія, пряма, коло, кут, трикутник. Точка – абстрактний об’єкт. У неї немає ні довжини, ні ширини, ні висоти, ні глибини. Математична точка існує лише умовно. Адже жоден […]...

Раціональні числа – це періодичні дроби Як відомо, безліч раціональних чисел (Q) включає в себе безлічі цілих чисел (Z), яке в свою чергу включає безліч натуральних чисел (N). Окрім цілих чисел в раціональні числа входять дробу. Чому ж тоді все безліч раціональних чисел розглядають іноді як нескінченні десяткові періодичні дроби? Адже крім дробів, вони включають і цілі числа, а також неперіодичні […]...

Найбільший спільний дільник. Взаємно прості числа Завдання. Яке найбільше число однакових подарунків можна скласти з 48 цукерок “Ластівка” і 36 цукерок “Чебурашка”, якщо треба використовувати всі цукерки? Рішення. Кожне з чисел 48 і 36 має ділитися на число подарунків. Тому спочатку випишемо всі дільники числа 48. Отримаємо: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Потім випишемо всі дільники […]...

Логарифмічна функція Функцію виду y=loga (x),де a будь-яке позитивне число не рівне одиниці, називають логарифмічною функцією з основою а. Тут і далі для позначення логарифма ми будемо використовувати наступну нотацію: loga (b)-даний запис буде позначати логарифм b по підставі а. Основні властивості логарифмічної функції: 1.Областю визначення логарифмічної функції буде все безліч позитивних дійсних чисел. Для стислості його […]...

Основні завдання, які вирішуються за допомогою множення натуральних чисел До першого класу завдань, які вирішуються за допомогою множення натуральних чисел, віднесемо завдання на визначення кількості елементів множини, отриманого об’єднанням даної кількості даних однакових множин. Наведемо приклад такого завдання. В один сірникову коробку поміщається 50 сірників. Скільки сірників поміститься в 7 мішків? Зрозуміло, що шукана кількість дорівнює добутку натуральних чисел 50 і 7. До другого […]...

Подільність натуральних чисел Ділення – це дія, зворотне множенню. Розглянемо більш детально ділення натуральних чисел. Натуральними числами називають числа, які використовуються для рахунку. Кожному кількістю предметів рахунку відповідає деяке натуральне число. Якщо предметів для рахунку немає, то використовується значення 0, але при рахунку предметів ми ніколи не починають з 0, і відповідно число 0 не можна віднести до […]...

Що таке епізод в літературі? Епізодом в літературі називають частину сюжету твору зі своїм самостійним оповідних значенням. Епізод має безпосереднє відношення до основної теми твору, але при цьому може бути виділений як окремий розповідь. Тема такого оповідання починається, розкривається і закінчується в одному епізоді, а герої залишаються ті ж, які представлені в основному творі. З часом слово епізод зазнало безліч […]...

Чим відрізняється окружність від кола На уроках геометрії в школі всі ми вивчали властивості різних фігур і ліній. Кожна з них має свої особливості, а часом деякі з них взаємопов’язані один з одним. Взяти для прикладу хоча б коло і окружність – між ними є певна єднальна лінія. Тільки от яка? Давайте разом розберемося в цьому питанні. Окружність являє собою […]...

Матриця – що це таке? Матриця (наголос на першому “а”) це математичний об’єкт, що представляє з себе набір впорядкованих чисел (цілих, дрібних або навіть комплексних). Ці числа записуються, як правило у вигляді квадратної або прямокутної таблиці, над якою можна здійснювати різні операції. Матриці – дуже важливий математичний інструмент, що дозволяє вирішувати безліч завдань від систем рівнянь до оптимізації поставок. Операції […]...

Що таке стандартний вид одночлена? Одночлен – це вираз, що складається з твору чисел і букв (змінних), при цьому змінні можуть бути ступенями з натуральними показниками. Зверніть увагу, що одночлен містить тільки одну арифметичну операцію – множення (ступінь також може бути представлена, як твір). Одночлен не може містити додавання, віднімання, ділення та інших операцій. Однак, якщо вираз складається всього лише […]...

Що таке подібні одночлени? Якщо одночлени складаються з однакових змінних в однакових ступенях, то вони є подібними. Коефіцієнти одночленів при цьому можуть розрізнятися. Приклади подібних одночленів: 3a2 і -4a2; 31 і 45; a2bx4 і 1,4a2bx4; 100y3 і 100y3 Але одночлени -6ab2 і 6ab не є подібними, так як у них змінна b знаходиться в різних ступенях. Подібні одночлени володіють […]...

Інтерактивний – що це таке? Поняття “інтерактивний” означає “містить елемент взаємодії з користувачем, глядачем або читачем”. Саме слово “інтерактивний” складається з “інтер” (між-) і “активний” (дієвий). Сучасні технології дозволяють робити багато речей інтерактивними, тобто такими, в яких користувач може приймати певне участь. Інтерактивним може бути дисплей комп’ютера, виставка в музеї, відеофільм, шкільний урок, театральний спектакль або навіть книга. Способи досягнення […]...

Властивості додавання натуральних чисел Додавання натуральних чисел грунтується на складання 2-х натуральних чисел. Складання 3-х і більше чисел виглядає як послідовне додавання 2-х чисел. Крім того, в силу переместительного і сочетательного властивості додавання, числа, які складаються можна міняти місцями і замінювати будь-2 складаються з чисел за їх сумою. Дія додавання маленьких натуральних чисел можна виробляти в думці або на […]...

Системи найменування чисел Людство розробило 2 сучасні системи найменування чисел – американська (коротка) та європейська (англійська, довга) система найменування чисел. Американська (коротка) система найменування чисел. В американській, або короткої системі найменування чисел, побудова назви кожного великого числа починається з латинської порядкового числівника в кінець якого приставляється суфікс “-ілліон”. Винятком є лише “мільйон”, що є назвою числа тисяча (лат. […]...

Числовые множества Все числу можно отнести к той или иной группе, объединяя их по определенным признакам и свойствам. Простой и понятной множеством чисел являются натуральные числа. определение Натуральные числа – это числа, которые возникают естественным образом при счете предметов. Например: 1,2,3,4 … 1,2,3,4 … Числовые множества принято обозначать латинскими заглавными буквами с двойным штрихом. Множество натуральных чисел […]...

Натуральні числа – загальне уявлення Не позбавлене здорової логіки таку думку: поява завдання рахунки предметів (перший, другий, третій предмет і т. д.) і завдання зазначення кількості предметів (один, два, три предмети і т. д.) зумовило створення інструменту для її вирішення, цим інструментом з’явилися натуральні числа. З цієї пропозиції видно основне призначення натуральних чисел – нести в собі інформацію про кількість […]...

Віднімання натуральних чисел. Властивості різниці Віднімання (зменшення) – одна з 4-х арифметичних операцій (множення, ділення, додавання, віднімання), обернена додаванню. Позначають за допомогою знака ” мінус “−”. Це дія, за допомогою якого за сумою й одним з доданків можна знайти другий доданок. Число, з якого віднімають, називають уменьшаемое, а число, яке віднімаємо, – від’ємник. Підсумок дій віднімання називається різниця. Нехай нам […]...

Що значить ірраціональне число? Всі раціональні числа можна представити у вигляді звичайного дробу. Це стосується і цілих чисел (наприклад, 12, -6, 0), і кінцевих десяткових дробів (наприклад, 0,5; -3,8921), і нескінченних періодичних десяткових дробів (наприклад, 0,11 (23); -3 , (87)). Однак нескінченні неперіодичні десяткові дроби представити у вигляді звичайних дробів неможливо. Вони то і є ірраціональними числами (тобто нераціональними). […]...

Види раціональних виразів Цілий вираз-це математичний вираз, складене з чисел і буквених змінних за допомогою дій додавання, віднімання та множення. Також до цілим відносяться висловлювання, які мають у своєму складі поділ на яке або число, відмінне від нуля. Приклади цілого виразу Нижче представлені кілька прикладів цілих виразів: 1. 12*a ^ 3 + 5*(2*a-1); 2. 7*b 3. 4*y-((5*y +3) […]...