Розклад на множники
Уявімо у вигляді многочлена квадрат суми деяких висловів a і b: (a + b) ^ 2=(a + b)*(a + b)=a ^ 2 + a*b + a*b + b ^ 2=a ^ 2 + 2*a*b + b ^ 2
Формула квадрата суми і квадрата різниці
Вийшло тотожність називають формулою квадрата суми двох виразів. Отже, квадрат суми двох виразів дорівнює сумі квадрата першого виразу, подвоєного твори виразів і квадрата другого виразу. Вираз a ^ 2 + 2*a*b + b ^ 2 називають повним квадратом суми виразів a і b.
Тепер представимо у вигляді многочлена різниця виразів a і b:
(Ab) ^ 2=(ab)*(ab)=a ^ 2 a*ba*b + b ^ 2=a ^ 2 2*a*b + b ^ 2
Це тотожність називають формулою квадрата різниці двох виразів a і b. До речі, з нього випливає, що (ab) ^ 2=(ba) ^ 2. Вираз a ^ 2 2*a*b + b ^ 2 називають повним квадратом різниці виразів a і b.
Квадрат суми декількох доданків
Представляючи у вигляді многочлена виразу (a + b + c) ^ 2, (a + b + c + d) ^ 2, отримуємо:
(A + b + c) ^ 2=a ^ 2 + (b + c) ^ 2 + 2*a*(b + c)=a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2*a*b + 2*b*c + 2*a*c;
(A + b + c + d) ^ 2=(a + b) ^ 2 + (c + d) ^ 2=2*(a + b)*(c + d)=a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 + 2*a*b + 2*a*c + 2*a*d + 2*b*c + 2*b*d + 2*c*d
Існує загальне формулювання для зведення в квадрат суми декількох доданків, а саме: квадрат суми декількох виразів дорівнює сумі квадратів цих виразів і подвоєних творів кожних двох з цих виразів.
Якщо у формулі квадрата суми двох виразів або у формулі квадрата різниці двох виразів поміняти місцями ліву та праву частини, то виходить формула, що дозволяє розкладати на множники тричлени виду a ^ 2 + 2*a*b + b ^ 2 і a ^ 2 + 2*a*b + b ^ 2.
Спосіб знаходження квадрата великого числа
Іноді формулу квадрата суми або квадрата різниці використовують для того, щоб знайти квадрат некруглого числа. Наприклад, потрібно знайти квадрат числа 199. Уявімо 199 як 200 1 і зведемо цю різницю в квадрат:
(200 1) ^ 2=200 ^ 2 2*200*1 + 1 ^ 2=40000 400 + 1=39601, то є 199 ^ 2=39601.
Розглянемо приклад. Розкладіть многочлен на множники:
8x ^ 2 24*x + 10
Рішення. Винесемо за дужки спільний множник 2:
8x ^ 2 24x + 10=2*(4x ^ 2 12x + 5)
Уявімо 5, як 9 4:
2 (4x ^ 2 12x + 5)=2 (4x ^ 2 12x + 9 квітня)
Уявімо 9 як 3 ^ 2, а 4 як 2 ^ 2:
2 (4x ^ 2 12x + 9 4)=2 (4×2 12x + 3 ^ 2 4 ^ 2)
Розкладемо на множники повний квадрат різниці 2х і 3:
2 (4x ^ 2 12x + 3 ^ 2 4 ^ 2)=2 ((2x 3) ^ 2 2 ^ 2)
Розкладемо різницю квадратів виразів 2x 3 і 2 за формулою скороченого множення:
2 ((2x 3) ^ 2 2 ^ 2)=2 ((2x 3) 2) ((2x 3) + 2)=2 (2x-5) (2x 1)
Розглянемо ще один приклад. Розкладіть многочлен на множники:
2x ^ 2 + 28xy + 80y ^ 2 + 36yz + 18z ^ 2
Рішення. Винесемо за дужки спільний множник 2:
2x ^ 2 + 28xy + 80y ^ 2 + 36yz + 18z ^ 2=2 (x ^ 2 + 14xy + 40y ^ 2 + 18yz + 9z ^ 2)
У дужках виділимо повний квадрат різниці x 7y:
2 (x ^ 2 + 14xy + 40y ^ 2 + 9y ^ 2-9y ^ 2-18yz-9z ^ 2)=2 ((x ^ 2 + 14xy + 49y ^ 2)-9y ^ 2-18yz-9z ^ 2)
Уявімо його у вигляді квадрата двочлена:
2 ((x ^ 2 + 14xy + 49y ^ 2)-9y ^ 2-18yz-9z ^ 2)=2 ((x + 7y) ^ 2-(9y ^ 2 + 18yz + 9z ^ 2))
Тепер виділимо повний квадрат суми 3y + 3z і представимо його у вигляді квадрата двочлена:
2 ((x + 7y) ^ 2-(9y ^ 2 + 18yz + 9z ^ 2))=2 ((x + 7y) ^ 2-(3y + 3z) ^ 2)
Тепер розкладемо різниця квадратів в дужках за формулою різниці квадратів:
2 ((x + 7y) ^ 2-(3y + 3z) ^ 2)=2 (x + 7y + 3y + 3z)*(x + 7y-3y-3z)=2 (x + 10y + 3z)*(x + 4y-3z).