Перетворення виразів, що містять ступінь з дробовим показником
Виразом вигляду a (m / n), де n-деяке натуральне число, m-деяке ціле число і підстава ступеня а більше нуля, називається ступінь з дробовим показником. Причому вірним є наступне рівність. n?(am)=a (m / n).
Як ми вже знаємо, числа виду m / n, де n-деяке натуральне число, а m-деяке ціле число, називають дробовими або раціональними числами. З усього вищесказаного отримуємо, що ступінь визначена, для будь-якого раціонального показника ступеня і будь-якого позитивного підстави ступеня.
Для будь-яких раціональних чисел p, q і будь-яких a> 0 і b> 0 вірні такі рівності:
1. (Ap)*(aq)=a (p + q)
2. (Ap): (bq)=a (p-q)
3. (Ap) q=a (p*q)
4. (A*b) p=(ap)*(bp)
5. (A / b) p=(ap) / (bp)
Дані властивості широко використовуються при перетворенні різних виразів, де містяться ступеня з дробовими показниками.
Приклади перетворень виразів, що містять ступінь з дробовим показником
Розглянемо кілька прикладів, які демонструють застосування цих властивостей для перетворення виразів.
1. Обчислити 7 (1/4)*7 (3/4).
7 (1/4)*7 (3/4)=z (1/4 + 3/4)=7.
2. Обчислити 9 (2/3): 9 (1/6).
9 (2/3): 9 (1/6)=9 (2/3-1/6)=9 (1/2)=?9=3.
3. Обчислити (16 (1/3)) (9/4).
(16 (1/3)) (9/4)=16 ((1/3)*(9/4))=16 (3/4)=(24) (3/4)=2 (4*3 / 4)=23=8.
4. Обчислити 24 (2/3).
24 (2/3)=((23)*3) (2/3)=(2 (2*2/3))*3 (2/3)=4*3?(32)=4*3?9.
5. Обчислити (8/27) (1/3).
(8/27) (1/3)=(8 (1/3)) / (27 (1/3))=((23) (1/3)) / ((33) (1/3))=2/3.
6. Спростити вираз ((a (4/3))*b + a*b (4/3)) / (3?a + 3?b)
((A (4/3))*b + a*b (4/3)) / (3?a + 3?b)=(a*b*(a (1/3) + b (1/3))) / (1/3) + b (1/3))=a*b.
7. Обчислити (25 (1/5))*(125 (1/5)).
(25 (1/5))*(125 (1/5))=(25*125) (1/5)=(55) (1/5)=5.
8. Спростити вираз
(A (1/3)-a (7/3)) / (a (1/3)-a (4/3))-(a (-1 / 3)-a (5/3)) / (a (2/3) + a (-1 / 3)).
(A (1/3)-a (7/3)) / (a (1/3)-a (4/3))-(a (-1 / 3)-a (5/3)) / (a (2/3) + a (-1 / 3))=
=((A (1/3))*(1-a2)) / ((a (1/3))*(1-a))-((a (-1 / 3))*(1-a2)) / ((a (-1 / 3))*(1 + a))=
=1 + a-(1-a)=2*a.
Як бачите використовуючи ці властивості, можна значно спростити деякі вирази, які містять ступеня з дробовими показниками.
Related posts:
- Визначення ступеня з натуральним показником Запис виду an називається ступенем. Якщо n може бути тільки натуральним числом (1, 2, 3, 4 …), то запис an називається ступенем з натуральним показником. Далі ми будемо просто говорити “ступінь”. A може бути будь-яким числом: як позитивним, так і негативним, як цілим, так і дробом. a називається підставою ступеня. N – це показник ступеня. […]...
- Перетворення раціональних виразів Цілий вираз-це математичний вираз, складене з чисел і буквених змінних за допомогою дій додавання, віднімання та множення. Також до цілим відносяться висловлювання, які мають у своєму складі поділ на яке або число, відмінне від нуля. Нижче представлені кілька прикладів цілих виразів: 1. 12*a3 + 5*(2*a-1); 2. 7*b; 3. 4*y-((5*y + 3) / 5)-1. Якщо ж […]...
- Що таке ступінь числа Першими арифметичними діями з числами, які освоїв людина, були додавання і віднімання. У міру накопичення знань у людей з’являлися нові потреби. Наприклад, коли виникла необхідність складати (або віднімати) багато разів одні й ті ж числа, людина придумала операції множення і ділення. Через деякий час, коли треба було проводити багаторазові операції множення (або поділу) одних і […]...
- Квадрат суми і різниці двох виразів Загальне правило множення многочленів свідчить, що необхідно кожен член многочлена помножити на кожен член іншого многочлена, і отримані твори скласти. Формули скороченого множення Але існує декілька випадків, коли множення виробляти повністю не треба, а існують вже готові формули, звані в алгебрі формулами скороченого множення многочленів або просто формулами скороченого множення. Зробимо множення двох многочленів (a […]...
- Види раціональних виразів Цілий вираз-це математичний вираз, складене з чисел і буквених змінних за допомогою дій додавання, віднімання та множення. Також до цілим відносяться висловлювання, які мають у своєму складі поділ на яке або число, відмінне від нуля. Приклади цілого виразу Нижче представлені кілька прикладів цілих виразів: 1. 12*a ^ 3 + 5*(2*a-1); 2. 7*b 3. 4*y-((5*y +3) […]...
- Ступінь окиснення Ступінь окиснення – це умовний заряд атомів хімічного елемента в сполуці, обчислений з припущення, що всі зв’язки мають іонний тип. Ступені окислення можуть мати позитивне, негативне або нульове значення, тому алгебраїчна сума ступенів окиснення елементів у молекулі з урахуванням їх числа атомів дорівнює 0, а в іоні – заряду іона. 1. Ступені окислення металів у […]...
- Перетворення цілого висловлювання на многочлен У математиці існує багато різних виразів. Деякі з них мають своє, закріплене за ними назву. Розглянемо одне з них. Цілий вираз Цілий вираз-це математичний вираз, складене з чисел і буквених змінних за допомогою дій додавання, віднімання та множення. Також до цілим відносяться висловлювання, які мають у своєму складі поділ на яке або число, відмінне від […]...
- Ступінь окислення Коли атоми взаємодіють і утворюють хімічний зв’язок, електрони між ними в більшості випадків розподіляються нерівномірно, оскільки властивості атомів розрізняються. Більш електронегативний атом сильніше притягує до себе електронну щільність. Атом, який притягнув до себе електронну щільність, набуває частковий негативний заряд δ-, його “партнер” – частковий позитивний заряд δ +. Якщо різниця електронегативності атомів, що утворюють зв’язок, […]...
- Квадратний корінь з ступеня Квадратним коренем з числа a називають таке число, квадрат якого дорівнює a. Наприклад, числа-5 і 5 є квадратними коренями з числа 25. Тобто, корені рівняння x ^ 2=25, є квадратними коренями з числа 25. Тепер необхідно навчитися витягувати квадратний корінь з ступеня. Є два основних правила: Правило № 1 Якщо a>=0 і n-деяке натуральне число, […]...
- Валентність і ступінь окиснення Валентність хімічного елемента визначає скільки одинарних хімічних зв’язків здатні утворювати атоми цього елемента з іншими атомами. Атоми багатьох хімічних елементів можуть проявляти різну валентність. Хімічний зв’язок утворює загальна електронна пара двох атомів, яка утворюється в ковалентного зв’язку. Таким чином, валентність атомів визначається тільки в ковалентних сполуках. У іонної та металевої зв’язку немає загальних електронних пар, […]...
- Таблиця ступенів Ступенем числа в математиці називають твір кількох однакових множників. Ступінь числа може становити 1 тільки тоді, коли його основа дорівнює 1, а показник ступеня будь-яке число. А також у тому випадку, коли ступінь числа дорівнює 0 (за умови, якщо основа не дорівнює 0). Ступінь числа з натуральним показником n, який є великим за одиницю називається […]...
- Числові вирази Запис, яка складається з чисел, знаків і дужок, а також має сенс, називається числовим виразом. Наприклад, такі записи: (100-32)/17, 2*4 +7, 13, 4*0. 7-3/5, 1/3 +5/7 будуть числовими виразами. Слід розуміти, що одне число теж буде числовим виразом. У нашому прикладі, це число 13. А, наприклад, такі записи 100-*9, /32) 343 (*5 🙂 ні бути […]...
- Перетворення рівнянь Перетворення рівнянь ми проводимо при вирішенні рівнянь, коли послідовно замінюємо компоненти рівняння, поки не отримано найбільш просте х = а або сукупність рівнянь такого виду. При цьому можуть застосовуватися такі методики: приведення подібних, додати (відняти) від обох частин рівняння алгебраїчний вираз або окреме число помножити (поділити) обидві частини рівняння, піднесення до степеня обох частин рівняння […]...
- Друга і третя ступінь розвитку суспільства Перехід від збирання і полювання до землеробства і скотарства був викликаний необхідністю древніх людей забезпечити себе і свій рід стабільними джерелами їжі. Перехід від привласнюючого господарства до виробництва Перше господарське виробництво розвивалося завдяки двом факторам: праці та удосконаленню знарядь праці. Люди розуміли, що виробляє господарство більш надійне, ніж присвоюване. Життя людини стала залежати не від […]...
- Властивості ступенів з однаковими показниками Як розмножаться (або діляться) два ступені, у яких різні підстави, але однакові показники, то їх підстави можна перемножити (або поділити), а показник ступеня у результату залишити таким же як у множників (або діленого і дільника). У загальному вигляді на математичному мові ці правила записуються так: am × bm = (ab) m am ÷ bm = […]...
- Визначення кореня n-го ступеня Розглянемо наступний приклад. x4=16. Ми можемо записати це рівняння в наступному вигляді: X4-16=0 або використовуючи формулу різниці квадратів так: (X2-4)*(x2 +4)=0. Твір двох співмножників дорівнює нулю, якщо хоча б один з них дорівнює нулю. Вираз x2 +4 не може дорівнювати нулю, отже, залишається тільки (x2-4)=0. Вирішуємо його, отримуємо дві відповіді. Відповідь: x=-2 і x=2. Отримали, […]...
- Види мовних виразів Пропозиція – це знакова форма для передачі думок. Якщо думка являє собою питання, то вона виражається питальним реченням. Якщо ми маємо справу з імперативом, то – спонукальним пропозицією. Якщо ж мова йде про судження, тобто думки про затвердження або запереченні наявності деякої ситуації в світі, то його виражають за допомогою оповідних пропозицій. Варто відзначити, що […]...
- Радіоактивні перетворення Численні експерименти з радіоактивними речовинами показали, що радіоактивність супроводжується змінами атомів, і в результаті цих змін одні хімічні елементи перетворюються на інші. Положення хімічного елемента в таблиці Менделєєва визначається числом електронів в нейтральному атомі, або, що те ж саме – зарядом ядра атома. Тому перетворення хімічних елементів означають, що в результаті радіоактивних процесів зміни зазнають […]...
- Радіоактивні перетворення атомних ядер У 1903 р (т. Е. Ще до виявлення існування атомних ядер) Резерфорд і його співробітник, англійський хімік Фредерік Содді, виявили, що радіоактивний елемент радій в процесі?-розпаду (т. Е. Мимовільного випромінювання?-частинок) перетворюється в інший хімічний елемент – радон. Радій і радон відрізняються за своїми фізичними і хімічними властивостями. Радій – метал, при звичайних умовах він знаходиться […]...
- Формули скороченого множення Математичні вирази (формули) скороченого множення (квадрат суми і різниці, куб суми і різниці, різниця квадратів, сума і різниця кубів) вкрай не замінимі в багатьох областях точних наук. Ці 7 символьних записів незамінні при спрощенні виразів, розв’язанні рівнянь, при множенні багаточленів, скорочення дробів, рішення інтегралів і в чому іншому. А значить буде дуже корисно розібратися як […]...
- Просування сайтів через статті, що містять ключові слова Просування сайтів через статті, що містять ключові слова під високочастотні і низькочастотні запити Якісний текстовий контент покликаний виводити сайти в топи по пошуковим системам (Гуглу, Яндексу і ін.). При використанні найбільш популярних (або т. зв. низькочастотних) запитів це реально. Наприклад, якщо людина-користувач має намір купити велосипед, він швидше за все введе в рядок пошуку словосполучення […]...
- Властивості ступенів з основами Існує три властивості ступенів з підставами і натуральними показниками. Твір двох ступенів з підставами одно висловом, де підстава те ж саме, а показник є сума показників вихідних множників. Приватне двох ступенів з підставами одно висловом, де підстава те ж саме, а показник є різниця показників вихідних множників. Зведення ступеня числа в ступінь одно висловом, в […]...
- Вирази зі змінними Розглянемо невелику задачу, яка часто зустрічаються в різних журналах і фокусах. Фокусник пропонує загадати вам деяке число. Далі просить помножити його на три, а до отриманого результату додати шість. Потім він просить розділити отриману суму на три і відняти з результату отримане число. Далі він говорить вам вірну відповідь. Як же так відбувається, невже це […]...
- Діаграма ізотермічного перетворення аустеніту Для вивчення ізотермічного перетворення аустеніту невеликі зразки стали нагрівають до температур, відповідних існуванню стабільного аустеніту, т. Е. Вище критичної точки, а потім швидко охолоджують, наприклад до +700, +600, +500, +400, +300 ° C і т. д., і витримують при цих температурах до повного розпаду аустеніту. Ізотермічне перетворення аустеніту евтектоїдной стали відбувається в інтервалі температур від […]...
- Додаток №3 – КАРТКИ для підсумкового контролю до розділу – “СВІТ ФАНТАЗІЇ, МУДРОСТІ” – (комплексні завдання, які містять літературознавчий і мовленнєвий компоненти) Методичний коментар. Цей вид контролю проводиться в кінці першого півріччя як підсумковий. Завдання до карток носять комплексний трирівневий характер: 1, 2 – це тести за видами мовленнєвої діяльності, 3, 4 – тести на виявлення знань основних літературознавчих понять (репродуктивний рівень), оцінюється кожен одним балом; 5 – конструктивне з елементами лінгвістичного аналізу (2 бала); 6 – […]...
- Логарифми та їх властивості Розглянемо рівняння ax=b, при a > 0 і a не дорівнює одиниці. Це рівняння не має рішень при b меншому або рівним нулю. І має єдине рішення при b > 0.Дане рішення називають логарифмом b по підставі ab і позначають таким чином: Loga (b) Логарифмом числа b по підставі f називається показник ступеня, в яку […]...
- Формули подвійного кута Формули додавання дозволяють виразити sin (2*a), cos (2*a) і tg (a) через тригонометричні функції кута a. 1. cos (a + b)=cos (a)*cos (b)-sin (a)*sin (b). 2. sin (a + b)=sin (a)*cos (b) + cos (a)*sin (b). 3. tg (a + b)=(tg (a) + tg (b)) / (1-tg (a)*tg (b)). Покладемо в цих формулах a=b. В […]...
- Що таке стандартний вид одночлена? Одночлен – це вираз, що складається з твору чисел і букв (змінних), при цьому змінні можуть бути ступенями з натуральними показниками. Зверніть увагу, що одночлен містить тільки одну арифметичну операцію – множення (ступінь також може бути представлена, як твір). Одночлен не може містити додавання, віднімання, ділення та інших операцій. Однак, якщо вираз складається всього лише […]...
- Зведення дробу до степеня Дріб являє собою відношення чисельника до знаменника, причому знаменник не повинен дорівнювати нулю, а чисельник може бути будь-який. При зведенні будь дробу в довільну ступінь потрібно зводити окремо числівник і знаменник дробу в цей ступінь, після чого ми повинні ці ступеня порахувати і таким чином отримаємо дріб, зведену в ступінь. Наприклад: (2/7) ^ 2=2 ^ […]...
- Водневий показник pH Напевно, багато хто чув про такий показник, як pH. Наприклад, в деяких рекламах засобів гігієни рекламодавець звертає увагу потенційного покупця на те, що його продукт (крем, мило та ін.) Має нейтральний показником pH. Що ж це за “звір” такий pH, і що він означає? PH – це водневий показник речовини, що відображає його кислотність через […]...
- Степенева функція Функції у = ах, у = ax2, у = а/х – є приватними видами степеневої функції при n = 1, n = 2, n = -1. Так як нульова ступінь всякого числа, не рівного нулю, дорівнює одиниці, то при n = 0 степенева функція стає постійною величиною, тобто у = а. Пояснимо докладніше: вираз нуль […]...
- Перетворення координат Як вже було зазначено, координати точки відносно, вони змінюються при переході в іншу систему координат. У багатьох випадках, потрібно перейти з однієї системи координат в іншу. Отримаємо формули таких перетворень для одного окремого випадку – зсуву початку відліку на площині. Нехай на відомій площині задано дві декартові системи координат XOY (яку умовно назвемо “вихідної”) і […]...
- Подільність натуральних чисел Ділення – це дія, зворотне множенню. Розглянемо більш детально ділення натуральних чисел. Натуральними числами називають числа, які використовуються для рахунку. Кожному кількістю предметів рахунку відповідає деяке натуральне число. Якщо предметів для рахунку немає, то використовується значення 0, але при рахунку предметів ми ніколи не починають з 0, і відповідно число 0 не можна віднести до […]...
- Обмін речовин і перетворення енергії в клітині Основою життєдіяльності клітини і організму є обмін речовин і перетворення енергії. Обмін її вин і перетворення енергії – сукупність всіх реакцій розпаду і синтезу, що протікають в клітині або у всьому організмі, пов’язаних з виділенням або поглинанням енергії. Обмін речовин і перетворення енергії складається з двох взаємопов’язаних, але протилежних процесів – асиміляції і дисиміляції (рис. […]...
- Таблиця квадратів натуральних чисел Таблиця квадратів натуральних чисел від 1 до 100. Квадрат числа визначення: квадратом числа називається результат множення числа на точно таке ж число. Кажуть, що для того, щоб звести число в квадрат, потрібно це число помножити саме на себе. За математичну точність наведених визначень я відповідальності не несу, написав, як розумію. Для бюрократів від математики раджу […]...
- Початок перетворення людиною природи Першими заняттями людини, що виділився з тваринного світу, були полювання і збирання. Мільйони років люди користувалися тільки тим, що давала їм навколишнє середовище. При цьому кожен крок з розширення освоєної людиною території вимагав щоденних зусиль багатьох поколінь. Будь-який такий крок – виготовлення і вдосконалення знарядь праці, оволодіння вогнем, винахід лука і стріл, початок будівництва жител, […]...
- Квадратний тричлен та його корінь Квадратним тричленної називають тричлен виду: A*x2 + b*x + c, Де A, b, c – деякі довільні речові (дійсні) числа; X – змінна. Причому число а не повинно дорівнювати нулю. Числа a, b, c називаються коефіцієнтами. Число а-називається старшим коефіцієнтом, число b коефіцієнтом при х, а число с називають вільним членом. Коренем квадратного тричлена a*x2 […]...
- Розкладання на множники суми і різниці кубів Для розкладання на множники суми кубів потрібно використовувати одну з формул скороченого множення. Вона має назву “сума кубів”: A ^ 3 + b ^ 3=(a + b)*(a ^ 2-a*b + b ^ 2); Сума кубів Ми можемо перевірити це тотожність. Для цього перемножимо два многочлена стоять у правій частині тотожності (a + b) і (a […]...
- Винесення спільного множника за дужки Розглянемо кілька прикладів винесення спільного множника за дужки, щоб стало зрозуміліше, як це робити. Приклади винесення спільного множника за дужки Приклад 1. Завдання розкласти многочлен на множники А) 2x +6 y Б) a ^ 3 + a ^ 2 В) 4*a ^ 3 +6*a ^ 2 Г) 12*a*b ^ 4 18*a ^ 2*b ^ 3*c […]...
- Твір на тему: Інтелектуальне і моральне перетворення Елізи Дулітл (За п’єсою Б. Шоу “Пігмаліон”) П’єса “Пігмаліон” – одна з найкращих драм англійського письменника Бернарда Шоу. Захоплює вона одразу – з першого рядка! Ти ніби опиняєшся в далекій Англії, а персонажі п’єси – твої давні знайомі… Рясний літній дощ ллє, як із відра. Ту т і там несамовито верещать свистки”; а ми біжимо, щоб сховатися під портиком церкви св. Павла. […]...