Перетворення раціональних виразів
Цілий вираз-це математичний вираз, складене з чисел і буквених змінних за допомогою дій додавання, віднімання та множення. Також до цілим відносяться висловлювання, які мають у своєму складі поділ на яке або число, відмінне від нуля.
Нижче представлені кілька прикладів цілих виразів:
1. 12*a3 + 5*(2*a-1);
2. 7*b;
3. 4*y-((5*y + 3) / 5)-1.
Якщо ж у виразі присутня розподіл на змінну або на інший вираз містить змінну, то такий вираз не є цілим. Такий вираз називається дробовим. Дамо повне визначення дробового виразу.
Дробове вираження-це математичний вираз, який крім дій додавання, віднімання та множення, виконаних з числами і літерними змінними, а також ділення на число не рівне нулю, містить так само поділ на вираження з літерними змінними.
Приклади дробових виразів:
1. (12*a3 + 4) / a;
2. 7 / (x + 3);
3. 4*x-((5*y + 3) / (5-y)) + 1.
Дробові і цілі вираження складають два великі безлічі математичних виразів. Якщо ці множини об’єднати, то отримаємо нове безліч, яке називається раціональними виразами. Таким чином, раціональні вирази-це всі цілі і дробові вирази.
Одним з окремих випадків раціональних виразів буде дріб, чисельник і знаменник якої многочлени. Для такої дробу в математиці теж існує своя назва-раціональна дріб. Раціональна дріб буде мати сенс у тому випадку, якщо її знаменник не дорівнює нулю. Тобто допустимими будуть усі значення змінних, при яких знаменник дробу відмінний від нуля.
Перетворення раціональних виразів
Перетворення раціональних виразів завжди можна звести додавання, віднімання, ділення і множення раціональних дробів.
Як ми вже знаємо, суму, різницю, добуток і частку раціональних дробів завжди можна представити у вигляді деякої раціональної дробу.
Це прямо випливає з правил проведення дій з дробами. З цього факту випливає, що будь-яке раціональне вираз можна представити у вигляді раціонального дробу. Розглянемо наступний приклад перетворення раціонального виразу:
X + 1-(1 / (x + 2))*(x2-4 / x).
Першою дією виконаємо множення дробів:
(1 / (x + 2))*(x2-4 / x)=(x2-4) / ((x + 2)*x)=((x + 2)*(x-2)) / ((x + 2)*x)=(x-2) / x
Тепер віднімемо отриманий результат з многочлена (х + 1):
X + 1-(x-2) / x=(x*(x + 1)-(x-2)) / x=(x2 + x-x + 1) / x=(x2 + 2) / x.
Таким чином, ми перетворили раціональний вираз до виду раціональної дробу.
Відповідь: x + 1-(1 / (x + 2))*(x2-4 / x)=(x2 + 2) / x.
Варто відзначити, що перетворення можуть вестися різними шляхами, але при цьому завжди буде отримувати однакові результати.
Related posts:
- Види раціональних виразів Цілий вираз-це математичний вираз, складене з чисел і буквених змінних за допомогою дій додавання, віднімання та множення. Також до цілим відносяться висловлювання, які мають у своєму складі поділ на яке або число, відмінне від нуля. Приклади цілого виразу Нижче представлені кілька прикладів цілих виразів: 1. 12*a ^ 3 + 5*(2*a-1); 2. 7*b 3. 4*y-((5*y +3) […]...
- Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками Вираз виду a / b називається алгебраїчної дробом. Тут а є чисельником цього дробу, а b її знаменником. Наведемо ще кілька прикладів алгебраїчних дробів: (A + b) / (a-b); (X*(a + c)) / (y*(a-c)); Дроби з різними знаменниками Чисельник і знаменник алгебраїчної дробу-деякі алгебраїчні вирази. Варто відзначити, що знаменник алгебраїчної дробу не повинен бути рівний […]...
- Основна властивість дробу Вираз виду a / b називається алгебраїчної дробом. Тут а є чисельником цього дробу, а b її знаменником. Варто навести ще кілька прикладів алгебраїчних дробів: (A + b) / (ab); 2 / (a + b); (ac) / b; (x*(a + c)) / (y*(ac)); Чисельник і знаменник алгебраїчної дробу-деякі алгебраїчні вирази. Якщо ми замість літер, які […]...
- Перетворення виразів, що містять ступінь з дробовим показником Виразом вигляду a (m / n), де n-деяке натуральне число, m-деяке ціле число і підстава ступеня а більше нуля, називається ступінь з дробовим показником. Причому вірним є наступне рівність. n?(am)=a (m / n). Як ми вже знаємо, числа виду m / n, де n-деяке натуральне число, а m-деяке ціле число, називають дробовими або раціональними числами. […]...
- Перетворення цілого висловлювання на многочлен У математиці існує багато різних виразів. Деякі з них мають своє, закріплене за ними назву. Розглянемо одне з них. Цілий вираз Цілий вираз-це математичний вираз, складене з чисел і буквених змінних за допомогою дій додавання, віднімання та множення. Також до цілим відносяться висловлювання, які мають у своєму складі поділ на яке або число, відмінне від […]...
- Квадрат суми і різниці двох виразів Загальне правило множення многочленів свідчить, що необхідно кожен член многочлена помножити на кожен член іншого многочлена, і отримані твори скласти. Формули скороченого множення Але існує декілька випадків, коли множення виробляти повністю не треба, а існують вже готові формули, звані в алгебрі формулами скороченого множення многочленів або просто формулами скороченого множення. Зробимо множення двох многочленів (a […]...
- Раціональні числа – це періодичні дроби Як відомо, безліч раціональних чисел (Q) включає в себе безлічі цілих чисел (Z), яке в свою чергу включає безліч натуральних чисел (N). Окрім цілих чисел в раціональні числа входять дробу. Чому ж тоді все безліч раціональних чисел розглядають іноді як нескінченні десяткові періодичні дроби? Адже крім дробів, вони включають і цілі числа, а також неперіодичні […]...
- Зведення дробу до степеня Дріб являє собою відношення чисельника до знаменника, причому знаменник не повинен дорівнювати нулю, а чисельник може бути будь-який. При зведенні будь дробу в довільну ступінь потрібно зводити окремо числівник і знаменник дробу в цей ступінь, після чого ми повинні ці ступеня порахувати і таким чином отримаємо дріб, зведену в ступінь. Наприклад: (2/7) ^ 2=2 ^ […]...
- Які бувають дроби Якщо за допомогою натуральних чисел людина навчилася рахувати, то дробу знадобилися нашим предкам, щоб ділити ціле на частини. Існує два види дробів: Десятковий дріб: 0,2 21,90 5,01 Звичайна дріб: 2/5 4/10 11/2 Десяткові дроби Десяткова дріб – це такий запис числа, в якій правіше розряду одиниць ставиться кома після якої запісиватся дрібна частина числа (частина […]...
- Рішення задач за допомогою раціональних рівнянь Раціональні рівняння-це рівняння, у яких ліва і праві частини є раціональними виразами. Якщо в раціональному рівнянні ліва або права частини будуть дробовими виразами, то таке раціональне рівняння називається дробовим. Рішення дробового раціонального рівняння Для початку ознайомимося з дробовими раціональними рівняннями. Загальна схема рішення дробового раціонального рівняння. 1. Знайти спільний знаменник всіх дробів, які входять в […]...
- Переклад періодичних дробів у звичайні Нехай x – це шукана звичайна дріб для періодичного десяткового дробу 0, (83), т. Е. X = 0, (83) або x = 0,83 (83) Довжина періоду дробу дорівнює двом. Помножимо обидві частини рівняння на 100, щоб період дробу був представлений і цілим числом також: 100x = 83, (83) або 100x = 83 + 0, (83) […]...
- Рішення рівнянь із змінною в знаменнику Існують декілька шляхів (способів) рішення рівнянь зі змінною в знаменнику дробу. Один із способів полягає в тому, що в ліву частину переносяться всі члени рівняння, з правого залишається 0. Далі всі члени рівняння приводяться до спільного знаменника. Дріб може дорівнювати нулю, якщо її чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю. Значить, треба вирішити рівняння, […]...
- Довести, що немає раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2 Доказ ведуть від протилежного. Припустимо, що існує якесь дробове число, при зведенні якого в квадрат можна отримати два: (p / q) 2 = 2. При цьому ця дріб нескоротного (т. Е. Все скорочення вже виконані). Запишемо рівняння так: p2 / q2 = 2. Помножимо обидві частини рівнянь на q2, отримаємо: p2 = 2q2. Вираз 2q2 […]...
- Числові вирази Запис, яка складається з чисел, знаків і дужок, а також має сенс, називається числовим виразом. Наприклад, такі записи: (100-32)/17, 2*4 +7, 13, 4*0. 7-3/5, 1/3 +5/7 будуть числовими виразами. Слід розуміти, що одне число теж буде числовим виразом. У нашому прикладі, це число 13. А, наприклад, такі записи 100-*9, /32) 343 (*5 🙂 ні бути […]...
- Що таке ступінь числа Першими арифметичними діями з числами, які освоїв людина, були додавання і віднімання. У міру накопичення знань у людей з’являлися нові потреби. Наприклад, коли виникла необхідність складати (або віднімати) багато разів одні й ті ж числа, людина придумала операції множення і ділення. Через деякий час, коли треба було проводити багаторазові операції множення (або поділу) одних і […]...
- Як виглядають вирази в алгебрі Цифрами ми вже звикли рахувати в магазині, в якихось іграх і в інших ситуаціях. Для цього ми оперуємо цифровими виразами. Наприклад, нам треба купити 2 буханки хліба по 30 гривень. 2 * 30 = 60 У цифровому вираженні є цифри і дробу (, і т. д.) Цифрові вираження можуть містити додавання, віднімання, дужки і інші […]...
- Властивості множення Множення – одне з чотирьох основних арифметичних дій, бінарна математична операція, в якій один аргумент складається стільки разів, скільки показує інший. Добуток чисел m і n – це сума n доданків, кожне з цих доданків = m. Вираз типу m – n, і значення такого виразу називається добуток чисел m і n. Числа m і […]...
- Коефіцієнт І сполучна властивості множення дозволяють спрощувати вирази. Приклад 1. Спростимо вираз 0,3А – (-0,7b). Рішення. Цей вираз є твором чотирьох множників: 0,3 – а – (-0,7) – b. Згрупувавши окремо числові і окремо літерні множники, отримаємо: 0,3А – (-0,7b) = 0,3 – а – (-0,7) – b = (0,3 – (-0,7)) – (а – b) […]...
- Властивості десяткових дробів 1. Десяткова дріб не змінюється, якщо справа додати нулі: 4,5 = 4,5000. 2. Десяткова дріб не змінюється, якщо видалити нулі, розташовані в кінці десяткового дробу: 0,0560000 = 0,056. 3. Десятковий дріб зростає в 10, 100, 1000 і т. Д. Раз, якщо перенести десяткову точку на одну, дві, три і т. Д. Позиції вправо: 4,5 ? […]...
- Перетворення рівнянь Перетворення рівнянь ми проводимо при вирішенні рівнянь, коли послідовно замінюємо компоненти рівняння, поки не отримано найбільш просте х = а або сукупність рівнянь такого виду. При цьому можуть застосовуватися такі методики: приведення подібних, додати (відняти) від обох частин рівняння алгебраїчний вираз або окреме число помножити (поділити) обидві частини рівняння, піднесення до степеня обох частин рівняння […]...
- Розкладання на множники суми і різниці кубів Для розкладання на множники суми кубів потрібно використовувати одну з формул скороченого множення. Вона має назву “сума кубів”: A ^ 3 + b ^ 3=(a + b)*(a ^ 2-a*b + b ^ 2); Сума кубів Ми можемо перевірити це тотожність. Для цього перемножимо два многочлена стоять у правій частині тотожності (a + b) і (a […]...
- Раціональні нерівності Раціональні нерівності – це нерівності типу h (x)> g(x), де h, g увазі раціональні вирази. Під раціональними виразами прийнято розуміти такі алгебраїчні вирази, які складаються з чисел, змінної x з застосуванням операції додавання, віднімання, множення, ділення, зведення у натуральну ступінь. Природно, змінну можна висловити будь довільною буквою, але так вже вийшло, що в математиці найбільш […]...
- Формули скороченого множення Математичні вирази (формули) скороченого множення (квадрат суми і різниці, куб суми і різниці, різниця квадратів, сума і різниця кубів) вкрай не замінимі в багатьох областях точних наук. Ці 7 символьних записів незамінні при спрощенні виразів, розв’язанні рівнянь, при множенні багаточленів, скорочення дробів, рішення інтегралів і в чому іншому. А значить буде дуже корисно розібратися як […]...
- Рішення раціональних нерівностей Вирішити раціональне нерівність, як і будь-яка інша, означає знайти всі його рішення. При їх вирішенні необхідно розуміти різницю між рішення рівнянь і нерівностей. Коли вирішують рівняння, то отримують одне, два, три – якусь кількість рішень. Кожен з коренів можна підставити і перевірити чи є він відповіддю чи ні. Отже, методом підстановки вийде перевірити рішення рівнянь. […]...
- Раціональні рівняння Раціональні рівняння – це рівняння, в яких обидві складові сторони представляють собою раціональні вирази виду: s(x) = 0, або більш широко: s(x) = b(x), де s(x), b(x) – раціональні вирази. Раціональні рівняння – це рівняння, в яких обидві складові сторони представляють собою раціональні вирази виду: S(x) = 0, Або більш широко: S(x) = b(x), Де […]...
- Дійсні числа Поняття дійсного числа Дійсне число – будь-яке невід’ємне або від’ємне число або нуль. З допомогою дійсних чисел виражають вимірювання кожної фізичної величини. Речовий або дійсне число виникло необхідності вимірювань геометричної і фізичної величин світу. Крім того, для проведення операцій добування кореня, обчислення логарифма, вирішення алгебраїчних рівнянь і т. д. Натуральні числа утворилися з розвитком рахунку, […]...
- Множення многочлена на многочлен Для множення многочлена на многочлен слід скористатися розподільним законом множення щодо складання: M (A + B + C) = Am + Bm + Cm Єдина і істотна обмовка – один з двох многочленів, які перемножуються, будемо вважати єдиним цілим (m). Нічого складного в операції множення двох многочленів немає, все, що треба – це уважність і […]...
- Властивості дій над числами Додавання A, b-числа, над якими виконується складання, с-результат складання. Додавання багатозначних чисел проводиться порозрядно. Приклад: 9067542 + 34981=9102523 Закони додавання. 1) переместітельний: a + b=b + a; Приклад. 310 + 1454=1454 + 310. Яким би ми способом не складали результат буде дорівнює 1764. 2) сполучний: (a + b) + c=a + (b + c); Приклад: […]...
- Раціональні числа та основні властивості дій з ними Математика ділить числа і позначення на безліч груп, що перетинаються між собою і абсолютно незалежних, і пропонує методи спрощення будь-якого завдання. Сюди входить можливість перестановки членів в числовому вираженні, заміна знаків і багато іншого. Правила, за якими можна звертатися з раціональними числами, називаються властивостями дій з цими числами. Розглянемо детальніше, що необхідно знати про цю […]...
- Перетворення координат Як вже було зазначено, координати точки відносно, вони змінюються при переході в іншу систему координат. У багатьох випадках, потрібно перейти з однієї системи координат в іншу. Отримаємо формули таких перетворень для одного окремого випадку – зсуву початку відліку на площині. Нехай на відомій площині задано дві декартові системи координат XOY (яку умовно назвемо “вихідної”) і […]...
- Чому не можна ділити на нуль? “Ділити на нуль не можна!” – більшість школярів заучивает це правило напам’ять, що не переймаючись питаннями. Всі діти знають, що таке “не можна” і що буде, якщо у відповідь на нього запитати: “Чому?” Але ж насправді дуже цікаво і важливо знати, чому не можна ділити на нуль. Вся справа в тому, що чотири дії арифметики […]...
- Правила розкриття дужок Дужки досить часто використовуються в алгебраїчних виразах, з їх допомогою встановлюється пріоритет математичних (логічних) операцій – дужки визначають в якій черговості будуть проводитися обчислення. Якщо в алгебраїчному виразі присутні дужки, то в першу чергу виконуються дії, укладені в дужки. 3 – (5 + 2) = 3 – 7 = 21 3 – 5 + 2 […]...
- Точки перетворення Високотемпературний твердий розчин CuFeS2 (або CuAFeJ (Sx + J) j FeS (“халькопірротін”) виділяється в багатьох силікатах магматичних порід у вигляді крапель і тим самим показує, що температура його виділення, згідно діаграмі Мервіна і Ломбарду, повинна приблизно відповідати 950 ° (при цьому мається складна трифазна система і невизначене тиск парів сірки). Вісмут плавиться при більш низьких […]...
- Діаграма ізотермічного перетворення аустеніту Для вивчення ізотермічного перетворення аустеніту невеликі зразки стали нагрівають до температур, відповідних існуванню стабільного аустеніту, т. Е. Вище критичної точки, а потім швидко охолоджують, наприклад до +700, +600, +500, +400, +300 ° C і т. д., і витримують при цих температурах до повного розпаду аустеніту. Ізотермічне перетворення аустеніту евтектоїдной стали відбувається в інтервалі температур від […]...
- Що таке замкнута безліч? Поняття “замкнутий безліч” і “незамкнуте безліч” зазвичай використовують відносно множин чисел і операцій над ними. Якщо над двома елементами одного безлічі виконується яка-небудь арифметична операція, і отриманий результат також належить цій безлічі, то кажуть, що це безліч замкнуто щодо даної операції. Якщо ж результат арифметичної операції над елементами множини не належить цій безлічі, то кажуть, […]...
- Множення – загальне уявлення про цю дію У розділі загальне уявлення про складення ми зв’язали додавання з об’єднанням двох довільних множин. А множення зв’яжемо з об’єднанням деякої кількості “однакових” множин. Пояснимо цей момент, розглянувши пару прикладів. Постійно на слуху фраза: “Він примножив своє багатство”. Слово “примножив” означає, що людина відтворив (і може бути багато разів) то багатство, яким володів. Ще приклад. Уявімо, […]...
- Що значить ірраціональне число? Всі раціональні числа можна представити у вигляді звичайного дробу. Це стосується і цілих чисел (наприклад, 12, -6, 0), і кінцевих десяткових дробів (наприклад, 0,5; -3,8921), і нескінченних періодичних десяткових дробів (наприклад, 0,11 (23); -3 , (87)). Однак нескінченні неперіодичні десяткові дроби представити у вигляді звичайних дробів неможливо. Вони то і є ірраціональними числами (тобто нераціональними). […]...
- Мікрокалькулятор Для зручності і швидкого виконання обчислень в даний час використовують мікрокалькулятори. З їх допомогою можна виконувати арифметичні дії – додавання, віднімання, множення і ділення. Щоб мікрокалькулятор працював, треба перевести перемикач живлення в положення “ВКЛ”. При цьому активізується індикатор (кажуть також “екран”, “табло”). Нижче індикатора розташована клавіатура, на якій є клавіші із зображенням цифр і клавіші […]...
- Радіоактивні перетворення Численні експерименти з радіоактивними речовинами показали, що радіоактивність супроводжується змінами атомів, і в результаті цих змін одні хімічні елементи перетворюються на інші. Положення хімічного елемента в таблиці Менделєєва визначається числом електронів в нейтральному атомі, або, що те ж саме – зарядом ядра атома. Тому перетворення хімічних елементів означають, що в результаті радіоактивних процесів зміни зазнають […]...
- Логічні вирази З логічними величинами і виразами вам вже доводилося мати справу при роботі з базами даних, з електронними таблицями, врозділі “Логічні основи обробки інформації” підручника для 10 класу. Коротко сформулюємо основні правила запису логічних виразів на Паскалі. Логічний вираз є логічна формула, записана на мові програмування. Логічний вираз складається з логічних операндів, пов’язаних логічними операціями і […]...