Некласичний математичний ідеал науковості
Окреслені вище тенденції в розвитку сучасної науки, які потягли за собою зміни самого характеру, норм, ідеалів, критеріїв наукового знання, знайшли своє вираження не тільки в галузі фізики, а й в цитаделі всякої достовірності та точності – математики, ім’ям якої завжди вважалася незаперечність. “І якщо хтось, – як справедливо зауважив У. В. Куайн, – виявляє занепокоєння з приводу підстав математики, то чи не означає це, що стандарти наукової строгості стали суворими? “
І дійсно, занепокоєння з приводу підстав математики найчастіше виникає в критичні моменти, коли здається, що основоположні ідеї стають хиткими, і математики змушені перевіряти їх. Такий критичний момент для математики настав наприкінці XIX ст. у зв’язку зі створенням теорії множин. В ході різних спроб вирішити ситуацію в той період в математиці кризову ситуацію і сформувалися в ній нові стандарти науковості, а саме некласичний ідеалу науковості, основний зміст якого визначається трьома найвпливовішими фундаментальними програмами обгрунтування математичного знання: логіцізма, формалізмом, інтуїтивізмом. Реконструюємо коротко їх зміст.
Як уже зазначалося, інтенсивні дослідження з обгрунтування математики були викликані в кінці XIX ст. кризою її підстав, породженим відкриттям парадоксів в теорії множин. Безуспішність різних спроб подолати ці парадокси підірвали довіру до самої теорії множин Г. Кантора, для якого вона була не чим іншим, як чистої математікой2 і яка спочатку сприймалася математиками як повна, завершена універсальна математична теорія, що утворює фундамент математичного знання. З появою теорії множин склалося враження, що всю математику можна висловити мовою цієї теорії. Це означало, що всі математичні істини можна розглядати як істини з цієї теорії, і всяка математична задача може бути перетворена в задачу теорії множин.
Однак, як не дивно, претензії теорії множин на статус універсального надійного підстави математики привели математичне співтовариство в деяке замішання, бо незабаром очевидним став факт, що подальша доля математики в цілому невідома, невизначена: або перед нею відкриються сприятливі перспективи для подальшого розвитку найважливіших математичних проблем, або теорія множин зіткнеться з такими ж великими труднощами, як і класична математика. Час показав, що вірним виявилося останнє припущення. У зв’язку з ситуацією, кризовою ситуацією було зроблено численні спроби врятувати теорію множин Кантора, а починаючи з 1901 р з’явився цілий ряд інших теорій множин, але жодна з них не мала безперечної переваги перед інший, не була вільна від власних суперечностей. Стало цілком очевидним, що дискредитовані парадоксами теорії множин не можуть і не повинні розглядатися в якості підстави математики. Усвідомлення цього факту змусило вчених здійснити повну ревізію своєї науки. Основним її підсумком була розробка нових підходів до аналізу основних понять, принципів, методів математики. З часом ці підходи оформилися в різні програми її обгрунтування.
Однією з перших була запропонована програма логіцізма, у розробці та реалізації якій взяли участь такі відомі вчені, як німецький логік і математик Готлоб Фреге (1848-1925), італійський математик Джузеппе Пеано (1858-1932) та ін. До логіцізма схилялися американський філософ і логік німецького походження Рудольф Карнап (1891-1970), британський філософ, логік і математик Альфред Уайтхед (1861-1947), американський філософ Нельсон Гудмен (1905-1998) та ін. У зв’язку з парадоксами теорії множин логіцизм був розвинений одним з перших англійським філософом, математиком і логіком Бертраном Расселом (1872-1970).
Під логіцізма розуміють, за словами Р. Карнапа, “ту точку зору, згідно якої математика зводиться до логіки і є не чим іншим, як частиною логіки” 1. Ця теза логіцізма включає в себе дві частини: 1) математичні поняття виведені з логічних понять за допомогою явних визначень; 2) математичні пропозиції виведені з логічних аксіом за допомогою чисто логічних дедукції.
Сама ідея відомості математики до логіки була навіяна Г. Фреге вченням Г. Лейбніца про поділ істин на істини досвіду і розуму. Як і Лейбніц, Фреге був переконаний, що істини логіки і метафізики не є емпіричними, а арифметика споріднена з логікою, але не з фізикою і тому повинна знайти своє остаточне обгрунтування допомогою логіки. Класичну формулювання логіцізма Фреге дав у своїй книзі “Підстави арифметики” (1884), в якій він висунув ідею про те, що логіка є сувора наука, здатна надати точний і однозначний характер основним поняттям математики. При цьому він вважав, що мовою логіки можна адекватно сформулювати фундаментальне поняття такого розділу математики, як арифметика – поняття числа. На відміну від Канта, який, як відомо, вважав, що математичне знання у своїй основі базується на синтетичних апріорних положеннях, Фреге виходив з аналітичної природи математичних суджень, зокрема з того, що закони арифметики являють собою аналітичні судження і тому апріорні. Відповідно до цього арифметика, за його словами, “буде тільки далі розвилася логікою, кожна арифметична теорема – логічним законом, хоча і похідним. Застосування арифметики до пояснення природних явищ буде логічної обробкою спостережуваних фактів, обчислення буде являти собою висновок “.
Спираючись на цю найважливішу епістемологічних думка, Фреге надалі у своїй фундаментальній двотомній праці “Основні закони арифметики” (1903) зробив спробу здійснити повну формалізацію арифметики засобами логіки. І хоча він зміг в якійсь мірі сформулювати арифметику чисто логічно, загалом же його зусилля звести математику до логіки вдалися не більше ніж на половину, бо геометрія ніяк не вписувалася в прокрустове ложе його проекту логизации математики. Це відразу ж стало очевидним, як тільки був відкритий парадоксу Рассела-Цермелло2, що розкрив неспроможність всій його логіцістской програми обгрунтування теорії множин.
Врятувати логіцизм спробував Б. Рассел, який слідом за Фреге наполягав на можливості повного відомості математики до логіки. На думку Рассела, в наш час це стає цілком очевидним, оскільки, якщо історично математика і логіка були абсолютно різними дисциплінами, то сьогодні вони злилися в єдине ціле. “Останнім часом, – писав Рассел, – логіка стала більш математичної, а математика стала більш логічною. Як наслідок цього, зараз неможливо провести між двома дисциплінами розділову лінію. Насправді обидві представляють собою щось єдине. Вони відрізняються так само, як хлопчик і чоловік: логіка є юність математики, а математика – є зрілість логіки “1. У цієї думки сформульований основна теза логіцізма, який полягає в тому, що логіка і математика співвідносяться між собою не як два різні предмети, а як більш рання і пізніша частини одного і того ж предмета, а саме таким чином, що математика може бути повністю отримана з чистої логіки без введення додаткових основних понять або додаткових припущень. Згідно Расселу, це процедура цілком здійсненна, бо математичні поняття можна звести до логічних за допомогою явних визначень, а математичні теореми можуть бути отримані з логічних аксіом за допомогою чисто логічних висновків.
Хоча Рассел і піддав критиці побудови Фреге, все ж він не відкинув його програму в цілому, вважаючи, що логіцизм за умови деякої реформи логіки може бути здійснений. Зрозуміло, логицистами під логікою розуміють нетрадиційну, тобто аристотелевську, логіку, а, за словами відомого американського математика і логіка Алонзо Черча, “теорію дедуктивного міркування плюс все, що буде потрібно в мові-об’єкті або метамові для адекватності, спільності і простоти теорії” 2. Таке розуміння логіки представляє спробу логицистами звести математику до логіки у вигідному світлі, бо тоді виявляється, що логіка в усякому разі є необхідною передумовою для математики, оскільки дедуктивне міркування грає в математиці важливу роль.
Таким чином, логицистами спочатку припускали, що логіка має настільки фундаментальний характер, що зведення математики до неї не тільки можливо, але і бажано, оскільки воно виявило б справжню природу математики.
Озброївшись цій оптимістичній думкою, Рассел проаналізував ситуацію, що склалася в математиці у зв’язку зі створенням теорії множин. Вихідною точкою цього аналізу послужила його ідея про те, що всі логічні парадокси теорії множин випливали з даного Кантором визначення множин, яке дозволяє розглядати як елемент безлічі об’єкти будь-якої природи, в тому числі інші множини. При цьому самі безлічі можуть бути своїми власними елементами. У зв’язку з цим все безлічі підрозділяються на правильні, що не містять себе в якості свого елемента, і неправильні, що включають в число своїх елементів і себе. Парадокс виникає, якщо задатися питанням: до якого типу множин відноситься безліч всіх правильних множин? Таке безліч виявляється одночасно і правильним, оскільки не містить себе в якості свого елемента, і неправильним, оскільки воно є безліч всіх правильних множин і тому має включати і себе в якості правильного множини.
Щоб уникнути парадоксів теорії множин Рассел запропонував в 1908 р теорію типів, суть якої полягає в тому, що висловлювання діляться на класи відповідно до областю визначення. Це означає, що на кожен клас висловлювань накладаються обмеження, а саме: забороняється утворювати класи, які могли б виступати в якості своїх власних елементів. Відповідно до цього між класами висловлювань утворюється сувора ієрархія: перший рівень представляють класи, що містять тільки індивіди, другий – класи, що містять класи індивідів, і т. д. Різні рівні вимагають різних засобів вираження: те, що можна сказати про індивідів, не можна сказати про їх класах, а те, що можна сказати про класи індивідів, не можна сказати про класи класів індивідів і т. д.
Хоча обмеження, що вводяться теорією типів, і виключали можливість виникнення парадоксів, вони в той же час усували ряд важливих результатів математики. Наприклад, забороняли користуватися парадоксальними визначеннями. А це означало виключення з математики деяких важливих теорем, при доказі яких використовуються парадоксальні прийоми.
Разом з тим при побудові теорії типів Рассел змушений був включити в неї аксіоми, що не є чисто логічними, – аксіоми існування, і насамперед аксіому нескінченності, яка стверджує нескінченність предметної області логіки. Але насправді ця аксіома неприйнятна для логіцізма, оскільки вона носить, так само як і інші введені Расселом аксіоми (наприклад, аксіома сводимости), екзистенціальний характер: задає об’єкт з необхідними властивостями, які свідомо не можуть бути представлені як логічних тавтологію.
Проти логіцізма з самого початку були висунуті заперечення загального методологічного характеру. Давид Гільберт бачив в логічному обгрунтуванні математики порочне коло, бо, якщо уважно придивитися, то можна помітити, що при звичайному викладі законів логіки застосовуються вже деякі основні поняття арифметики.
До 20-м рокам XX в. логіцизм був витіснений формалізмом. На противагу логіцізма формалізм виступав проти нескінченності, за що і отримав назву фінітізма. Формалістичний підхід до математики був пов’язаний з розвитком аксіоматичного методу і з висунутої Д. Гильбертом програмою обгрунтування математики. Ця програма пропонувала новий шлях подолання труднощів, що виникли в підставах математики, на основі аксіоматичного методу, формальних моделей змістовної математики і дослідження питань несуперечності таких моделей фінітними засобами.
Під аксіоматичним побудовою теорії Гільберт розумів така побудова, у главу кута якого ставляться основні поняття і гіпотези цієї теорії, подальше утримання якої логічно виводиться з них за допомогою визначень і доказів. Характерною особливістю такого аксіоматичного способу побудови теорії є його абстрактність від конкретного предметного змісту, тобто його формальний характер. А тому Гільберт іменує пропоновану їм аксіоматику формальною. Головна її відмінність від змістовної аксіоматики полягає в “необхідності встановлення її несуперечності” 1.
(1 votes, average: 5.00 out of 5)