Навколо трикутника можна описати коло

Окружність є описаної близько трикутника, якщо всі вершини трикутника лежать на цій окружності. Такий трикутник називається вписаним в коло.

Існує теорема про те, що біля кожного трикутника можна описати коло, притому тільки одну. Доведемо її.

Нехай дано трикутник, до сторін якого проведені серединні перпендикуляри. Як відомо, серединні перпендикуляри трикутника завжди перетинаються в одній точці, і ця точка рівновіддалена від вершин трикутника. Значить, відстань від точки перетину серединних перпендикулярів до кожної з вершин трикутника одне і те ж, що може послужити радіусом одній окружності. І на цій окружності будуть лежати вершини трикутника. Таким чином, вона виявиться описаної біля нього.

Щоб переконатися в вищесказаному, розглянемо малюнок:

Ілюстрація теореми про вписанном трикутнику
Тут дано трикутник ABC. До його сторонам проведені серединні перпендикуляри, які перетинаються в точці O: OP ⊥ AB, OQ ⊥ BC, OR ⊥ CA.

Розглянемо трикутники AOP і BOP. Вони дорівнюють один одному за двома рівним сторонам і куту між ними: OP – загальна сторона, кути при вершині P прямі, AP = BP за умовою (т. К. OP серединний перпендикуляр, а значить ділити AB навпіл). Виходячи з рівності цих трикутників, ми можемо укласти, що AO = BO.

Якщо аналогічно розглянути пари трикутників BOQ і COQ, COR і AOR, то можна прийти до висновку, що BO = CO, а CO = AO.

Отже, відстані від точки перетину серединних перпендикулярів трикутника до вершин цього трикутника однакові. Якщо уявити, що ця відстань дорівнює радіусу кола з центром у точці O, то зрозуміло, що вершини трикутника будуть лежати на цій окружності.

Факт того, що близько будь-якого трикутника можна описати коло, можна вважати доведеним. Це випливає з того, що до сторін будь-якого трикутника можна провести серединні перпендикуляри, які завжди будуть перетинатися в одній точці.

Тепер слід довести, що описана окружність може бути тільки одна. Якщо всі вершини трикутника лежать на колі, то це означає, що центр цієї окружності знаходиться на однаковій відстані від кожної вершини трикутника. Але є тільки одна точка, віддалена від вершин трикутника на одне і те ж відстань – це точка перетину його серединних перпендикулярів. Таким чином немає інших кіл (з іншими центрами та іншими радіусами), які були б описані навколо трикутника.


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (2 votes, average: 3.00 out of 5)

Навколо трикутника можна описати коло