Моделі оцінки реальних опціонів
Незважаючи на велику кількість методик, розроблених для оцінки опціонів, найбільшого поширення набули такі підходи:
? оцінка опціонів допомогою вирішення диференціального рівняння; ? оцінка опціонів з використанням існуючих формул оцінки (приклад – модель Black &; Scholes) або аналітичні моделі; ? оцінка опціонів за допомогою моделювання біномінальної сітки або підходи дерева альтернатив.
Перевагами оцінки опціонів з використанням формул є швидкість, точність і відсутність складних обчислень. Основний недолік – складність в їх розумінні і поясненні, (так як більшість формул оцінки, включаючи формулу Black &; Scholes, були виведені шляхом складних розрахунків в області стохастичних процесів), низька гнучкість і вузька застосовність, у зв’язку з наявністю певних обмежень і припущень.
Так, критики моделі Black &; Scholes стверджують, що вона непридатна для оцінки реальних інвестиційних альтернатив, так як розроблена для оцінки європейських опціонів. У реальності ж американські опціони з можливістю виконання в будь-який момент часу зустрічаються значно частіше, ніж європейські опціони з фіксованою датою виконання. Щодо моделі Мертона можна сказати, що реальні інвестиційні альтернативи не можуть існувати безперервно (що мається на увазі в моделі), незалежно від прав власності або унікальності проекту. Крім того, як правило, інвестиційні альтернативи схильні значно більшій кількості факторів ризику, ніж може врахувати будь елементарна модель оцінки опціонів.
У зв’язку з численними факторами ризику, обмеженням тимчасової можливості реалізації інвестиційних альтернатив і можливості виконання в будь-який момент часу, чисто аналітична оцінка опціонів (тобто оцінка з використанням формул) стає неможливою. Виникає необхідність вдатися до математичних методів аналізу, до яких відносяться Біноміальна модель, модель на основі диференціального рівняння і модель Монте-Карло.
Біномінальної підхід, вперше запропонований Cox, Ross and Rubinstein (1979), зарекомендував себе як ефективний інструмент оцінки інвестиційних альтернатив. Він простий, придатний для розгляду будь-яких послідовностей руху коштів, викликаних використанням базисного активу, а також може бути застосовний для оцінки американських опціонів. Біноміальна модель є наочною ілюстрацією зміни значення вартості базисного активу, тому ідеально підходить для презентацій результатів аналізу. Біномінальні моделі легко піддаються змінам і коректувань, що дуже зручно при розробці планів.
Недолік даного підходу – математична складність обліку більше двох стохастичних факторів.
Головна перевага підходу диференціального рівняння Бреннана-Шварца – його швидкість. Що лежить в його основі функція математичного інтеграла присутній у більшості сучасних математичних програмних продуктів. Однак, як і мережеві підходи, даний підхід відрізняється надмірною математичної складністю, що виникає при розширенні моделі на кілька стохастичних факторів.
Модель Монте-Карло останнім часом привертає до себе все більшу увагу. Оцінка опціонів допомогою даної моделі здійснюється за допомогою комп’ютерного моделювання. Незважаючи на її нездатність оцінювати Американські опціони, модель є ефективним і перспективним інструментом для оцінки інвестицій, здійснюваних при великій мірі невизначеності і наявності безлічі факторів, що впливають на вартість даного проекту.
Оскільки метою даної роботи чинності практично повної відсутності попередніх досліджень теорії реальних опціонів російською мовою є розгляд основ даної теорії для того, щоб донести їх до читача, що не має попередніх знань в даній області, обмежимося розглядом основних моделей оцінки опціонів: моделі Блека і Скоулс, Монте-Карло і біномінальної сітки.
При цьому модель Black &; Scholes, в силу своєї закритості і математичної складності, буде розглянута лише в загальних рисах. Далі буде дано короткий опис моделі Монте-Карло, застосування якої можливо лише за допомогою програмних продуктів. Біноміальна модель, будучи наочною ілюстрацією концепції реальних опціонів, буде розглянута докладно, що допоможе краще зрозуміти суть теорії.
Модель Black &; Scholes дозволяє оцінити опціон на затримку проекту. За допомогою біномінальної моделі можна також здійснити оцінку опціонів виходу, скорочення і розширення, про які буде розказано в подальшому. Підставляючи різні значення в вихідні параметри таблиці і спостерігаючи за зміною результатів, можна прийти до цікавих висновків про особливості ціноутворення опціону.
Розглянемо основні моделі оцінки опціонів.
На користь бінарного підходу можна сказати, що він економить час на проведення розрахунків. Разом з тим часто два вдало підготовлених сценарію, виконаних в контексті прийнятого рішення, можуть замінити велику кількість мало відрізняються один від одного варіантів розвитку подій.
Таким чином, в спрощеному бінарному вигляді оцінка опціонів фактично перетворюється на сценарний підхід аналізу майбутніх грошових потоків за методикою DCF.
Значно складнішим є аналіз реальних опціонів допомогою многоперіодной біномінальної моделі. Даний аналіз ще більш ускладнюється, якщо опціон є американським. В ході проведення такого аналізу ми, рухаючись від кінця дерева до його початку трансформуємо його з дерева майбутніх грошових потоків в дерево цінності бізнесу.
На практиці часто використовують європейські опціони замість американських. Це видається цілком обгрунтованим, тому що в подібних розрахунках важливо дотримати певну частку консерватизму – реальні опціони легко переоцінити, оскільки реальні менеджери зовсім не завжди надходять як раціональні учасники ринку. Крім того, і сам ринок недостатньо інформаційно ефективний, щоб менеджери миттєво могли усвідомити всю необхідність рішучих дій.
На аркуші “Evolution lattice” побачимо, що всі значення в сітці стали рівними 100, а всі значення в сітці “Valuation lattice” – 10. Відсутність невизначеності фактично означає неможливість зміни значення активу з часом. У нашому прикладі Біноміальна сітка фактично стає прямою лінією. При цьому нахил прямої лінії дорівнює нулю, тобто з плином часу не спостерігається тренда до підвищення або зниження вартості активу. Деякі автори відзначають, що в цьому випадку оптимальним буде використання підходу DCF. Необхідно зробити деякі зауваження з приводу цього твердження. Високий ступінь визначеності означає незмінності вартості активу в часі, одержуваної при використанні біномінальної моделі. Може спостерігатися об’єктивний висхідний або спадний тренд. Крім того, існує кардинальна різниця в підходах DCF і біномінальної моделі. Якщо в біномінальної моделі майбутня вартість активу визначається стохастическими процесами, залежними від параметра невизначеності, то в методі DCF майбутні грошові потоки задаються з очікувань інвесторів. При відсутності невизначеності Біноміальна модель в силу своїх обмежень стає непридатною для оцінки проектів.
Навпаки, при підвищенні невизначеності можна спостерігати збільшення розкиду значень в крайніх вузлах біномінальної сітки. У табл. 3 наведені зміни крайніх значень вартості активу при підвищенні рівня невизначеності при заданих параметрах: S = 50, X = 40, t = 1, rf = 5, 8 = 2.
Спостереження за біномінальної сіткою дозволяють зробити ще один цікавий висновок. Як вже говорилося, при збільшенні кількості часових періодів в сітці значення вартості опціону, отримане при використанні біномінальної моделі, прагне до значення вартості опціону, отриманому при використанні моделі Black &; Scholes, яка є безперервною. Якщо ми розглянемо биноминальную сітку з п’яти і зі ста кроків (обидві додаються на диску до даної роботи), то побачимо, що допустимі значення активу в останньому часовому періоді сітки сильно відрізняються. Крім того, що в біномінальної сітці з 100 кроків буде 100 значень, в останньому часовому періоді проти 6 в сітці з 5 кроків, максимальне і мінімальне значення двох сіток будуть значно відрізнятися. Так, при ідентичних вихідних параметрах, рівних S = 100, X = 80, t = 3, rf = 7, 8 = 5, a = 15, максимальне і мінімальне значення в сітці N = 100 і N = 5 будуть, відповідно, 178 , 77 і 55,94 проти 1309,3 і 7,6. На перший погляд це здається дивним. Фактично це означає, що дві сітки дають різні максимальні і мінімальні значення, які може приймати актив протягом терміну виконання опціону. Однак дане твердження не є вірним. По суті, побудова біномінальної сітки є побудовою імовірнісного розподілу значень вартості активу. Шість значень, отриманих при побудові біномінальної сітки з п’яти кроків, є лише деякими значеннями, які може відобразити сітка в силу своєї обмеженості (обумовленою тим, що модель біномінальної сітки є граничною моделлю зміни вартості активу). Актив може прийняти будь-які інші значення в рамках даного імовірнісного розподілу. Найбільшою ймовірністю в деякому розподілі буде володіти початкове значення базисного активу.
Графік розподілу значень активу, отриманих за допомогою біномінальної сітки з п’яти кроків, представлений на рис. 10. Вартість опціону, оцінена за допомогою такої біномінальної сітки, є менш точною, оскільки не враховує впливу значень активу за межами розподілу. Незважаючи на те, що ймовірність зростання / падіння вартості активу до значення, що знаходиться за межами розподілу біномінальної сітки (N = 5) дуже мала, вона все ж припустима і повинна враховуватися для отримання більш точного результату при оцінці опціонів.
(1 votes, average: 5.00 out of 5)