Математична модель вільного падіння тіла
Розглянемо одну з традиційних завдань класичної механіки: рух тіла в полі сили тяжіння. Ця задача має безліч додатків: від розрахунку вільного падіння тіла на Землю до запуску балістичної ракети або космічного корабля.
Вивчення навіть, здавалося б, найпростішого варіанту завдання – вільного вертикального падіння на Землю – дозволяє отримати відповіді на безліч цікавих і важливих питань: з якою швидкістю падають на землю краплі дощу; якій швидкості і температури досягає метеорит, падаючий на Землю; яким має бути розмір парашута для безпечного приземлення парашутиста та ін. Відповісти на всі ці питання дозволяє адекватна математична модель вільного падіння тіла в полі сили тяжіння в атмосфері Землі.
На вільно рухається в полі сили тяжіння тіло в газовій або рідкому середовищі діють три сили: сила тяжіння (mg), спрямована вертикально вниз; архимедова сила (-РА), спрямована вертикально вгору; сила опору руху спрямована в протилежний бік щодо напрямку руху.
Які з цих сил слід врахувати в моделі, а якими можна знехтувати, залежить від фізичних умов процесу. Основний з цих трьох сил є сила тяжіння. Нею нехтувати не можна. Можливість знехтувати іншими силами залежить від того, наскільки вони менше сили тяжіння.
Архимедова сила в стільки разів менше сили тяжіння, у скільки разів щільність середовища (газу або рідини) менше середньої щільності тіла. Наприклад, якщо тіло – суцільний сталева куля з щільністю 7800 кг / м3, який падає в атмосферному повітрі, середня щільність якого поблизу Землі дорівнює 1,29 кг / м3, то архимедова сила приблизно в 6000 разів менше сили тяжіння і нею можна знехтувати. Якщо ж падіння відбувається у воді, щільність якої в 7,8 рази менше щільності заліза, то зневага архимедовой силою може помітно позначитися на точності результату.
Сила опору середовища не є постійною величиною. Вона залежить від швидкості руху тіла: чим вище швидкість, тим більше опір. Крім того, сила опору залежить від щільності середовища і її в’язкості. Якісно можна міркувати так: якщо рух відбувається в газі, щільність якого багато менше щільності тіла, в’язкість невелика і висота падіння невелика (тіло не встигне набрати велику швидкість), то силою опору можна знехтувати. Протилежний приклад: падіння метеорита на Землю, який оплавляється або повністю згорає в атмосфері через великої сили тертя об повітря.
Потрібно визначити час падіння і швидкість, яку матиме тіло в момент удару об Землю.
Первісна координата тіла: у = Н. Згідно описаної раніше методиці математичного моделювання, визначимо параметри досліджуваного процесу. Незмінними вхідними параметрами є:
M – маса тіла;
H – висота, з якої починається падіння тіла;
G – прискорення вільного падіння.
Змінними параметрами є час t, координата у і швидкість V.
Крім того, існують параметри, що впливають на архимедову силу і силу опору. Це щільність середовища (газу або рідини), параметр в’язкості середовища, розмір і форма падаючого тіла.
(1 votes, average: 5.00 out of 5)