Геометрія Рімана
У 1846 році Ріман Георг Фрідріх Бернхард вступив до Геттінгенського університету. Юний студент слухав лекції видатного німецького математика Карла Гаусса. У Берлінському університеті Бернхард Ріман відвідує лекції К. Якобі з механіки і П. Діріхле з теорії чисел. Знання отриманих від цих геніальних вчених згодом будуть розвинені Ріманом. У Геттінгенському університеті Ріман співпрацював з талановитим фізиком В. Вебером. Завдяки Вебером Ріман зацікавився проблемами математичного природознавства. У 1851 Ріман захистив докторську дисертацію “Основи загальної теорії функцій однієї комплексної змінної”. У 1857 стає професором Геттінгенського університету. Лекції професора Рімана лягли в основу ряду нових курсів таких, як математичної фізики, теорії тяжіння, електрики і магнетизму, еліптичних функцій.
Науково-дослідницькі праці Бернхард Рімана справили величезний вплив на розвиток математики в кінці XIX і початку XX століть.
Уже в докторській дисертації Ріманом були закладені основи геометричного напрямку теорії аналітичних функцій. Видатний математик і геометр Ріман ввів так звані ріманови поверхні, які зіграли важливу роль при дослідженні багатозначних функцій. Більш того, їм була розроблена теорія конформних відображень, а також представлені основні ідеї топології, вивчені умови існування аналітичних функцій усередині областей різного виду і багато іншого.
Методи, розроблені Ріманом знайшли широке застосування в теорії функцій алгебри і інтегралів, по аналітичної теорії диференціальних рівнянь, зокрема, рівнянь, що визначають гіпергеометричні функції, по аналітичної теорії чисел. Наприклад, Ріманом була вказана зв’язок розподілу простих чисел з властивостями дзета-функції, а саме: з розподілом її нулів в комплексній області – так звана гіпотеза Рімана, проте її справедливість ще не доведена
У 1854 році у своїй знаменитій лекції “Про гіпотези, що лежать в основі геометрії” Ріман дав загальну ідею математичного простору або “різноманіття”, включаючи функціональні і топологічні простори. Тут Ріман розглядав геометрію як вчення про безперервних n-мірних многовидах, тобто сукупностях будь-яких однорідних об’єктів. Узагальнивши результати К. Гаусса по внутрішній геометрії поверхонь, Ріман сформулював поняття лінійного елементу, так званого диференціала відстані між точками різноманіття. Головним досягненням ученого Рімана стало створення нової геометрії.
Ріманова геометрія – це розділ диференціальної геометрії, об’єктом вивчення якої, головним чином, є ріманови різноманіття. Ріманови різноманіття – це гладкі різноманіття з додатковою структурою, ріманової метрикою, тобто з вибором евклідової метрики на кожному дотичному просторі, яка гладко змінюється від точки до точки.
Підрозділом ріманової геометрії є геометрія в цілому, яка виявляє зв’язок глобальних властивостей ріманова різноманіття (наприклад, топологія або діаметр) і його локальних властивостей (наприклад, обмежень на кривизну).
Основними елементами тривимірної ріманової геометрії є точки, прямі і площини.
У ріманової геометрії мають місце такі пропозиції: через кожні дві точки проходить одна пряма, кожні дві площини перетинаються по одній прямій, кожні дві прямі, що лежать в одній площині, перетинаються (в одній точці), точки на прямій розташовані в циклічному порядку (як і прямі, що лежать в одній площині і що проходять через одну точку). Таким чином, вимоги аксіом ріманової геометрії, пов’язані конгруентності, забезпечують вільні рухи фігур по площині і в просторі Рімана, як на площині, так і в просторі Евкліда.
Метричні властивості плоскості Рімана “в малому” збігаються з метричними властивостями звичайної сфери, а саме: для будь-якої точки площини Рімана існує містить цю точку частина площині, ізометрічни деякої частини сфери; радіус R цієї сфери – один і той же для всіх площин даного простору Рімана. Число К = 1 / R2 називається кривизною простору Рімана. Слід зазначити, що, чим менше К, тим ближче властивості фігур цього простору до евклідовим.
“В цілому” властивості плоскості Рімана відрізняються від властивостей цілої сфери в наступному: на площині Рімана дві прямі перетинаються в одній точці, а на сфері два великих кола, які виступають як прямі в сферичної геометрії, перетинаються в двох точках; пряма, що лежить на площині, не поділяє цю площину, таким чином, якщо пряма а лежить в площині a, то будь-які дві точки площини a, що не лежать на прямій а, можливо з’єднати відрізком, не перетинаючи прямий а.
Таким чином, Ріман побудував другий різновид неевклідової геометрії в протилежність геометрії Лобачевського.
Унікальні ідеї та методи, запропоновані Ріманом відкрили нові шляхи для розвитку математики і знайшли застосування в механіці і фізкабінет
(2 votes, average: 5.00 out of 5)