Формули прямолінійного рівноприскореного руху
При прямолінійному рівноприскореному русі тіло рухається уздовж умовної прямої лінії, його швидкість поступово збільшується або зменшується. За рівні проміжки часу швидкість змінюється на рівну величину.
Наприклад, автомобіль зі стану спокою починає рухатися по прямій дорозі, і до швидкості, скажімо, в 72 км/год він рухається рівноприскорено. Коли задана швидкість досягнута, то авто рухається без зміни швидкості, тобто рівномірно. При рівноприскореному русі його швидкість зростала від 0 до 72 км/год. І нехай за кожну секунду руху швидкість збільшувалася на 3,6 км/год. Тоді час рівноприскореного руху авто дорівнюватиме 20 секундам. Оскільки прискорення в СІ вимірюється в метрах на секунду в квадраті, то треба прискорення 3,6 км/год за секунду перевести у відповідні одиниці виміру. Воно буде дорівнює (3,6 * 1000 м)/(3600 з * 1 с) = 1 М/с2.
Припустимо, через якийсь час їзди з постійною швидкістю автомобіль почав гальмувати, щоб зупинитися. Рух при гальмуванні теж був рівноприскореним (за рівні проміжки часу швидкість зменшувалася на однакову величину). В даному випадку вектор прискорення буде протилежний вектору швидкості. Можна сказати, що прискорення негативне.
Отже, якщо початкова швидкість тіла нульова, то його швидкість через час в t секунд буде дорівнює добутку прискорення на цей час:
V = at
При падінні тіла “працює” прискорення вільного падіння, і швидкість тіла у самої поверхні землі визначатиметься за формулою:
V = gt
Якщо відома поточна швидкість тіла і час, який знадобився, щоб розвинути таку швидкість зі стану спокою, то можна визначити прискорення (тобто як швидко змінювалася швидкість), розділивши швидкість на час:
A = v/t
Однак тіло могло почати рівноприскорений рух не зі стану спокою, а вже володіючи якоюсь швидкістю (або йому надали початкову швидкість). Припустимо, ви кидаєте камінь з вежі вертикально вниз з додатком сили. На таке тіло діє прискорення вільного падіння, рівне 9,8 м/с2. Однак ваша сила надала каменю ще швидкості. Таким чином, кінцева швидкість (в момент торкання землі) буде складатися з швидкості, яка розвинулась в результаті прискорення та початкової швидкості. Таким чином, кінцева швидкість буде знаходитися за формулою:
V = v0 + at
Однак, якщо камінь кидали вгору. То початкова його швидкість спрямована вгору, а прискорення вільного падіння вниз. Тобто вектора швидкостей спрямовані в протилежні сторони. У цьому випадку (а також при гальмуванні) добуток прискорення на час треба віднімати з початкової швидкості:
V = v0 – at
Отримаємо з цих формул формули прискорення. У разі прискорення:
At = v – v0
A = (v – v0)/t
У разі гальмування:
At = v0 – v
A = (v0 – v)/t
У випадку, коли тіло рівноприскорено зупиняється, то в момент зупинки його швидкість дорівнює 0. Тоді формула скорочується до такого виду:
A = v0/t
Знаючи початкову швидкість тіла і прискорення гальмування, визначається час, через який тіло зупиниться:
T = v0/a
Тепер виведемо формули для шляху, яке тіло проходить при прямолінійному рівноприскореному русі. Графіком залежності швидкості від часу при прямолінійній рівномірному русі є відрізок, паралельний осі часу (зазвичай береться вісь x). Шлях при цьому обчислюється як площа прямокутника під відрізком. Тобто множенням швидкості на час (s = vt). При прямолінійному рівноприкореному русі графіком є пряма, але не паралельна осі часу. Ця пряма або зростає в разі прискорення, або убуває в разі гальмування. Однак шлях також визначається як площа фігури під графіком.
При прямолінійному рівноприскореному русі ця фігура являє собою трапецію. Її підставами є відрізок на осі y (швидкість) і відрізок, що з’єднує точку кінця графіка з її проекцією на вісь x. Бічними сторонами є сам графік залежності швидкості від часу і його проекція на вісь x (вісь часу). Проекція на вісь x – це не тільки бічна сторона, але ще і висота трапеції, так як перпендикулярна його підстав.
Як відомо, площа трапеції дорівнює напівсумі підстав на висоту. Довжина першої підстави дорівнює початкової швидкості (v0), довжина другої підстави дорівнює кінцевій швидкості (v), висота дорівнює часу. Таким чином отримуємо:
S = ½ * (v0 + v) * t
Вище була дана формула залежності кінцевої швидкості від початкової і прискорення (v = v0 + at). Тому у формулі шляху ми можемо замінити v:
S = ½ * (v0 + at) * t = ½ * (2v0 + at) * t = ½ * t * 2v0 + ½ * t * at = v0T + 1 / 2at2
Отже, пройдений шлях визначається за формулою:
S = v0T + at2/2
(До даної формули можна прийти, розглядаючи не площу трапеції, а підсумовуючи площі прямокутника і прямокутного трикутника, на які розбивається трапеція.)
Якщо тіло почало рухатися рівноприскорено зі стану спокою (v0 = 0), то формула шляху спрощується до s = at2/2.
Якщо вектор прискорення був протилежний швидкості, то добуток at2/2 треба віднімати. Зрозуміло, що при цьому різниця v0T і at2/2 не повинна стати негативною. Коли вона стане рівною нулю, тіло зупиниться. Буде знайдено шлях гальмування. Вище була наведена формула часу до повної зупинки (t = v0/a). Якщо підставити у формулу шляху значення t, то шлях гальмування наводиться до такої формули:
S = v02/(2a)
(1 votes, average: 5.00 out of 5)