Енергія і робота при обертальному русі
Формула обчислення роботи для поступального прямолінійного руху має вигляд: W = F – s (Н – м) або (Дж).
Для того, щоб вивести аналогічну формулу для обертального руху, необхідно силу F перетворити в момент сили M, а переміщення s, в кут Θ
Нехай для обертання колеса, радіусом r, прикладається сила F, як показано на малюнку нижче.
Робота при обертальному русі
Чому буде дорівнювати робота цієї сили?
Для обчислення роботи застосуємо формулу:
W = F – s
При обертальному русі переміщення s буде дорівнює добутку радіуса колеса r на його кут повороту Θ:
S = r – Θ
W = F – s = F – r – Θ
Момент М, створюваної силою F, обчислюється за формулою:
M = F – r
Таким чином, робота буде дорівнює:
W = F – r – Θ = M – Θ Дж
Ми отримали формулу обчислення роботи для обертального руху (кут повороту повинен бути зазначений в радіанах) – це твір моменту сили на кут повороту.
Обчислимо роботу, яку здійснить колесо автомобіля після 10 обертів, за умови, що до нього було додано постійний момент сили в 100 Н – м:
W = 100 – 10 – 2π = 6,28 – 103 Дж
Кінетична енергія обертального руху
Кінетична енергія об’єкта, масою m, що рухається поступально зі швидкістю v, обчислюється за формулою: K = 1/2 – (m – V2).
Для отримання формули обчислення кінетичної енергії для обертального руху необхідно замінити масу тіла m на момент інерції I, а швидкість v на кутову швидкість ω.
Формула зв’язку тангенциальной швидкості v і кутової швидкості ω виглядає наступним чином (докладніше дивись “Параметри обертального руху”):
V = r – ω
Підставами це співвідношення в попередню формулу:
K = 1/2 – m (r – ω) 2
Слід сказати, що дана формула розрахунку кінетичної енергії підходить тільки для матеріальної точки.
Формула для обчислення кінетичної енергії протяжного об’єкта буде виглядати наступним чином:
K = 1/2 – Σm (r – ω) 2
У разі, якщо всі матеріальні точки протяжного об’єкта обертаються з однаковою кутовою швидкістю, її можна винести за знак підсумовування:
K = 1/2 – ω2Σm – r2
Згадаймо формулу моменту інерції, і зробимо підстановку:
I = Σm – r2
K = 1/2 – ω2Σm – r2
K = 1/2 – ω2 – I
Закріпимо отримані теоретичні знання на практиці, вирішивши цікаве завдання.
Припустимо, що по похилій площині скочуються два циліндра однакової маси – порожнистий і цілісний. З’ясуємо, який з цих циліндрів скотиться швидше, тобто матиме більшу швидкість в кінці похилій площині.
Вирішуючи завдання подібного типу, треба розуміти, що, якби циліндри просто ковзали вниз по похилій площині без обертання, то їх потенційна енергія перетворювалася б у кінетичну енергію поступального руху:
M – g – h = 1/2 – m – v2
У нашому випадку, потенційна енергія циліндрів перетворюється в кінетичну енергію, як поступального, так і обертального руху:
M – g – h = 1/2 – m – v2 + 1/2 – I – ω2
Оскільки кутова швидкість обчислюється за формулою ω = v / r, отримаємо наступне рівність, і виведемо формулу для обчислення швидкості руху циліндрів:
Mgh = 1 / 2mv2 + 1 / 2I (v / r) 2 = 1 / 2v2 (m + I / r2)
V = √ [(2mgh) / (m + I / r2)]
Для обох циліндрів всі параметри у формулі однакові, за винятком моменту інерції I (докладніше дивись “Момент інерції протяжного об’єкта”):
Для полого циліндра: I = mr2;
Для цілісного циліндра: I = 1 / 2mr2
Підставляємо відповідні значення для моменту інерції в формулу обчислення швидкості циліндрів, і проводимо нескладні алгебраїчні перетворення:
Vп = √ [(2mgh) / (m + (mr2) / r2)] = √ [gh]
Vц = √ [(2mgh) / (m + (1 / 2mr2) / r2)] = √ [4gh / 3]
Співвідношення швидкостей циліндрів дорівнюватиме:
Vп / Vц = √ [3/4] = 0,86
Таким чином, швидкість порожнього циліндра буде трохи нижче, ніж незбираного, отже, цілісний циліндр швидше скотиться по похилій площині.
З фізичної точки зору даний факт пояснюється досить просто. У підлогою циліндрі основна маса матеріальних точок зосереджена на краю циліндра (на відстані радіуса від його центру), в той час, як в цілісному циліндрі матеріальні точки розподілені рівномірно по всьому радіусу, тобто, при однаковій кутової швидкості в підлогою циліндрі кількість матеріальних точок, що володіють високою тангенциальной швидкістю, буде більше, ніж в цілісному, тому, полому циліндру знадобиться витратити більше енергії на свій розгін.
(2 votes, average: 3.00 out of 5)