Діагональ ділить кут навпіл

Однією з ознак ромба є те, що діагоналі ділять його кути навпіл. У вигляді теореми ця ознака формулюється так:

Якщо діагональ паралелограма ділить його кут навпіл, то такий паралелограм є ромбом.

Якщо доводити дана ознака, то нам дано паралелограм, одна діагональ якого ділить один кут навпіл. Потрібно довести, що у такого паралелограма будуть рівні всі сторони (саме цей факт є визначенням ромба).

Нехай дано ромб ABCD, його діагональ BD ділить кут B навпіл: ∠ABD = ∠CBD.

Діагональ ромба ділить кут навпіл
Як відомо, в параллелограмме протилежні сторони паралельні. В даному випадку AD || BC. Для цих прямих діагональ BD є січною. Отже, ∠ABD = ∠CDB і ∠CBD = ∠ADB як навхрест лежачі.

Але оскільки за умовою ∠ABD = ∠CBD, то значить, що і кути при вершині D рівні один одному. Таким чином, доведено, що якщо діагональ паралелограма ділить один кут навпіл, вона ділить навпіл і протилежний кут.

Виявляється, що всі чотири кути, утворені діагоналлю в кутах паралелограма, рівні один одному. Тобто в даному випадку, не тільки навхрест лежачі, а й односторонні кути при паралельних прямих теж рівні.

Розглянемо трикутник ABD. У ньому кути B і D рівні. Значить, це трикутник рівнобедрений з основою BD. Так як у рівнобедрених трикутників бічні сторони дорівнюють один одному, то в даному випадку AB = AD. Таким чином, доведено, що якщо діагональ ділить кут паралелограма навпіл, то пара сусідніх сторін паралелограма дорівнює один одному.

Але, як відомо, у паралелограма протилежні сторони не тільки паралельні один одному, але і рівні один одному. Отже, AB = CD і AD = BC, а оскільки AB = AD, то всі чотири сторони рівні один одному. Таким чином, доведено, що якщо діагональ ділить кут паралелограма навпіл, то всі сторони паралелограма рівні один одному. А паралелограм з рівними сторонами є ромбом.


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 votes, average: 5.00 out of 5)

Діагональ ділить кут навпіл