Дедуктивна теорія

У математичної теорії величезне значення має дедуктивна теорія. Термін дедукція походить від лат. deductio – виведення. Таким чином, дедукція – це один з основних способів міркування і методів дослідження.

Дедуктивну теорію прийнято вважати заданою в тому випадку, якщо:

    Заданий алфавіт, тобто безліч, і правила освіти виразів в цьому алфавіті. Задані правила освіти формул. Виділено підмножина теорем, які доводять формулу.

Існує кілька способів побудови безлічі теорем:

1.Задання аксіом і правил виведення

У безлічі формул виділяється підмножина аксіом, після чого задається кінцеве число правил виведення. Правило виводу – це правила, за допомогою яких з аксіом і раніше виведених теорем можна отримати нові теореми. У число теорем входять всі аксіоми. Однак відомі випадки (наприклад, в аксіоматиці Пеано), коли теорія містить нескінченну кількість аксіом, заданих за допомогою однієї або декількох схем аксіом. Подібні аксіоми прийнято називати “прихованими визначеннями”.

Цей спосіб дозволяє задавати формальні аксіоматичні теорії.

2. Задання тільки аксіом

У цьому випадку правила виведення вважаються загальновідомими, тому задаються тільки аксіоми. Тому при такій побудові теорем, кажуть, що напівформального аксіоматична теорія.

3. Задання тільки правил виводу

Даний спосіб побудови теорем грунтується на завданні тільки правил виводу, оскільки безліч аксіом порожньо. Виходячи з цього, теорія, задана таким чином, являє собою окремий випадок формальної теорії. Пізніше цей різновид стала називатися теорією природного виведення.

До основних властивості дедуктивних теорій відносяться:

1. Суперечливість

Суперечливою називається теорія, в якій безліч теорем покриває все безліч формул. В іншому випадку, теорія є несуперечливої. Головною і складним завданням формальної логіки є виявлення суперечливості теорії. Суперечливі теорії, як правило, не мають подальшого практичного і теоретичного застосування.

2. Повнота

Повної називається теорія, в якій для будь-якої формули F виведена або сама F, або її заперечення – F. У тому випадку, якщо теорія містить недоведені твердження, тобто твердження, які не можна ні довести, ні спростувати засобами самої теорії, вона називається неповною.

3. Незалежність аксіом

Коли окрему аксіому теорії не можна вивести з інших аксіом, то її називають незалежною. Залежна аксіома є надлишкова, тому її вилучення з системи аксіом не відбивається на теорії. Система аксіом називається незалежною тільки в тому випадку, якщо кожна аксіома в ній незалежна.

4. Розв’язність

Коли в теорії існує ефективний алгоритм, що дозволяє визначити кількість кроків, які доводять теорему, теорія називається вирішуваною.

Наприклад, логіка висловлювань, логіка першого порядку (числення предикатів), формальна арифметика (теорія S).


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 votes, average: 5.00 out of 5)

Дедуктивна теорія