Алгоритм Евкліда знаходження НСД
Алгоритм Евкліда – це спосіб знаходження найбільшого спільного дільника для двох чисел.
Візьмемо до уваги факт, що якщо одне натуральне число з пари остачі ділить інше, то їх НОД буде дорівнює меншому з них. Записати це можна так: якщо a / b (остачі), то НСД (a; b) = b.
Візьмемо до уваги другий факт. Якщо одне число більше іншого, то їх найбільший спільний дільник дорівнює найбільшому загальному дільнику для меншого числа з пари, і різниці більшого і меншого. Записується це так: якщо a <b, то НСД (a; b) = НСД (a; b – a).
Довести, що НОД (a; b) = НСД (a; b – a) можна таким чином. Нехай b – a = c. Якщо будь-яке число ділить a і b, то воно буде ділити остачі і c. Адже якщо a і b різні, то дільник в них вкладається ціле, але різне число разів. І якщо відняти одне з іншого, то дільник також повинен укладатися ціле число раз в отриману різницю.
Якщо послідовно зменшувати a і b, то рано чи пізно прийдемо до такого значення меншого з них, яке без остачі ділить більшу. Менша в такій парі і буде НОД для початкової пари натуральних чисел. У цьому і полягає алгоритм Евкліда.
Розглянемо на конкретному прикладі. Нехай потрібно знайти НСД (108, 72).
108 не ділиться на 72. Значить отримуємо пару 72 і 108 – 72 = 36
72 ділиться без остачі на 36. Значить НОД (108, 72) = 36.
Знайдемо НОД (44, 60):
60 не ділиться на 44. 60 – 44 = 16
44 не ділиться на 16. 44 – 16 = 28
28 не ділиться на 16. 28 – 16 = 12
16 не ділиться на 12. 16 – 12 = 4
12 ділиться на 4. Значить НОД (44, 60) = 4
Related posts:
- Подільність натуральних чисел Ділення – це дія, зворотне множенню. Розглянемо більш детально ділення натуральних чисел. Натуральними числами називають числа, які використовуються для рахунку. Кожному кількістю предметів рахунку відповідає деяке натуральне число. Якщо предметів для рахунку немає, то використовується значення 0, але при рахунку предметів ми ніколи не починають з 0, і відповідно число 0 не можна віднести до […]...
- Знаходження наближених значень квадратного кореня На практиці часто доводиться обчислювати квадратні корені з різних чисел. Зараз це можна зробити на калькуляторі або за допомогою комп’ютера. Ми ж розглянемо спосіб, як обчислити квадратний корінь з будь-якого числа з необхідною точністю, не використовуючи при цьому комп’ютер, калькулятор або інші обчислювальні засоби. Для прикладу, спробуємо обчислити корінь з числа 2, з точністю до […]...
- Найбільший спільний дільник. Взаємно прості числа Завдання. Яке найбільше число однакових подарунків можна скласти з 48 цукерок “Ластівка” і 36 цукерок “Чебурашка”, якщо треба використовувати всі цукерки? Рішення. Кожне з чисел 48 і 36 має ділитися на число подарунків. Тому спочатку випишемо всі дільники числа 48. Отримаємо: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Потім випишемо всі дільники […]...
- Ознаки подільності на 9 і на 3 Чи не розкладеними в кошики залишаться 8 яєць від сотень, 4 яйця від десятків і ще 6 яєць: 8 + 4 + 6 = 18. Число 18 є сумою цифр числа 846. Так як 18 яєць можна розкласти порівну в 9 кошиків (по 2 яйця в кожну), то і всі 846 яєць можна розкласти порівну […]...
- Складені числа Складене число – натуральне число, більше одиниці і яке не є простим. Всі складові числа – це твір 2-х натуральних чисел, які більше одиниці. Наприклад: 3 можна розділити, щоб не було залишку на 1 і на 3; 5 можна розділити, щоб не було залишку на 1 і 5; 8 можна розділити, щоб не було залишку […]...
- Доведіть, що множина простих чисел нескінченна Одним із властивостей простих чисел є твердження, що безліч простих чисел нескінченно (т. Е. Серед простих чисел немає найбільшого). Довів це властивість простих чисел ще Евклід, використовуючи метод від протилежного. Доказ виглядає приблизно так. Припустимо, що безліч простих чисел звичайно, інші числа є складовими. Знайдемо добуток всіх існуючих простих чисел і до цього результату додамо […]...
- Ознаки подільності на 10, на 5 і на 2 Усяке натуральне число, запис якого закінчується цифрою 0, ділиться без залишку на 10. Щоб отримати приватне, досить відкинути цю цифру 0. Наприклад, 280 ділиться без залишку на 10, так як 280: 10 = 28. При розподілі ж числа 283 на 10 отримуємо неповне приватне 28 і залишок 3 (т. Е. Останню цифру записі цього числа). […]...
- Ознаки подільності на 3 і на 9 Розглянемо простеньку задачу. В одному господарстві було зібрано вранці 846 курячих яєць. Господарство це було спільним, його містить 9 сімей. Треба розділити між ними порівну всі яйця. Як перевірити, не виконуючи поділ, чи ділиться число 846 на 9 без залишку. Спочатку розкладемо дане число за розрядами. Число 846 складається з 8 сотень, 4 десятків і […]...
- Знаходження невідомих за допомогою тотожності Тотожності дуже зручні, щоб знаходити відповіді в рівняннях (вираження, де дві частини зрівняні між собою – тотожні), завданнях та інших життєвих питаннях. Наприклад, у нас є рівняння з одним невідомим, тобто в вираженні частина цифр замінена однією буквою, в даному випадку x (читається, звичайно, ікс, а не х): 3x + 5 = 1 – x […]...
- Ознаки подільності на 2, на 5 і на 10 Розглянемо основні ознаки подільності чисел на 2, 5 і 10. Почнемо з десятки Ознака подільності на десять Якщо натуральне число закінчується цифрою нуль, то це число ділиться без залишку на 10. Для того щоб у такому випадку отримати частка від ділення, необхідно просто відкинути один нуль. Наприклад, 350 ділиться без залишку на 10. Результатом розподілу […]...
- Математична програма Евкліда Для всього подальшого розвитку науки аж до наших днів найбільше значення мали “Початки геометрії” Евкліда. Це перший математичний працю, що дійшов до нас від стародавніх греків повністю і, мабуть, після Біблії найбільше вивчалася і найбільше число раз видана книга. Жодна наукова книга не мала такої долі, як евклідові “Начала”. За два з гаком тисячоліття ця […]...
- Дільники і кратні 20 яблук можна розділити порівну між 4 хлопцями. Кожен отримає по 5 яблук. А якщо треба розділити (не розрізаючи) 20 яблук між 6 хлопцями, то кожен отримає по 3 яблука, а ще 2 яблука залишаться. Кажуть, що число 4 є дільником числа 20, а число 6 не є дільником числа 20. Дільником натурального числа а […]...
- Що таке стандартний вид одночлена? Одночлен – це вираз, що складається з твору чисел і букв (змінних), при цьому змінні можуть бути ступенями з натуральними показниками. Зверніть увагу, що одночлен містить тільки одну арифметичну операцію – множення (ступінь також може бути представлена, як твір). Одночлен не може містити додавання, віднімання, ділення та інших операцій. Однак, якщо вираз складається всього лише […]...
- Алгоритм управління ризиками Ухвалення рішення про управління ризиками Сьогодні перед підприємствами стоїть необхідність вибору правильного набору ризиків і стратегії, яка б максимально підходила для управління даними ризиками. Ризики є як внутрішніми, так і зовнішніми, тому не всі ризики керовані, і ряд ризиків розглядається як об’єкт спостереження. Тільки керовані можуть ставати об’єктом впливу. Перед організаціями постає також питання про […]...
- “Начала” Евкліда Головна праця Евкліда – “Начала” (або “Елементи”, в оригіналі “Стойхейа”). “Начала” Евкліда складаються з 13 книг. Пізніше до них були додані ще дві книги. Перші шість книг “Почав” присвячені геометрії на площині – планіметрії. У філософсько-теоретичному відношенні, в плані філософії математики особливо цікава перша книга, яка починається з визначень, постулатів і аксіом, вчення про які […]...
- Що таке алгоритм? Якщо зовсім просто, то алгоритм – це ряд кроків для досягнення результату До речі, помітили, що і в алгебрі і в алгоритмі однаковий корінь “алг”, так, і винайдені вони були однією людиною – Мухаммедом Аль-Хорезмі. Повертаємося до питання “що таке алгоритм”: Наше життя цілком наповнена алгоритмами, спорт, гра на музичних інструментах, малювання, … будь-які дії […]...
- Прості і складені числа Кожне натуральне число, крім одиниці, має два або більше дільників. Наприклад, число 7, ділиться без залишку тільки на 1 і на 7, тобто має два дільника. А у числа 8, подільники 1, 2, 4, 8, тобто аж 4 дільника відразу. Чим відрізняються прості і складені числа Числа, які мають більше двох дільників, називаються складеними. Числа, […]...
- Знаходження бляклих руд Спільне знаходження бляклих руд різного складу говорить про низьку температуру, ті ж бляклі руди складного складу, особливо з незвичайними компонентами, свідчать про високу температуру. Тверді розчини ільменіту-гематиту переходять при сильному нагріванні (-1000 °) в псевдобрукіт; псевдоморфози цього роду (вони відомі з кімберлітів і базальтів) говорять, таким чином, про сильному нагріванні. Внаслідок особливих впливів, які тут […]...
- Знаходження сірки в природі Найчастіше в природі знаходиться самородна сірка (S), проте зустрічаються і її з’єднання з іншими елементами: FeS2 (сульфат заліза (II), пірит), ZnS (сульфат цинку, цинкова обманка), CaSO4 * 2H2O (гіпс), PbS (сульфат свинцю, свинцевий блиск) і інші. Біологічна роль сірки Сірка міститься в живих організмах, особливо багато її в білках нігтів, волосся, копит. Загальна маса сірки […]...
- Фізичні властивості і знаходження фосфору в природі Фосфор утворює різні прості речовини (алотропні модифікації). Білий фосфор – це речовина складу P4. М’який, безбарвний, отруйний, має характерний часниковий запах. Молекулярна кристалічна решітка, а отже, невисока температура плавлення (44 ° С), висока летючість. Дуже реакційноздатен, самозаймається на повітрі. Червоний фосфор – це модифікація з атомної кристалічною решіткою. Формула червоного фосфору Pn, це полімер зі […]...
- Надання єврокредитів: алгоритм Найчастіше єврокредити надаються міжнародними синдикатами банків. Група з банків різних країн укладає угоду для надання позики. Здійснюються такі дії для того, щоб знизити можливі ризики кожного з учасників групи. Кількість учасників може бути від 2 до 40. Ризики розподіляються між синдикатами в залежності від загальної частки їхньої участі. Формується консорціум, в який входить провідний банк, […]...
- Алгоритм швидкого сортування Зараз ми розглянемо оптимальний за часом роботи алгоритм, який називається алгоритмом швидкого сортування. Цей алгоритм був розроблений Ентоні Хоаром в 1960 році. Покажемо, як він реалізується через рекурсивну процедуру. В алгоритмі швидкого сортування використовуються три ідеї: 1) поділ сортованого масиву на дві частини: ліву і праву; 2) взаємне упорядкування двох частин (подмассивов) так, щоб всі […]...
- Знаходження шляху, пройденого при нерівномірному русі Ми бачили, як за допомогою графіка швидкості можна знайти шлях, пройдений при рівномірному русі. Як же знайти пройдений шлях у випадку нерівномірного руху? Уявімо собі спочатку, що рух зображено наближено, наприклад так, як на рис. 32. Тоді площі прямокутників, заштрихованих на малюнку, будуть зображувати відповідно шлях, пройдений за перший, другий і третій годинник руху. Загальна […]...
- Цікаві факти з життя Евкліда Кілька цікавих фактів з біографії Евкліда: Найдавніший відомий математичний трактат належить Евкліду. До сих пір немає даних про місце народження та смерті великого вченого. Однак відомо місце занять Евкліда приблизно 2400 років тому і місце його знаходження – Олександрія. Цікаво, що це містечко сьогодні – друге за розмірами в Єгипті після Каїра; Евклід зміг створити […]...
- Біографія Евкліда: перший теоретик математики Евклід (бл. 300 р. До н. е..) – старогрецький математик, який є автором першого трактату з математики, який дійшов до нашого часу. Життєвий шлях і наукові досягнення Біографічних відомостей про Евкліда не багато. Достовірно відомо лише те, що його наукова діяльність протікала в 3 ст. до н. е в Олександрії. Евклід був першим математиком Олександрійської […]...
- Ділення в стовпчик Ділення у стовпчик – це стандартна процедура в арифметиці, яка призначена для ділення простих або складних багатозначних чисел за рахунок розбивання ділення на ряд більш простих кроків. Як і у всіх завданнях на ділення, одне число, зване діленим, ділиться на інше, що називається дільником, виробляючи результат, званий часткою. Стовпчиком можна проводити як ділення натуральних чисел […]...
- Взаємно прості числа Цілі числа будуть взаємно простими, коли у них не буде жодного спільного дільника (множника), не рахуючи ±1. Приклади: 14, 25 взаємно прості – не існує загальних дільників. 15, 25 не взаємно прості (загальний дільник 5). 6, 8, 9 взаємно прості – не існує дільників, загальних для 3-х чисел. Приклад: расстановим на площині точки з цілими […]...
- Найбільший спільний дільник (НСД) Вирішимо задачу. У нас є два типи печива. Одні шоколадні, а інші прості. Шоколадних 48 штук, а простих 36. Необхідно скласти з цього печива максимально можливе число подарунків, при цьому треба використовувати їх усі. Для початку випишемо всі дільники кожного з цих двох чисел, так як обидва ці числа повинні ділитися на кількість подарунків. Отримуємо, […]...
- Ознака подільності чисел Для зручності користування, ознаки подільності чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 представлені в таблиці. Крім цих ознак подільності чисел, існують ознаки подільності і на інші числа. На 2 (два) діляться всі числа, у яких останньою цифрою є 0 (нуль), 2 (два), 4 (чотири), 6 (шість), 8 (вісім). Іншими словами, […]...
- Ділення десяткових дробів Розподіл десяткового дробу на ціле число: якщо ділене менше дільника, тоді потрібно записати нуль в цілій частині приватного і поставити після нього десяткову точку. Потім, не беручи до уваги десяткову точку діленого, приєднати до його цілої частини наступну цифру дробової частини і знову порівняти отриману цілу частину діленого з дільником. Якщо нове число знову менше […]...
- Як знаходити час і шлях Якщо вам дано тільки час і швидкість, ви можете легко обчислити довжину шляху: S = v * t Тобто ми просто переставили t на іншу сторону. А при зміні сторони в рівнянні, ми змінюємо ділене на дільник і навпаки дільник на ділене. Перевірте на простих числах: нехай шлях дорівнює 8, швидкість 4, час 2. Тоді […]...
- Рівняння з одним невідомим Рівність, що містить одне невідоме число, позначене буквою, яке потрібно знайти, називається рівнянням з одним невідомим. 4 + А = 7 Вираз, розташоване зліва від знака рівності, називається лівою частиною рівняння (4 + А); Вираз, розташоване праворуч від знака рівності, називається правою частиною рівняння (7); Число, яке підставляється замість букви, і перетворює рівняння в правильну […]...
- Віднімання Завдання. Пішохід за 2:00 пройшов 9 км. Скільки він пройшов за першу годину, якщо його шлях за другу годину дорівнює 4 км? У цьому завданні число 9 є сумою двох чисел, одне з яких одно 4, а інше невідомо. Дія, за допомогою якого за сумою і одному з доданків знаходять інше доданок, називають відніманням. Так […]...
- Що таке замкнута безліч? Поняття “замкнутий безліч” і “незамкнуте безліч” зазвичай використовують відносно множин чисел і операцій над ними. Якщо над двома елементами одного безлічі виконується яка-небудь арифметична операція, і отриманий результат також належить цій безлічі, то кажуть, що це безліч замкнуто щодо даної операції. Якщо ж результат арифметичної операції над елементами множини не належить цій безлічі, то кажуть, […]...
- Ірраціональні числа Які числа є ірраціональними? Ірраціональне число – це не раціональне дійсне число, тобто воно не може бути представлено як дріб (як відношення двох цілих чисел), де m – ціле число, n – натуральне число. Ірраціональне число можна представити як нескінченну неперіодичну десяткову дріб. Ірраціональне число не може мати точного значення. Тільки у форматі 3,333333…. Наприклад, […]...
- Властивості дій над числами Додавання A, b-числа, над якими виконується складання, с-результат складання. Додавання багатозначних чисел проводиться порозрядно. Приклад: 9067542 + 34981=9102523 Закони додавання. 1) переместітельний: a + b=b + a; Приклад. 310 + 1454=1454 + 310. Яким би ми способом не складали результат буде дорівнює 1764. 2) сполучний: (a + b) + c=a + (b + c); Приклад: […]...
- Властивості параболи Графіком функції y = x2 і ряду інших є парабола. Чому графік функції y = x2 має такий вигляд? Так як аргумент функції зводиться в квадрат, то значенням функції не може бути негативне число. Іншими словами x може бути негативним, а y – ні. Коли x, наприклад, дорівнює 2 і -2, то y в обох […]...
- Винесення спільного множника за дужки Розглянемо кілька прикладів винесення спільного множника за дужки, щоб стало зрозуміліше, як це робити. Приклади винесення спільного множника за дужки Приклад 1. Завдання розкласти многочлен на множники А) 2x +6 y Б) a ^ 3 + a ^ 2 В) 4*a ^ 3 +6*a ^ 2 Г) 12*a*b ^ 4 18*a ^ 2*b ^ 3*c […]...
- Властивості ступенів з основами Існує три властивості ступенів з підставами і натуральними показниками. Твір двох ступенів з підставами одно висловом, де підстава те ж саме, а показник є сума показників вихідних множників. Приватне двох ступенів з підставами одно висловом, де підстава те ж саме, а показник є різниця показників вихідних множників. Зведення ступеня числа в ступінь одно висловом, в […]...
- Числові вирази Запис, яка складається з чисел, знаків і дужок, а також має сенс, називається числовим виразом. Наприклад, такі записи: (100-32)/17, 2*4 +7, 13, 4*0. 7-3/5, 1/3 +5/7 будуть числовими виразами. Слід розуміти, що одне число теж буде числовим виразом. У нашому прикладі, це число 13. А, наприклад, такі записи 100-*9, /32) 343 (*5 🙂 ні бути […]...