Аксіоми
Аксіомою називається математичне твердження, правильність або хибність якого приймається без доведення. У математиці існує багато різних аксіом. У різних підручниках можуть бути різні набори аксіом в різних формулюваннях. З метою унікалізації тексту (ця сторінка знаходиться в Інтернеті, а не в підручнику, тут зовсім інші правила), аксіоми викладені в довільному порядку в вільному викладі зі збереженням сенсу.
АКСІОМИ З’ЄДНАННЯ
- Через дві будь-які точки можна провести тільки одну пряму; На кожній прямій може бути дві і більше точки; існує три і більше точок, що не лежать на одній прямій; Існує чотири і більше точок, що не лежать в одній площині; Якщо три точки не лежать в одній прямий, то через ці точки можна провести тільки одну площину; Якщо дві точки прямої належать площині, то пряма лежить у цій площині; Якщо площині мають одну спільну точку, значить вони мають і одну загальну пряму;
АКСІОМИ ПОРЯДКУ
- Якщо яка був точка В розташована на прямій між двома іншими точками А і С, то вона також розташована між точками С і А; всі три точки А, В і С – це різні точки одній прямій; Якщо у нас є три точки, що належать одній прямій, то одна і тільки одна точка лежить між двома іншими точками; Якщо дві точки А і В лежать на одній прямій, то існує принаймні одна точка С, що лежить між точками А і В; Пряма, яка перетинає одну зі сторін трикутника, але не проходить через його вершину, перетне одну з двох, що залишилися сторін трикутника.
Аксіоми конгруентності
- На будь-який прямий від будь-якої належить їй точки можна відкласти відрізок, рівний даному відрізку; Якщо два відрізки рівні третього відрізку, то два перших відрізка рівні між собою; Нехай прямий a належать точки А, В і С, а прямий b – точки K, L і M. Якщо AB = KL, BC = LM, то AC = KM. Ця аксіома вірна і для випадку, коли всі шість точок лежать на одній прямій, але відрізки AB і KL, BC і LM, AC і KM не мають спільних точок; Кожен кут дорівнює самому собі; з будь-якої точки будь-якої прямої в дану сторону можна побудувати кут, рівний даному, і тільки один.
АКСІОМА про паралельні прямі
Через дану точку в цій площині можна провести пряму, паралельну даній, і до того ж тільки одну.
АКСІОМИ безперервної прямої
Аксіома Архімеда: нехай дано два відрізки AB і CD такі, що AB більше CD. На одній прямій можна відкласти від точки A відрізок CD послідовно стільки раз, що вийде відрізок AN, більший або відрізку AB. Іншими словами, буде виконуватися рівність nCD = AB, (n-1) CD менше AB, де n – ціле число (число відрізків);
Аксіома лінійної повноти: точки прямої лінії утворюють систему, яку не можна доповнити новими точками без порушення раніше встановлених аксіом.
Related posts:
- Основні поняття і аксіоми динаміки Динаміка – це розділ теоретичної механіки, в якому встановлюється співвідношення між рухом тіл і діючими на них зв’язками. Аксіоми динаміки. Закони динаміки узагальнюють результати численних дослідів і спостережень. Механіка, заснована на цих законах, сформульованих як аксіоми, називається класичною. Перша аксіома (принцип інерції). Всяка ізольована матеріальна точка знаходиться в стані спокою або рівномірного і прямолінійного руху, […]...
- Ознаки паралельності прямої і площини Якщо пряма, що лежить поза площиною, паралельна якій-небудь прямий, що у цій площині, то вона паралельна цій площині. Якщо пряма і площина перпендикулярні одній і тій же прямій, то вони паралельні. Ознаки паралельності площин. Якщо дві пересічні прямі однієї площини відповідно паралельні двом пересічним прямим іншій площині, то ці площини паралельні. Якщо дві площини перпендикулярні […]...
- Площина – правило, визначення, види Площина – це основна одиниця планіметрії. Для правильного сприйняття складних фігур, таких як, піраміда, конус або призма, необхідно розуміти і, головне, уявляти собі, що таке площину. Визначення площини Площина представляє поверхню, яка містить прямі, що з’єднують дві будь-які її точки. Це визначення звучить досить заплутано, тому краще його запам’ятати. А для розуміння варто запам’ятати, що […]...
- Площина. Пряма. Промінь Поверхні столу, шкільної дошки, віконного скла дають уявлення площині. Ці поверхні мають края. У площині краю немає. Вона безмежно простягається в будь-якому напрямку, заданому на цій площині. Накреслимо відрізок АВ і продовжимо його по лінійці в обидві сторони (рис. 12). Отримаємо пряму, яку позначають “пряма АВ” або “пряма ВА”. Через будь-які дві точки проходить єдина […]...
- Евклідова (елементарна) геометрія Евклідова геометрія – це геометрична теорія, заснована на системі аксіом, яка була вперше викладена в третьому столітті до нашої ери великим давньогрецьким математиком Евклідом в грандіозному науковій праці “Начала”. Система аксіом Евкліда базується на основних геометричні поняттях таких, як точка, пряма, площина, рух, а також на такі відносини: “точка лежить на прямій на площині”, “точка […]...
- Основні поняття геометрії Геометрія – це наука, що вивчає просторові відносини і форми предметів. Евклідова геометрія – це геометрична теорія, заснована на системі аксіом, вперше викладеної в “Засадах” Евкліда. Геометрія Лобачевського (гіперболічна геометрія) – одна з неевклідових геометрій, геометрична теорія, заснована на тих же основних посиланнях, що і звичайна евклідова геометрія, за винятком аксіоми про паралельних прямих, яка […]...
- Які геометричні фігури найпростіші? До простих геометричних фігур відносяться точка, пряма, відрізок, промінь, напівплощина і кут. Навіть серед найпростіших фігур виділяється сама найпростіша – це точка. Всі інші фігури складаються з безлічі точок. В геометрії прийнято позначати точки прописними (великими) латинськими літерами. Наприклад, точка A, точка L. Пряма – це нескінченна лінія, на якій якщо взяти дві будь-які точки, […]...
- Принципи та аксіоми права Під принципами права розуміють основоположні ідеї, відправні положення, які характеризують сутність права, його зміст і соціальне призначення. Виділяють загальноправові, галузеві та міжгалузеві принципи права, а також принципи окремих інститутів права. Загальноправові принципи права застосовні до всіх галузях. До них відносяться: 1. Гуманізм – повинно бути гарантовано повагу до кожної особистості, її честі, гідності, невід’ємних прав […]...
- Пряма та її частини В геометрії будь-який об’єкт складається з базових елементів: точок, прямих і площин. Будь-яка фігура, не має значення, плоска вона або об’ємна, буде складатися з цих елементів. Визначення точки зрозуміло, але от як зрозуміти, що таке пряма і як вона може бути нескінченною – в 5 класі не так просто розібратися. Визначення прямої Визначення прямої починається […]...
- Сторони трикутника В математиці при розгляді трикутника обов’язково приділяють багато уваги його сторонам. Оскільки дані елементи формують цю геометричну фігуру. Сторони трикутника використовуються для вирішення багатьох завдань з геометрії. Визначення поняття Відрізки, що з’єднують три точки, що не лежать на одній прямій, називаються сторонами трикутника. Розглянуті елементи обмежують частину площині, що називають начинкою даної геометричної фігури. Математики […]...
- Доказ нерівності трикутника Нерівність трикутника – це теорема в якій стверджується, що в трикутнику кожна сторона менше суми двох інших. У трикутника вершини ніколи не лежать на одній прямій. Тому цю теорему можна сформулювати по-іншому: якщо три крапки не лежать на одній прямій, то відстань між будь-якими двома з них менше, ніж сума інших двох відстаней. Якщо дано […]...
- Види числових проміжків На координатної прямої виділяють такі типи числових проміжків: Відкритий промінь Луч Інтервал Напівінтервал Відрізок Уявімо, що на координатної прямий знаходиться точка A. Всі точки, що лежать від неї ліворуч, належатимуть відкритого променю (-∞; A); точки, що лежать праворуч, – відкритому променю (A; + ∞). Точка A в обох випадках числовому проміжку не належить, і саме […]...
- Що таке планіметрія? Геометрія вивчає властивості фігур, що лежать на площині. Вже грецький математик Евклід описував їх. З геометрією древніх греків сьогодні знаком кожен школяр. Найважливіші поняття геометрії – це точка, лінія, пряма, коло, кут, трикутник. Точка – абстрактний об’єкт. У неї немає ні довжини, ні ширини, ні висоти, ні глибини. Математична точка існує лише умовно. Адже жоден […]...
- Що таке трикутник? Трикутник – це геометрична фігура, утворена трьома відрізками, що з’єднують три точки, які не лежать на одній прямій. Такі точки називають вершинами трикутника, а відрізки – це сторони трикутника. Простіше кажучи, трикутник – це багатокутник з трьома кутами. Типи трикутників Трикутники за величиною кутів Гострокутний трикутник. Трикутник, у якого всі кути гострі, називають гострокутним. Тупокутний […]...
- Геометрія Рімана У 1846 році Ріман Георг Фрідріх Бернхард вступив до Геттінгенського університету. Юний студент слухав лекції видатного німецького математика Карла Гаусса. У Берлінському університеті Бернхард Ріман відвідує лекції К. Якобі з механіки і П. Діріхле з теорії чисел. Знання отриманих від цих геніальних вчених згодом будуть розвинені Ріманом. У Геттінгенському університеті Ріман співпрацював з талановитим фізиком […]...
- Точки, прямі і відрізки Точки, прямі, відрізки – поняття в геометрії. Малюючи пряму за допомогою лінійки, ми маємо на увазі, що намалювали лише її частина, але, по суті, вона може поширюватися нескінченно далеко вправо і вліво. Прямі на кресленнях позначають маленькими латинськими буквами: a, b, c, d, … (см. рисунок нижче) Точки на кресленнях позначають великими латинськими літерами: A, […]...
- Функція опукла вниз або вгору Якщо взяти дві такі функції як 1) y = √x і 2) y = x2 при x ≥ 0, то опис їх властивостей співпаде, незважаючи на те, що їх графіки відрізняються. Ось їх графіки: Графіки функцій y = √x і y = x ^ 2 Обидві функції мають одну і ту ж область визначення [0; […]...
- Точки паралельної прямої рівновіддалені Всі точки кожної з двох паралельних прямих рівновіддалені від іншої прямої. Це означає, що з якої б точки однієї з паралельних прямих не вимірюються відстань до іншої прямої, воно завжди буде однаковим. Як відомо, відстань між точкою і прямою – це відрізок перпендикуляра, проведеного з даної точки до даної прямої; кінцями відрізка є дана точка […]...
- Як побудувати трикутник за трьома сторонами? Дано три відрізка, потрібно побудувати з них трикутник. Дане завдання є завданням на побудову, для вирішення якої потрібне циркуль і лінійка. При цьому слід пам’ятати, що не з кожних трьох відрізків можна побудувати трикутник. Як відомо, будь-яка сторона трикутника повинна бути менше суми двох інших. Тому якщо один з даних відрізків довший, ніж два інших […]...
- Зміна величин Температура може як підвищуватися, так і знижуватися. Нехай, наприклад, вранці температура повітря була 3 ° С, в середині дня – 9 ° С, а ввечері – 7 ° С. За першу половину дня температура підвищилася на 6 ° С, а за другу половину дня знизилася на 2 ° С. Підвищення температури висловлюють позитивними числами, а […]...
- Опис рухів твердого тіла Наступною за складністю моделлю після частинки є абсолютно тверде тіло – в ньому відстань між будь-якими двома точками не змінюється в процесі руху. Опис руху твердого тіла крім самостійного значення має велике значення і в застосуванні до описів інших видів руху. Система відліку, що служить для просторово-часового опису різних рухів може бути пов’язана тільки з […]...
- Педагогічні аксіоми У лютому 2007 року виповнилось 70 років від дня народження однієї з найяскравіших постатей в українській педагогіці, заслуженого вчителя України, дійсного члена Академії педагогічних наук України, директора Сахнівської школи, що на Черкащині, – Олександра Антоновича ЗАХАРЕНКА. Педагогічна спадщина Олександра Захаренка є безцінним внеском у скарбницю національної педагогіки. Його ім’я стоїть в одному ряду з іменами […]...
- Графік залежності шляху від часу Залежність однієї величини від іншої можна наочно показати на графіку. Розглянемо приклад. Вирішимо завдання Велосипедист їде прямолінійно і рівномірно зі швидкістю 2 м / с. Побудуємо графік залежності шляху I від часу t для трьох секунд руху велосипедиста. Рішення. Накреслимо координатні осі t і I і відзначимо на них значення часу в секундах і шляхи […]...
- Як порівнювати дійсні числа Дійсні числа (R) включають в себе всі раціональні та ірраціональні числа. По-іншому, дійсні числа називаються числами. При порівнянні дійсних чисел можна керуватися таким правилом: Якщо різницю чисел a і b, де a – зменшуване, а b – від’ємник, дає позитивне число, то це означає, що a> b. Якщо ж в результаті виходить негативне число, то […]...
- Взаємозв’язок монотонності і похідною Область зростання та спадання функції y = f(x) характеризується знаком її похідної. Якщо похідна функції f'(x)> 0 на деякому проміжку x, то функція y = f(x) зростає на цьому проміжку; якщо ж f'(x) < 0 на проміжку x, то функція y = f(x) убуває на вказаному проміжку. Зворотне твердження формулюється трохи інакше. Якщо функція зростає […]...
- Докази властивості бісектриси кута Властивість бісектриси кута полягає в тому, що кожна її точка рівновіддалена від сторін кута. Це властивість можна сформулювати у формі зворотної теореми: всі точки, що лежать всередині кута і рівновіддалені від його сторін, лежать на його бісектрисі. Слід згадати, що відстань від точки до прямої – це відрізок, перпендикулярний до даної прямої, проведений з даної […]...
- Основні властивості трикутників Властивості трикутників: Проти більшої сторони лежить більший кут, і навпаки; Проти рівних сторін лежать рівні кути, і навпаки; Сума кутів трикутника дорівнює 180°; Продовжуючи одну із сторін трикутника, отримуємо зовнішній кут. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі внутрішніх кутів, не суміжних з ним; Будь-яка сторона трикутника менше суми двох інших сторін і більше їх різниці. Ознаки […]...
- Просторова система сил Момент сили відносно осі дорівнює моменту проекції сили на площину, перпендикулярну осі, відносно точки перетину осі з площиною. M00 (F) = npFa, де а – відстань від осі до проекції F; прF – проекція сили на площину, перпендикулярну осі 00. Момент вважається позитивним, якщо сила розгортає тіло за годинниковою стрілкою (дивитися з боку позитивного напрямку […]...
- Як побудувати прямокутний трикутник по гіпотенузі і катету? Дано два нерівних один одному відрізка. Побудувати з них прямокутний трикутник так, щоб більший був у ньому гипотенузой, а менший – одним з катетів. Як відомо, існує ознака рівності прямокутних трикутників по гіпотенузі і катету. Це означає, що по гіпотенузі і катету можна побудувати тільки один прямокутний трикутник, тобто вони однозначно визначають трикутник. За катету […]...
- Аксіоми недоведених традицій – ІВАН БІЛИК Віддавна слово “гуни” вважається лайкою. Звідки тягнеться коріння тієї неслави, яка живе й досі, хоча самі гуни зійшли з теренів історії вже п’ятнадцять століть тому? Й чим заслужили вони такої зневаги серед народів Європи, зневаги, що дорівнює не менш одіозному імені вандалів? Перші історики, чиї згадки про гунів дійшли до нас, виводили генеалогічне дерево цього […]...
- Аксіома паралельних прямих Наприклад, дано завдання провести дві паралельні прямі, причому так, щоб через дану точку М проходила хоча б одна з прямих. Таким чином, через задану точку М проведемо взаємно перпендикулярні прямі МN і СD. А через точку N проведемо другу пряму АВ, вона повинна бути перпендикулярної до прямої МN. Зробимо висновок: пряма АВ перпендикулярна до прямої […]...
- Конус Конус – геометричне тіло в евклідовому просторі, яке можна отримати шляхом об’єднання кожного променя, який виходить з однієї точки (вершина конуса) та які проходять через плоску поверхню. Буває, конусом називається частина тіла, яка має обмежений обсяг і яка отримана шляхом об’єднання кожної відрізки, які сполучають вершину і точки плоскої поверхні. Остання, в такому випадку, є […]...
- Складний рух твердого тіла Складний рух – це такий рух, який можна розкласти на кілька простих. Простими рухами вважаються: Поступальний; Обертальний. При вирішенні завдань на складний рух використовують теорему про складання швидкостей. При складному русі точки абсолютна швидкість в кожен момент часу дорівнює геометричній сумі переносної (VE) і відносної (VК) швидкостей. Де Α – кут між векторами VE і […]...
- Поступальний і обертальний рух тіла Траєкторії різних точок тіла можуть бути різними. Це можна наочно показати, наприклад, швидко рухаючи в темній кімнаті тліючу з двох кінців лучинку. Око має властивість зберігати зорове враження протягом приблизно 0,1 сек, тому ми сприймемо траєкторії тліючих решт як світяться лінії і зможемо порівняти обидві траєкторії (рис. 6). Найбільш простий рух тіла – таке, при […]...
- Окружність Окружністю називають замкнуту, плоску криву, всі точки якої, що лежать в одній площині, видалені на однаковій відстані від центру. Точка О є центром кола, R є радіусом окружності – відстанню від якої-небудь точки окружності до центру. За визначенням все радіуси замкнутої кривої мають однакову довжину. Відстань між двома точками кола називається хордою. Відрізок кола, що […]...
- Прямий вигин Вигин – це такий вид деформації стрижня, при якому в його поперечному перерізі виникають згинальні моменти. Розглянемо прямий вигин на прикладі бруса. З геометричної точки зору вигин характеризується тим, що вісь бруса, прямолінійна по деформації, при вигині стає кривою лінією (умовно кажучи, вигнута вісь бруса). Деформація вигину виникає при навантаженні бруса силами, що діють у […]...
- Що називається багатокутником Багатокутником називається проста замкнута ламана. Розберемо наступні питання: Що значить ламана? Що значить проста ламана? Що значить замкнута ламана? Ламана – це фігура, що складається з відрізків, при цьому суміжні (сусідні) відрізки чи не лежать на одній прямій. У будь-якої пари суміжних відрізків ламаної завжди є загальний кінець. У простій ламаної несуміжні відрізки спільних точок […]...
- Знайти точку перетину графіків лінійних функцій Якщо дано дві лінійні функції виду y = kx + m, то їх графіки (прямі) можуть взагалі не перетинатися, якщо паралельні один одному. У всіх інших випадках вони будуть перетинатися в одній точці. Графіки двох лінійних функцій паралельні один одному, якщо мають однаковий кутовий коефіцієнт (k) і різне значення m (якщо і m буде одне […]...
- Електронна будова етилену Учитель пише на дошці структурну формулу будь-якого алкана. В якому стані гібридизації знаходяться атоми вуглецю в цьому стані? З цього питання можна почати повторення вельми складного для розуміння матеріалу – валентні стани атома вуглецю. Всі вуглецеві атоми мають однаковий тип гібридизації – sp3. Яке взаємне розташування осейsp3-гібридних орбіталей у просторі? Які ще типи гібридизації хлопці […]...
- Проміжки монотонності функцій Проміжки монотонності функції y = f (x) – це такі інтервали значень аргументу х, при яких функція y = f (x) зростає або убуває. Для визначення проміжків монотонності функції f(x) потрібно: Вказати область визначення функції D (f); Виконати розрахунок похідної для обраної функції; Дізнатися критичні точки за умови рівності нулю похідної f'(x) = 0 або […]...